Αναπαράσταση ομάδων

Η αναπαράσταση μιας ομάδας «δρα» σε ένα αντικείμενο. Ένα απλό παράδειγμα είναι πώς οι συμμετρίες ενός κανονικού πολυγώνου, που αποτελούνται από ανακλάσεις και περιστροφές, μετασχηματίζουν το πολύγωνο.

Στο μαθηματικό αντικείμενο της θεωρίας αναπαραστάσεων, η αναπαράσταση ομάδων περιγράφει αφηρημένες ομάδες μέσω bijective γραμμικών μετασχηματισμών ενός διανυσματικού χώρου προς τον εαυτό του (δηλαδή αυτομορφισμούς διανυσματικού χώρου).Ειδικότερα, μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναπαράσταση στοιχείων ομάδων ως αντιστρέψιμων πινάκων, έτσι ώστε η πράξη της ομάδας να μπορεί να αναπαρασταθεί με πολλαπλασιασμό πινάκων.

Στη χημεία, μια αναπαράσταση ομάδας μπορεί να συσχετίσει τα στοιχεία μαθηματικών ομάδων με συμμετρικές περιστροφές και ανακλάσεις μορίων.

Η αναπαράσταση ομάδων επιτρέπει την αναγωγή πολλών ομαδοθεωρητικών προβλημάτων σε προβλήματα γραμμικής άλγεβρας. Στη φυσική, περιγράφουν πώς η ομάδα συμμετρίας ενός φυσικού συστήματος επηρεάζει τις λύσεις των εξισώσεων που περιγράφουν αυτό το σύστημα.

Ο όρος αναπαράσταση μιας ομάδας χρησιμοποιείται επίσης με μια πιο γενική έννοια για να σημαίνει οποιαδήποτε "περιγραφή" μιας ομάδας ως ομάδα μετασχηματισμών κάποιου μαθηματικού αντικειμένου. Πιο τυπικά, μια "αναπαράσταση" σημαίνει έναν ομομορφισμό από την ομάδα στην ομάδα αυτομορφισμού ενός αντικειμένου. Εάν το αντικείμενο είναι ένας διανυσματικός χώρος έχουμε μια γραμμική αναπαράσταση. Ορισμένοι χρησιμοποιούν την υλοποίηση για τη γενική έννοια και επιφυλάσσουν τον όρο αναπαράσταση για την ειδική περίπτωση των γραμμικών αναπαραστάσεων. Το μεγαλύτερο μέρος αυτού του άρθρου περιγράφει τη θεωρία γραμμικών απεικονίσεων- δείτε την τελευταία ενότητα για τις γενικεύσεις.

Κλάδοι της θεωρίας αναπαράστασης ομάδων

Η θεωρία αναπαράστασης ομάδων χωρίζεται σε υποθεωρίες ανάλογα με το είδος της ομάδας που αναπαρίσταται. Οι διάφορες θεωρίες είναι αρκετά διαφορετικές στις λεπτομέρειες, αν και ορισμένοι βασικοί ορισμοί και έννοιες είναι παρόμοιες. Οι πιο σημαντικοί κλάδοι είναι οι εξής:

1. Πεπερασμένες ομάδες - Η αναπαράσταση ομάδων είναι ένα πολύ σημαντικό εργαλείο στη μελέτη των πεπερασμένων ομάδων. Εμφανίζονται επίσης στις εφαρμογές της θεωρίας πεπερασμένων ομάδων στην κρυσταλλογραφία και στη γεωμετρία. Αν το σώμα των κλιμάκων του διανυσματικού χώρου έχει χαρακτηριστικό p και αν το p διαιρεί την τάξη της ομάδας, τότε αυτό ονομάζεται modular θεωρία αναπαράστασης- αυτή η ειδική περίπτωση έχει πολύ διαφορετικές ιδιότητες. Βλ. Θεωρία αναπαραστάσεων πεπερασμένων ομάδων.
2. Συμπαγείς ομάδες ή τοπικά συμπαγείς ομάδες - Πολλά από τα αποτελέσματα της θεωρίας απεικόνισης πεπερασμένων ομάδων αποδεικνύονται με μέσο όρο πάνω στην ομάδα. Αυτές οι αποδείξεις μπορούν να μεταφερθούν σε άπειρες ομάδες με την αντικατάσταση του μέσου όρου με ένα ολοκλήρωμα, με την προϋπόθεση ότι μπορεί να οριστεί μια αποδεκτή έννοια του ολοκληρώματος. Αυτό μπορεί να γίνει για τοπικά συμπαγείς ομάδες, χρησιμοποιώντας το μέτρο Χαάρ. Η προκύπτουσα θεωρία αποτελεί κεντρικό μέρος της αρμονικής ανάλυσης. Η δυϊκότητα του Ποντριάγκιν περιγράφει τη θεωρία για αντιμεταθετικές ομάδες, ως γενικευμένο μετασχηματισμό Φουριέ. Βλέπε επίσης: Θεώρημα Πέτερ-Γουέλ.
3. Ομάδες Λι - Πολλές σημαντικές ομάδες Λι είναι συμπαγείς, οπότε τα αποτελέσματα της θεωρίας συμπαγών απεικονίσεων ισχύουν γι' αυτές. Επίσης, χρησιμοποιούνται και άλλες τεχνικές ειδικά για τις ομάδες Λι. Οι περισσότερες από τις ομάδες που είναι σημαντικές στη φυσική και τη χημεία είναι ομάδες Λι, και η θεωρία απεικόνισής τους είναι ζωτικής σημασίας για την εφαρμογή της θεωρίας ομάδων σε αυτούς τους τομείς. Βλέπε παραστάσεις ομάδων Λι και παραστάσεις αλγεβρών Λι.
4. Γραμμικές αλγεβρικές ομάδες (ή γενικότερα σχήματα αφινικών ομάδων) - Πρόκειται για τα ανάλογα των ομάδων Λι, αλλά πάνω σε πιο γενικά πεδία από το R ή το C. Παρόλο που οι γραμμικές αλγεβρικές ομάδες έχουν μια ταξινόμηση που μοιάζει πολύ με αυτή των ομάδων Λι, και οδηγούν στις ίδιες οικογένειες αλγεβρών Λι, οι αναπαραστάσεις τους είναι μάλλον διαφορετικές (και πολύ λιγότερο κατανοητές). Οι αναλυτικές τεχνικές που χρησιμοποιούνται για τη μελέτη των ομάδων Λι πρέπει να αντικατασταθούν από τεχνικές της αλγεβρικής γεωμετρίας, όπου η σχετικά ασθενής τοπολογία Ζαρίσκι προκαλεί πολλές τεχνικές επιπλοκές.
5. Μη συμπαγείς τοπολογικές ομάδες - Η κλάση των μη συμπαγών ομάδων είναι πολύ ευρεία για να κατασκευαστεί οποιαδήποτε γενική θεωρία αναπαράστασης, αλλά συγκεκριμένες ειδικές περιπτώσεις έχουν μελετηθεί, μερικές φορές χρησιμοποιώντας ειδικές τεχνικές. Οι ημιευθείς ομάδες Λι έχουν μια βαθιά θεωρία, που βασίζεται στη συμπαγή περίπτωση. Οι συμπληρωματικές λυόμενες ομάδες Λι δεν μπορούν να ταξινομηθούν με τον ίδιο τρόπο. Η γενική θεωρία για τις ομάδες Λι ασχολείται με τα ημιάμεσα γινόμενα των δύο τύπων, μέσω γενικών αποτελεσμάτων που ονομάζονται θεωρία Μάκεϊ, η οποία είναι μια γενίκευση των μεθόδων ταξινόμησης του Βίνγκερ.

