Αλγεβρική επέκταση

Στα μαθηματικά, μια αλγεβρική επέκταση είναι μια επέκταση σώματος L/K τέτοια ώστε κάθε στοιχείο του μεγαλύτερου σώματος L να είναι αλγεβρικό πάνω στο μικρότερο σώμα K δηλαδή κάθε στοιχείο του L να είναι ρίζα ενός μη μηδενικού πολυωνύμου με συντελεστές στο K. Μια επέκταση σώματος που δεν είναι αλγεβρική, καλείται υπερβατική και πρέπει να περιέχει υπερβατικά στοιχεία, δηλαδή στοιχεία που δεν είναι αλγεβρικά.

Οι αλγεβρικές επεκτάσεις του σώματος $\mathbb {Q}$ των ρητών αριθμών ονομάζονται αλγεβρικά αριθμητικά σώματα και αποτελούν τα κύρια αντικείμενα μελέτης της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών. Ένα άλλο παράδειγμα κοινής αλγεβρικής επέκτασης είναι η επέκταση $\mathbb {C} /\mathbb {R}$ των πραγματικών αριθμών από τους μιγαδικούς αριθμούς.

Μερικές ιδιότητες

Όλες οι υπερβατικές επεκτάσεις είναι άπειρου βαθμού. Αυτό με τη σειρά του συνεπάγεται ότι όλες οι πεπερασμένες επεκτάσεις είναι αλγεβρικές. Το αντίστροφο δεν ισχύει όμως: υπάρχουν άπειρες επεκτάσεις που είναι αλγεβρικές. Συγκεκριμένα, το σώμα όλων των αλγεβρικών αριθμών είναι μια άπειρη αλγεβρική επέκταση των ρητών αριθμών.

Έστω E ένα σώμα επέκτασης του K, και a ∈ E. Το μικρότερο υποσώμα του E που περιέχει K και a συμβολίζεται συνήθως $K(a).$ Αν a είναι αλγεβρικό πάνω στο K, τότε τα στοιχεία του K(a) μπορούν να εκφραστούν ως πολυώνυμα στο a με συντελεστές στο K, δηλαδή, $K(a)=K[a]$, ο μικρότερος δακτύλιος που περιέχει K και a. Σε αυτή την περίπτωση, ο $K(a)$ είναι μια πεπερασμένη επέκταση του K και όλα τα στοιχεία του είναι αλγεβρικά πάνω στον K. Συγκεκριμένα, ο $K(a)$ είναι ένας K-διανυσματικός χώρος με βάση $\{1,a,...,a^{d-1}\}$, όπου d είναι ο βαθμός του ελάχιστου πολυωνύμου του a. Αυτές οι ιδιότητες δεν ισχύουν αν το a δεν είναι αλγεβρικό. Επί παραδείγματι $\mathbb {Q} (\pi )\neq \mathbb {Q} [\pi ],$ και είναι και οι δύο άπειρης διάστασης διανυσματικοί χώροι πάνω στο $\mathbb {Q} .$

Ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα F δεν έχει κατάλληλες αλγεβρικές επεκτάσεις, δηλαδή δεν έχει αλγεβρικές επεκτάσεις E με F < E. Ένα παράδειγμα είναι το σώμα των μιγαδικών αριθμών. Κάθε σώμα έχει μια αλγεβρική επέκταση η οποία είναι αλγεβρικά κλειστή (ονομάζεται αλγεβρική κλειστότητά), αλλά η απόδειξη αυτού γενικά απαιτεί κάποια μορφή του αξιώματος της επιλογής.

Μια επέκταση L/K είναι αλγεβρική αν και μόνο αν κάθε υπο-'K-άλγεβρα της L είναι σώμα.

