Αδύναμη λύση

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Πήδηση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση

Στα μαθηματικά, μια αδύναμη λύση (που ονομάζεται επίσης μια γενικευμένη λύση) σε ένα συνηθισμένο ή μερική διαφορική εξίσωση είναι μια λειτουργία για την οποία τα παράγωγα προϊόντα μπορεί να μην υπάρχουν, αλλά που είναι, ωστόσο, θεωρείται ότι πληρούν την εξίσωση σε ορισμένες ακριβώς ορίζεται αίσθηση. Υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί ορισμοί της αδύναμη λύση, κατάλληλη για τις διάφορες κατηγορίες των εξισώσεων. Ένα από τα πιο σημαντικά βασίζεται στην έννοια των κατανομών.

Αποφεύγοντας τη γλώσσα των διανομών, ξεκινά με μια διαφορική εξίσωση και ξαναγράφει με τέτοιο τρόπο που όχι παράγωγα της λύσης της εξίσωσης εμφανιστεί (η νέα μορφή ονομάζεται αδύναμη σύνθεση, και οι λύσεις που να ονομάζεται αδύναμη λύσεις). Παραδόξως, μια διαφορική εξίσωση μπορεί να έχει λύσεις οι οποίες δεν είναι διαφορίσιμες, και η αδύναμη σύνθεση επιτρέπει σε κάποιον να βρούμε τέτοιες λύσεις.

Αδύναμη λύσεις είναι σημαντικό επειδή πολλές διαφορικές εξισώσεις που συναντώνται στην μοντελοποίηση πραγματικό κόσμο των φαινομένων δεν παραδέχονται επαρκώς ομαλή λύσεις και, στη συνέχεια, ο μόνος τρόπος για την επίλυση τέτοιων εξισώσεων είναι χρησιμοποιώντας την αδύναμη σύνθεση. Ακόμη και σε περιπτώσεις όπου μια εξίσωση έχει διαφορίσιμες λύσεις, είναι συχνά βολικό να πρώτα να αποδείξει την ύπαρξη των αδύναμων λύσεις και μόνο αργότερα δείχνουν ότι οι λύσεις είναι στην πραγματικότητα αρκετά ομαλή.

Ένα συγκεκριμένο παράδειγμα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ως απόδειξη της έννοιας, να εξετάσει τον πρώτο κύμα εξίσωση

(βλ. μερική παράγωγο για το notation), όπου u = u(t, x) είναι μια συνάρτηση των δύο πραγματικές μεταβλητές. Ας υποθέσουμε ότι u είναι συνεχώς διαφορίσιμες στην Ευκλείδειο χώρο R2, πολλαπλασιάστε αυτήν την εξίσωση (1) από την ομαλή λειτουργία από τη συμπαγή υποστήριξη, και την ενσωμάτωση. Κάποιος αποκτά

Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Fubini η οποία επιτρέπει σε κάποιον να ανταλλάξει τη σειρά ολοκλήρωσης, καθώς και την ολοκλήρωση από τα μέρη (σε t για την πρώτη θητεία του και στο x για τη δεύτερη θητεία του) αυτή η εξίσωση γίνεται

(Σημειώστε ότι ενώ η ολοκληρώματα πάει από το −∞ έως ∞, τα ολοκληρώματα είναι ουσιαστικά πάνω από ένα πεπερασμένο πλαίσιο, επειδή έχει τη συμπαγή υποστήριξη, και είναι αυτή η παρατήρηση, η οποία επιτρέπει, επίσης, για την ολοκλήρωση από τα μέρη χωρίς την εισαγωγή του ορίου όρους.)

Έχουμε δείξει ότι η εξίσωση (1) συνεπάγεται την εξίσωση (2), εφόσον το u είναι συνεχώς διαφορίσιμες. Το κλειδί για την έννοια της αδύναμη λύση είναι ότι υπάρχουν συναρτήσεις u που ικανοποιούν την εξίσωση (2) για κάθε και όπως το u μπορεί να μην είναι διαφορίσιμες και, συνεπώς, δεν μπορούν να ικανοποιήσουν την εξίσωση (1). Ένα απλό παράδειγμα τέτοιας λειτουργίας είναι u(t, x) = |tx| για όλα τα t και x. ( U ορίζεται με αυτόν τον τρόπο ικανοποιεί την εξίσωση (2) είναι αρκετά εύκολο να ελέγξει, πρέπει κανείς να ενσωματώσει ξεχωριστά στις περιοχές πάνω και κάτω από την γραμμή x = t και τη χρήση ολοκλήρωσης κατά μέρη.) Μια λύση u της εξίσωσης (2) ονομάζεται μια αδύναμη λύση της εξίσωσης (1).