Η θεωρία απεικόνισης εξαρτάται επίσης σε μεγάλο βαθμό από τον τύπο του διανυσματικού χώρου στον οποίο δρα η ομάδα. Διακρίνεται μεταξύ απεικονίσεων πεπερασμένης διάστασης και απεριόριστης διάστασης. Στην περίπτωση των απεριόριστων διαστάσεων, πρόσθετες δομές είναι σημαντικές (π.χ. αν ο χώρος είναι ή όχι χώρος Χίλμπερτ, χώρος Μπάναχ κ.λπ.).

Πρέπει επίσης να ληφθεί υπόψη ο τύπος του σώματος πάνω στο οποίο ορίζεται ο διανυσματικός χώρος. Η πιο σημαντική περίπτωση είναι το σώμα των μιγαδικών αριθμών. Οι άλλες σημαντικές περιπτώσεις είναι το σώμα των πραγματικών αριθμών, τα πεπερασμένα σώματα και τα σώματα των p-adic αριθμών. Σε γενικές γραμμές, τα αλγεβρικά κλειστά σώματα είναι ευκολότερο να χειριστούν από τα μη αλγεβρικά κλειστά σώματα. Η χαρακτηριστική του σώματος είναι επίσης σημαντική- πολλά θεωρήματα για πεπερασμένες ομάδες εξαρτώνται από τη χαρακτηριστική του πεδίου που δεν διαιρεί την τάξη της ομάδας.

Ορισμοί

Μια αναπαράσταση μιας ομάδας G σε ένα διανυσματικό χώρο V πάνω από ένα σώμα K είναι ένας ομομορφισμός ομάδας από την G στην GL(V), τη γενική γραμμική ομάδα στον V. Δηλαδή, μια αναπαράσταση είναι ένας χάρτης

$\rho \colon G\to \mathrm {GL} \left(V\right)$

έτσι ώστε

$\rho (g_{1}g_{2})=\rho (g_{1})\rho (g_{2}),\qquad {\text{for all }}g_{1},g_{2}\in G.$

Εδώ το V ονομάζεται χώρος αναπαράστασης και η διάσταση του V ονομάζεται διάσταση ή βαθμός της αναπαράστασης. Είναι κοινή πρακτική να αναφερόμαστε στον ίδιο τον V ως αναπαράσταση όταν ο ομομορφισμός είναι σαφής από το πλαίσιο.

Στην περίπτωση που το V είναι πεπερασμένης διάστασης n είναι σύνηθες να επιλέγουμε μια βάση για το V και να ταυτίζουμε την GL(V) με την GL(n, K), την ομάδα των $n\times n$ αντιστρέψιμων πινάκων στο σώμα K.

• Αν G είναι μια τοπολογική ομάδα και V είναι ένας τοπολογικός διανυσματικός χώρος, μια συνεχής απεικόνιση της G πάνω στον V είναι μια απεικόνιση ρ τέτοια ώστε η εφαρμογή Φ : G × V → V ορίζεται από την Φ(g, v) = ρ(g)(v) συνεχής.
• Ο πυρήνας μιας απεικόνισης ρ μιας ομάδας G ορίζεται ως η κανονική υποομάδα της G της οποίας η εικόνα υπό ρ είναι ο μετασχηματισμός ταυτότητας:

$\ker \rho =\left\{g\in G\mid \rho (g)=\mathrm {id} \right\}.$

Μια πιστή αναπαράσταση είναι εκείνη στην οποία ο ομομορφισμός G → GL(V) είναι ερριπτική- με άλλα λόγια, εκείνη της οποίας ο πυρήνας είναι η τετριμμένη υποομάδα {e} που αποτελείται μόνο από το στοιχείο ταυτότητας της ομάδας.