Ιδιότητες

Ισχύουν οι ακόλουθες τρεις ιδιότητες:

1. Αν η E είναι αλγεβρική προέκταση της F και η F είναι αλγεβρική προέκταση της K τότε η E είναι αλγεβρική προέκταση της K.
2. Αν E και F είναι αλγεβρικές επεκτάσεις του K σε ένα κοινό υπερσώμα C, τότε το σύνθετο EF είναι αλγεβρική επέκταση του K.
3. Αν η E είναι αλγεβρική επέκταση της F και η E > K > F τότε το E είναι αλγεβρική επέκταση του K.

Αυτά τα πεπερασμένα αποτελέσματα μπορούν να γενικευτούν με τη χρήση της υπερπεπερασμένης επαγωγής:

4. Η ένωση οποιασδήποτε αλυσίδας αλγεβρικών επεκτάσεων πάνω σε ένα σώμα βάσης είναι η ίδια μια αλγεβρική επέκταση πάνω στο ίδιο σώμα βάσης.

Το γεγονός αυτό, μαζί με το λήμμα του Ζορν (που εφαρμόζεται σε ένα κατάλληλα επιλεγμένο σύνολο), τεκμηριώνει την ύπαρξη αλγεβρικής κλειστότητας.

Γενικεύσεις

Η θεωρία μοντέλων γενικεύει την έννοια της αλγεβρικής επέκτασης σε αυθαίρετες θεωρίες: μια ενσωμάτωση της Μ στην Ν ονομάζεται αλγεβρική επέκταση αν για κάθε x στην Ν υπάρχει ένας τύπος p με παραμέτρους στην Μ, τέτοιος ώστε ο p(x) να είναι αληθής και το σύνολο

$\left\{y\in N\mid p(y)\right\}$

είναι πεπερασμένη. Αποδεικνύεται ότι η εφαρμογή αυτού του ορισμού στη θεωρία των σωμάτων δίνει τον συνήθη ορισμό της αλγεβρικής επέκτασης. Η ομάδα Γκαλουά του Ν πάνω στο Μ μπορεί και πάλι να οριστεί ως η ομάδα των αυτομορφισμών και αποδεικνύεται ότι το μεγαλύτερο μέρος της θεωρίας των ομάδων Γκαλουά μπορεί να αναπτυχθεί για τη γενική περίπτωση.

Σχετική αλγεβρική κλειστότητα

Δεδομένου ενός σώματος k και ενός σώματος K που περιέχει το k, ορίζεται ως σχετική αλγεβρική κλειστότητα του k στο K το υποσώμα του K που αποτελείται από όλα τα στοιχεία του K που είναι αλγεβρικά πάνω στο k, δηλαδή όλα τα στοιχεία του K που είναι ρίζα κάποιου μη μηδενικού πολυωνύμου με συντελεστές στο k.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Μορφοκλασματική διάσταση
• Διδιάστατος χώρος
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Υπερβολική γεωμετρία
• Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπολογιστική ρευστοδυναμική
• Καμπυλότητα Γκάους
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Σώμα διασπάσεως
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Γραμμική απεικόνιση

Βιβλιογραφία

• Bastida, Julio R. (28 Δεκεμβρίου 1984). Field Extensions and Galois Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-30242-5. 
• Levin, Alexander (19 Απριλίου 2008). Difference Algebra. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4020-6947-5. 
• Grillet, Pierre Antoine (21 Ιουλίου 2007). Abstract Algebra. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-71568-1. 
• Rosenberger, Gerhard· Schürenberg, Annika (22 Ιουλίου 2024). Abstract Algebra: With Applications to Galois Theory, Algebraic Geometry, Representation Theory and Cryptography. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 978-3-11-114252-4. 
• Lawrence, John W.· Zorzitto, Frank A. (15 Απριλίου 2021). Abstract Algebra: A Comprehensive Introduction. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-86551-7. 
• Beachy, John A.· Blair, William D. (20 Φεβρουαρίου 2019). Abstract Algebra: Fourth Edition. Waveland Press. ISBN 978-1-4786-3897-1. 
• Hungerford, Thomas W. (14 Φεβρουαρίου 2003). Algebra. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90518-1. 
• Mal'cev, Anatolij Ivanovic (6 Δεκεμβρίου 2012). Algebraic Systems. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-65374-2. 
• Sūgakkai, Nihon (1993). Encyclopedic Dictionary of Mathematics. MIT Press. ISBN 978-0-262-59020-4. 
• Fine, Benjamin· Moldenhauer, Anja (21 Αυγούστου 2023). Algebra and Number Theory: A Selection of Highlights. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 978-3-11-079028-3. 

