Μετάβαση στο περιεχόμενο

Αβελιανή επέκταση

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
 Αυτό το λήμμα χρειάζεται επιμέλεια ώστε να ανταποκρίνεται σε υψηλότερες προδιαγραφές ορθογραφικής και συντακτικής ποιότητας ή μορφοποίησης.
Αίτιο: Οι κατηγορίες, οι εξωτερικοί σύνδεσμοι και τα δείτε επίσης δεν είναι άμεσα σχετικά με το θέμα του λήμματος
Για περαιτέρω βοήθεια, δείτε τα λήμματα πώς να επεξεργαστείτε μια σελίδα και τον οδηγό μορφοποίησης λημμάτων.

Στην αφηρημένη άλγεβρα, μια αβελιανή επέκταση[1][2][3] είναι μια επέκταση Γκαλουά όπου η ομάδα Γκαλουά είναι αβελιανή. Όταν η ομάδα Γκαλουά είναι επίσης κυκλική, η επέκταση ονομάζεται επίσης κυκλική επέκταση. Πηγαίνοντας προς την άλλη κατεύθυνση, μια επέκταση Γκαλουά καλείται επιλύσιμη αν η ομάδα Γκαλουά της είναι επιλύσιμη, δηλαδή αν η ομάδα μπορεί να αναλυθεί σε μια σειρά κανονικών επεκτάσεων μιας αβελιανής ομάδας. Κάθε πεπερασμένη επέκταση ενός πεπερασμένου σώματος είναι μια κυκλική επέκταση.

Η θεωρία κλάσεων σωμάτων παρέχει λεπτομερείς πληροφορίες σχετικά με τις αβελιανές επεκτάσεις των αριθμητικών σωμάτων, τα σώματα συναρτήσεων των αλγεβρικών καμπυλών πάνω σε πεπερασμένα σώματα και τα τοπικά σώματα.

Υπάρχουν δύο ελαφρώς διαφορετικοί ορισμοί του όρου κυκλοτομική επέκταση[4]. Μπορεί να σημαίνει είτε μια επέκταση που σχηματίζεται από την πρόσθεση ριζών της μονάδας σε ένα σώμα, είτε μια υποεπέκταση μιας τέτοιας επέκτασης. Τα κυκλοτομικά σώματα είναι παραδείγματα. Μια κυκλοτομική επέκταση[4], σύμφωνα με οποιονδήποτε ορισμό, είναι πάντα αβελιανή.

Αν ένα σώμα K περιέχει μια πρωταρχική n-th ρίζα της ενότητας και η n-th ρίζα ενός στοιχείου του K προσκολλάται, η επέκταση Κούμερ που προκύπτει είναι μια αβελιανή επέκταση (αν το K έχει χαρακτηριστικό p θα πρέπει να λέμε ότι το p δεν διαιρεί το n, αφού διαφορετικά μπορεί να αποτύχει να είναι ακόμα και μια διαχωρίσιμη επέκταση). Γενικά, ωστόσο, οι ομάδες Γκαλουά των n-th ριζών των στοιχείων λειτουργούν τόσο στις n-th ρίζες όσο και στις ρίζες της ενότητας, δίνοντας μια μη αβελιανή ομάδα Γκαλουά ως ημι-άμεσο γινόμενο. Η θεωρία Κούμερ δίνει μια πλήρη περιγραφή της περίπτωσης της αβελιανής επέκτασης, και το θεώρημα Κρόνεκερ-Βέμπερ μας λέει ότι αν το K είναι το σώμα των ρητών αριθμών, μια επέκταση είναι αβελιανή αν και μόνο αν είναι ένα υποσώμα ενός σώματος που προκύπτει από την προσάρτηση μιας ρίζας της μονάδας.