• Δίνονται δύο διανυσματικοί χώροι K V και W, δύο απεικονίσεις ρ : G → GL(V) και π : G → GL(W) λέγεται ότι είναι ισοδύναμες ή ισομορφικές αν υπάρχει ένας διανυσματικός χωρικός ισομορφισμός α : V → W έτσι ώστε για όλα τα g στο G,

$\alpha \circ \rho (g)\circ \alpha ^{-1}=\pi (g).$

Παραδείγματα

Ας θεωρήσουμε τον μιγαδικό αριθμό u = e^{2πi / 3} ο οποίος έχει την ιδιότητα u³ = 1.Το σύνολο C₃ = {1, u, u²} σχηματίζει μια κυκλική ομάδα υπό πολλαπλασιασμό. Αυτή η ομάδα έχει μια αναπαράσταση ρ στο $\mathbb {C} ^{2}$ που δίνεται από:

$\rho \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \rho \left(u\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&u\\\end{bmatrix}}\qquad \rho \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&u^{2}\\\end{bmatrix}}.$

Αυτή η αναπαράσταση είναι πιστή επειδή το ρ είναι ένας προς ένα χάρτης.

Μια άλλη αναπαράσταση για το C₃ στο $\mathbb {C} ^{2}$, ισόμορφη με την προηγούμενη, είναι η σ που δίνεται από:

$\sigma \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \sigma \left(u\right)={\begin{bmatrix}u&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \sigma \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}u^{2}&0\\0&1\\\end{bmatrix}}.$

Η ομάδα C₃ μπορεί επίσης να αναπαρασταθεί πιστά στο $\mathbb {R} ^{2}$ από το τ που δίνεται από:

$\tau \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \tau \left(u\right)={\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\\\end{bmatrix}}\qquad \tau \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\\\end{bmatrix}}$

όπου

$a={\text{Re}}(u)=-{\tfrac {1}{2}},\qquad b={\text{Im}}(u)={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}.$

Μια πιθανή αναπαράσταση στο $\mathbb {R} ^{3}$ δίνεται από το σύνολο των κυκλικών πινάκων μετατροπής v:

$\upsilon \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \upsilon \left(u\right)={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{bmatrix}}\qquad \upsilon \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\\\end{bmatrix}}.$

Ένα άλλο παράδειγμα:

Έστω $V$ ο χώρος των ομογενών πολυωνύμων 3ου βαθμού στους μιγαδικούς αριθμούς σε μεταβλητές $x_{1},x_{2},x_{3}.$

Τότε $S_{3}$ δρα στην $V$ με μεταβολή των τριών μεταβλητών.

Επί παραδείγματι, το $(12)$ στέλνει το $x_{1}^{3}$ στο $x_{2}^{3}$.

Αναγωγιμότητα

Ένας υποχώρος W του V που είναι αναλλοίωτος κάτω από τη δράση της ομάδας ονομάζεται υποαντιπροσώπευση. Αν ο V έχει ακριβώς δύο υποαντιπροσωπείες, δηλαδή τον υποχώρο μηδενικής διάστασης και τον ίδιο τον V, τότε η αναπαράσταση λέγεται μη αναγωγίσιμη- αν έχει μια κατάλληλη υποαντιπροσώπευση μη μηδενικής διάστασης, η αναπαράσταση λέγεται αναγωγίσιμη. Η αναπαράσταση μηδενικής διάστασης θεωρείται ότι δεν είναι ούτε αναγωγική ούτε μη αναγωγική, όπως ακριβώς ο αριθμός 1 θεωρείται ότι δεν είναι ούτε σύνθετος ούτε πρώτος.

Υπό την προϋπόθεση ότι η χαρακτηριστική του σώματος K δεν διαιρεί το μέγεθος της ομάδας, οι αναπαραστάσεις των πεπερασμένων ομάδων μπορούν να αναλυθούν σε άμεσο άθροισμα μη αναγωγίμων υποαναπαραστάσεων (βλέπε θεώρημα του Μάσκε). Αυτό ισχύει ειδικότερα για κάθε αναπαράσταση μιας πεπερασμένης ομάδας πάνω στους μιγαδικούς αριθμούς, αφού η χαρακτηριστική των μιγαδικών αριθμών είναι μηδέν, η οποία δεν διαιρεί ποτέ το μέγεθος μιας ομάδας.