Παραπομπές

• Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd έκδοση), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1 
• Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016 
• Lang, Serge (2004), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Corrected fourth printing, revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4
• McCoy, Neal H. (1968), Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon 

• Artin, Emil (1998) [1944]. Galois Theory. Edited and with a supplemental chapter by Arthur N. Milgram. Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 0-486-62342-4. MR 1616156. 
• Bewersdorff, Jörg (2006). Galois theory for beginners. Student Mathematical Library. 35. Translated from the second German (2004) edition by David Kramer. American Mathematical Society. doi:10.1090/stml/035. ISBN 0-8218-3817-2. MR 2251389. 
• Edwards, Harold M. (1984). Galois Theory. Graduate Texts in Mathematics. 101. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90980-X. MR 0743418.  (Galois' original paper, with extensive background and commentary.)
• Funkhouser, H. Gray (1930). «A short account of the history of symmetric functions of roots of equations». American Mathematical Monthly (The American Mathematical Monthly, Vol. 37, No. 7) 37 (7): 357–365. doi:10.2307/2299273. 
• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Galois theory», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/g043160 
• Jacobson, Nathan (1985). Basic Algebra I (2nd έκδοση). W.H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-1480-9.  (Chapter 4 gives an introduction to the field-theoretic approach to Galois theory.)
• Janelidze, G.· Borceux, Francis (2001). Galois theories. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-80309-0.  (This book introduces the reader to the Galois theory of Grothendieck, and some generalisations, leading to Galois groupoids.)
• Lang, Serge (1994). Algebraic Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. 110 (Second έκδοση). Berlin, New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0853-2. ISBN 978-0-387-94225-4. MR 1282723. 
• Postnikov, Mikhail Mikhaĭlovich (2004). Foundations of Galois Theory. With a foreword by P. J. Hilton. Reprint of the 1962 edition. Translated from the 1960 Russian original by Ann Swinfen. Dover Publications. ISBN 0-486-43518-0. MR 2043554. 
• Milne, James S. (2022). Fields and Galois Theory (v5.10). 
• Rotman, Joseph (1998). Galois Theory. Universitext (Second έκδοση). Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0617-0. ISBN 0-387-98541-7. MR 1645586. 
• Völklein, Helmut (1996). Groups as Galois groups: an introduction. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 53. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511471117. ISBN 978-0-521-56280-5. MR 1405612. 
• van der Waerden, Bartel Leendert (1931). Moderne Algebra (στα German). Berlin: Springer. . English translation (of 2nd revised edition): Modern algebra. New York: Frederick Ungar. 1949.  (Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)
• Pop, Florian (2001). «(Some) New Trends in Galois Theory and Arithmetic» (PDF). 

Πηγές

• Martin, George E. (1998). Geometric Constructions. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98276-0. Zbl 0890.51015. 
• Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022. 
• Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X,  
• Elman, Richard; Lam, T. Y. (1972), «Quadratic forms over formally real fields and pythagorean fields», American Journal of Mathematics 94 (4): 1155–1194, doi:10.2307/2373568, ISSN 0002-9327 
• Greenberg, Marvin J. (2010), «Old and new results in the foundations of elementary plane Euclidean and non-Euclidean geometries», Am. Math. Mon. 117 (3): 198–219, doi:10.4169/000298910x480063, ISSN 0002-9890,  
• Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi, επιμ.. (1980), Encyclopedic dictionary of mathematics, Volumes I, II, Translated from the 2nd Japanese edition, paperback version of the 1977 edition (1st έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-59010-5, https://archive.org/details/encyclopedicdict0000niho 
• Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1, , https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt 
• Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
• Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
• Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.