Αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση

Στα μαθηματικά, μία συνάρτηση είναι αμφιμονοσήμαντη (ή αμφεικονική) αν είναι ένα προς ένα και επί. Ισοδύναμα, κάθε στοιχείο του πεδίο ορισμού της αντιστοιχείται σε ακριβώς ένα στοιχείο του πεδίο τιμών της, και κάθε στοιχείο του πεδίου τιμών της αντιστοιχείται από ένα στοιχείο του πεδίου ορισμού της.^[1]^[2]^[3]^[4]

Παράδειγμα αμφιμονοσήμαντης συνάρτησης.

Μη αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση (επί αλλά όχι ένα προς ένα).

Μη αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση (ένα προς ένα αλλά όχι επί).

Πιο αυστηρά, μία συνάρτηση $f:X\to Y$ είναι αμφιμονοσήμαντη αν

(ένα προς ένα)

\forall x,y\in A.\ f(x)=f(y)\Rightarrow x=y

, και

(επί)

\forall y\in Y.\ \exists x\in X.\ f(x)=y

.

Παραδείγματα

Η συνάρτηση $f:\mathbb {R} \to [0,\infty )$ με $f(x)=e^{x}$ είναι αμφιμονοσήμαντη.
Για κάθε $\alpha \neq 0,\beta \in \mathbb {R}$ η συνάρτηση $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ με $f(x)=\alpha x+\beta$ είναι αμφιμονοσήμαντη.
Η συνάρτηση $f:[0,\infty )\to [0,\infty )$ με $f(x)=x^{2}$ .
Η συνάρτηση $f:[-\pi /2,\pi /2]\to [-1,1]$ με $f(x)=\sin(x)$ είναι αμφιμονοσήμαντη.
Έστω $A=\{a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\}$ και $B=\{b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}$ . Η συνάρτηση $f=\{(a_{1},b_{3}),(a_{2},b_{4}),(a_{3},b_{2}),(a_{4},b_{1})\}$ είναι αμφιμονοσήμαντη (δείτε σχήμα).
Η συνάρτηση $f:\mathbb {N} \to \mathbb {Z}$ με

f(n)={\begin{cases}n/2&{\text{αν }}n{\text{ ζυγός}},\\-(n+1)/2&{\text{αν }}n{\text{ μονός}}.\end{cases}}

Για κάθε σύνολο $S$ η ταυτοτική συνάρτηση $\mathrm {id} _{S}$ είναι αμφιμονοσήμαντη.

Ενώ οι εξής συναρτήσεις δεν είναι:

Η συνάρτηση $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ με $f(x)=e^{x}$ δεν είναι αμφιμονοσήμαντη, καθώς οι αρνητικές τιμές δεν αντιστοιχούνται από κάποια τιμή στο πεδίο ορισμού.
Η συνάρτηση $f:\mathbb {R} \to [0,\infty )$ με $f(x)=x^{2}$ , καθώς $f(-3)=f(3)$ .
Η συνάρτηση $f:[-\pi ,\pi ]\to [-1,1]$ με $f(x)=\sin(x)$ είναι αμφιμονοσήμαντη, καθώς $\sin(0)=\sin(\pi )$ .
Η συνάρτηση $f:\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ με $f(n)=n{\bmod {5}}$ , καθώς $f(2)=f(12)$ .

Ιδιότητες

Η σύνθεση δύο αμφιμονοσήμαντων συναρτήσεων είναι αμφιμονοσήμαντη.
Η αντίστροφη σχέση μίας συνάρτησης $f$ είναι συνάρτηση αν και μόνο αν η $f$ είναι αμφιμονοσήμαντη.
Έστω $X$ $X$ και $Y$ $Y$ δύο πεπερασμένα σύνολα.
- Αν η $f$ είναι ένα προς ένα, τότε η $f$ είναι αμφιμονοσήμαντη.
- Αν η $f$ είναι επί, τότε η $f$ είναι αμφιμονοσήμαντη.
Έστω μία ένα προς ένα συνάρτηση $f:X\to Y$ . Η συνάρτηση $g:X\to f(X)$ με $g(x)=f(x)$ είναι αμφιμονοσήμαντη.

Πλήθος αμφιμονοσήμαντων συναρτήσεων

Μεταξύ δύο πεπερασμένων συνόλων $X$ και $Y$ υπάρχουν $|X|!$ δυνατές αμφιμονοσήμαντες συναρτήσεις αν $|X|=|Y|$ , διαφορετικά δεν υπάρχει καμία. Οι συναρτήσεις αυτές είναι ισομορφικές στις μεταθέσεις των στοιχείων του $Y$ .

Δείτε επίσης

Παραπομπές

↑ Κολουντζάκης, Μιχαήλ· Παπαχριστόδουλος, Χρήστος (2015). Διακριτά Μαθηματικά. Αθήνα: Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις. σελ. 14. ISBN 978-960-603-361-2.
↑ Καπελλίδης, Σπύρος Κλ. «Σημειώσεις στη Θεωρία Συνόλων» (PDF). Ανακτήθηκε στις 4 Φεβρουαρίου 2023.
↑ Μοσχοβάκης, Γιάννης Ν. «Σημειώσεις στη Συνολοθεωρία» (PDF). Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 4 Φεβρουαρίου 2023.
↑ Γρηγοριάδης, Βασίλειος (2022). «Συναρτήσεις - Σύντομη εισαγωγή» (PDF). Εθνικό Μετσόβειο Πολυτεχνείο.

[1] Κολουντζάκης, Μιχαήλ· Παπαχριστόδουλος, Χρήστος (2015). Διακριτά Μαθηματικά. Αθήνα: Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις. σελ. 14. ISBN 978-960-603-361-2.

[2] Καπελλίδης, Σπύρος Κλ. «Σημειώσεις στη Θεωρία Συνόλων» (PDF). Ανακτήθηκε στις 4 Φεβρουαρίου 2023.

[3] Μοσχοβάκης, Γιάννης Ν. «Σημειώσεις στη Συνολοθεωρία» (PDF). Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 4 Φεβρουαρίου 2023.

[4] Γρηγοριάδης, Βασίλειος (2022). «Συναρτήσεις - Σύντομη εισαγωγή» (PDF). Εθνικό Μετσόβειο Πολυτεχνείο.

[1]

[2]

[3]

[4]