Στο παραπάνω παράδειγμα, οι δύο πρώτες αναπαραστάσεις που δίνονται (ρ και σ) είναι και οι δύο διασπώμενες σε δύο υποαναπαραστάσεις διάστασης 1 (που δίνονται από τις span{(1,0)} και span{(0,1)}), ενώ η τρίτη αναπαράσταση (τ) είναι μη αναγώγιμη.

Γενικεύσεις

Θεωρητικές αναπαραστάσεις συνόλων

Μια θεωρητική αναπαράσταση συνόλου (επίσης γνωστή ως δράση ομάδας ή αναπαράσταση μετατροπής) μιας ομάδας G σε ένα σύνολο X δίνεται από μια συνάρτηση ρ : G → X^X, το σύνολο των συναρτήσεων από το X στο X τέτοια ώστε για όλα τα G και όλα τα x στο X:

$\rho (1)[x]=x$

$\rho (g_{1}g_{2})[x]=\rho (g_{1})[\rho (g_{2})[x]],$

όπου $1$ είναι το στοιχείο ταυτότητας του G. Αυτή η συνθήκη και τα αξιώματα για μια ομάδα συνεπάγονται ότι ρ(g) είναι μια αμφίρριψη (ή μετάθεση) για όλα τα g στο G. Έτσι μπορούμε ισοδύναμα να ορίσουμε μια παράσταση μετάθεσης ως έναν ομομορφισμό ομάδας από το G στη συμμετρική ομάδα S_X του X.

Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με αυτό το θέμα, ανατρέξτε στο άρθρο σχετικά με την ομαδική δράση.

Αντιπροσώπευση σε άλλες κατηγορίες

Κάθε ομάδα G μπορεί να θεωρηθεί ως μια κατηγορία με ένα μόνο αντικείμενο- οι μορφισμοί σε αυτή την κατηγορία είναι απλώς τα στοιχεία της G. Δεδομένης μιας αυθαίρετης κατηγορίας C, μια αναπαράσταση της G στην C είναι ένας συναρτηστής από την G στην C. Ένας τέτοιος συναρτηστής επιλέγει ένα αντικείμενο X στην C και έναν ομομορφισμό ομάδας από την G στην Aut(X), την ομάδα αυτομορφισμού της X.

Στην περίπτωση που το C είναι το Vect_K, η κατηγορία των διανυσματικών χώρων πάνω από ένα πεδίο K, ο ορισμός αυτός είναι ισοδύναμος με μια γραμμική αναπαράσταση. Ομοίως, μια θεωρητική αναπαράσταση συνόλων είναι απλώς μια αναπαράσταση του G στην κατηγορία των συνόλων.

Όταν η C είναι η Ab, η κατηγορία των αβελιανών ομάδων, τα αντικείμενα που λαμβάνονται ονομάζονται G-modules.

Ένα άλλο παράδειγμα είναι η κατηγορία των τοπολογικών χώρων, Top'. Οι απεικονίσεις στην Top είναι ομομορφισμοί από την G προς την ομάδα ομοιομορφισμού ενός τοπολογικού χώρου X.

Δύο τύποι αναπαραστάσεων που σχετίζονται στενά με τις γραμμικές αναπαραστάσεις είναι:

• προβολικές αναπαραστάσεις: στην κατηγορία των προβολικών χώρων. Αυτές μπορούν να περιγραφούν ως «γραμμικές αναπαραστάσεις μέχρι και βαθμωτούς μετασχηματισμούς».
• αφινικές αναπαραστάσεις: στην κατηγορία των αφινικών χώρων. Παραδείγματος χάριν, η Ευκλείδεια ομάδα δρα αφινικά πάνω στον Ευκλείδειο χώρο.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Κατανομή t-Student
• Κανονική κατανομή
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Διαφορική γεωμετρία
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Θεωρία αναπαραστάσεων
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Ένα προς ένα
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Προβολικός χώρος
• Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Τυπική απόκλιση