Υπάρχει μια σημαντική αναλογία με τη θεμελιώδη ομάδα στην τοπολογία, η οποία ταξινομεί όλους τους χώρους κάλυψης ενός χώρου: οι αβελιανές καλύψεις ταξινομούνται από την αβελιανοποίησή τους, η οποία σχετίζεται άμεσα με την πρώτη ομάδα ομολογίας.

Μιγαδικός πολλαπλασιασμός και νεανικό όνειρο του Κρόνεκερ

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στην περίπτωση του σώματος ℚ, είναι αξιοσημείωτο ότι μια μέγιστη αβελιανή επέκταση παράγεται από ειδικές τιμές της εκθετικής συνάρτησης. Πράγματι, μεταξύ των μιγαδικών αριθμών, οι ρίζες της ενότητας διακρίνονται ως αυτές που γράφονται exp(2πix) για ρητές τιμές της παραμέτρου x. Αυτές οι παράμετροι είναι οι μόνοι αλγεβρικοί αριθμοί στους οποίους το υπερβατικό exp(2πix) παίρνει αλγεβρικές τιμές (μια N-η ρίζα ικανοποιεί την εξίσωση XN=1), εξ ου και η ονομασία ειδική τιμή.

Στην περίπτωση των σωμάτων μιγαδικών τετραγωνικών αριθμών, πρέπει να προσθέσουμε στις ρίζες της μονάδας τους αλγεβρικούς αριθμούς που προκύπτουν από τις συντεταγμένες των σημείων στρέψης μιας ελλειπτικής καμπύλης. Αυτή είναι η θεωρία του μιγαδικού πολλαπλασιασμού[5]. Αυτές οι θεωρήσεις αποτελούν μέρος του νεανικού ονείρου του Κρόνεκερ (Kronecker Jugendtraum).[6][7]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
  • Bourbaki, N. (1 Δεκεμβρίου 2013). Algebra II: Chapters 4 - 7. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-61698-3. 
  • Bastida, Julio R. (28 Δεκεμβρίου 1984). Field Extensions and Galois Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-30242-5. 
  • Artin, Emil· Tate, John Torrence (1968). Class Field Theory. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-6951-2. 
  • Loday, J.-L.· Frabetti, A. (1 Ιουλίου 2003). Dialgebras and Related Operads. Springer. ISBN 978-3-540-45328-4. 
  • Escofier, Jean-Pierre (21 Δεκεμβρίου 2000). Galois Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-98765-1. 
  • Cohen, Henri (29 Οκτωβρίου 2012). Advanced Topics in Computational Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4419-8489-0. 
  • Mueller, Julia· Shahidi, Freydoon (5 Αυγούστου 2021). The Genesis of the Langlands Program. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-61995-0. 
  • Rosen, Michael (18 Απριλίου 2013). Number Theory in Function Fields. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-6046-0. 
  • Cohen, Henri (29 Οκτωβρίου 2012). Advanced Topics in Computational Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4419-8489-0. 
  • Lang, S. (29 Αυγούστου 1983). Fundamentals of Diophantine Geometry. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90837-3. 
  1. ↑ «Θεωρία Galois - σελίδα 90» (PDF).
  2. ↑ Weisstein, Eric W. «Abelian Extension». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 6 Ιουλίου 2025.
  3. ↑ «abelian extension». planetmath.org. Ανακτήθηκε στις 6 Ιουλίου 2025.
  4. 1 2 «Cyclotomic extension - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 6 Ιουλίου 2025.
  5. ↑ «complex multiplication». planetmath.org. Ανακτήθηκε στις 6 Ιουλίου 2025.
  6. ↑ Kedlaya, Kiran S. The Kronecker-Weber theorem.
  7. ↑ Koch, Helmut (31 Μαΐου 1991). Introduction to Classical Mathematics I: From the Quadratic Reciprocity Law to the Uniformization Theorem. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-7923-1231-4.
Ανακτήθηκε από "https://el.wikipedia.org/w/index.php?title=Αβελιανή_επέκταση&oldid=11326833"