Βιβλιογραφία

• An Introduction to Group Representation Theory. Academic Press. 5 Νοεμβρίου 1975. ISBN 978-0-08-095625-1. 
• Hill, Victor E. (12 Δεκεμβρίου 2018). Groups and Characters. CRC Press. ISBN 978-1-351-44380-7. 
• Barut, Asim Orhan· R?czka, Ryszard (1986). Theory of Group Representations and Applications. World Scientific. ISBN 978-9971-5-0217-1. 
• Kowalski, Emmanuel (28 Αυγούστου 2014). An Introduction to the Representation Theory of Groups. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-0966-1. 
• Webb, Peter (19 Αυγούστου 2016). A Course in Finite Group Representation Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-1-316-78536-2. 
• Ping, Jialun· Wang, Fan (15 Αυγούστου 2002). Group Representation Theory For Physicists (2nd Edition). World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-310-600-0. 
• Jones, H. F. (14 Ιουλίου 2020). Groups, Representations and Physics. CRC Press. ISBN 978-1-4200-5029-5. 
• Alperin, J. L.· Bell, Rowen B. (6 Δεκεμβρίου 2012). Groups and Representations. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-0799-3. 
• Geck, Meinolf (7 Μαΐου 2007). Group Representation Theory. EPFL Press. ISBN 978-0-8493-9243-6. 
• <Simon, Barry. Representations of Finite and Compact Groups. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-7196-6. 
• Burrow, Martin (10 Μαΐου 2014). Representation Theory of Finite Groups. Academic Press. ISBN 978-1-4832-5821-8. 
• Raczka, Ryszard· Barut, Asim Orhan (1 Νοεμβρίου 1986). Theory Of Group Representations And Applications. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-310-387-0. 
• Mirman, R. (1995). Group Theory: An Intuitive Approach. World Scientific. ISBN 978-981-02-3365-5. 

Παραπομπές

• Fulton-Harris. Introduction to representation theory with emphasis on Lie groups.
• Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.
• Hastings, Jr., C. (2015) [1955]. Approximations for Digital Computers. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-7559-7. 
• Hart, J.F.· Cheney, E.W.· Lawson, C.L.· Maehly, H.J.· Mesztenyi, C.K.· Rice, Jr., J.R.· Thacher, H.C.· Witzgall, C. (1968). Computer Approximations. Wiley. OCLC 0471356301. 
• Fox, L.· Parker, I.B. (1968). Chebyshev Polynomials in Numerical Analysis. Oxford mathematical handbooks. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-859614-1. OCLC 9036207. 
• Press, WH· Teukolsky, S.A.· Vetterling, W.T.· Flannery, B.P. (2007). «§5.8 Chebyshev Approximation». Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd έκδοση). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. 
• Cody, Jr., W.J.· Waite, W. (1980). Software Manual for the Elementary Functions. Prentice-Hall. ISBN 0-13-822064-6. OCLC 654695035. 
• Remes (Remez), E. (1934). «Sur le calcul effectif des polynomes d'approximation de Tschebyschef» (στα γαλλικά). C. R. Acad. Sci. 199: 337–340. https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3151h/f337.item. 
• Steffens, K.-G. (2006). The History of Approximation Theory: From Euler to Bernstein,. Birkhauser. doi:10.1007/0-8176-4475-X. ISBN 0-8176-4353-2. 
• Erdélyi, T. (2008). «Extensions of the Bloch-Pólya theorem on the number of distinct real zeros of polynomials». Journal de théorie des nombres de Bordeaux 20: 281–7. http://www.numdam.org/item/10.5802/jtnb.627.pdf. 
• Erdélyi, T. (2009). «The Remez inequality for linear combinations of shifted Gaussians». Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 146: 523–530. doi:10.1017/S0305004108001849. 
• Trefethen, L.N. (2020). Approximation theory and approximation practice. SIAM. ISBN 978-1-61197-594-9.  Ch. 1–6 of 2013 edition

Πηγές

• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0 
• Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, ISBN 978-0-387-97993-9 
• Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-25282-7 
• Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0. 
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0