Όπερ έδει δείξαι
Η αρχαία φράση ὅπερ ἔδει δεῖξαι (Ό.Έ.Δ.) χρησιμοποιείται στο τέλος μιας μαθηματικής ή λογικής απόδειξης για να δηλώσει ότι το αποτέλεσμα είναι αυτό που ζητείται να αποδειχτεί.[1] Τη φράση χρησιμοποιούσαν αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί., όπως ο Ευκλείδης[2] και ο Αρχιμήδης ολοκληρώνοντας μια μαθηματική απόδειξη. Η ίδια φράση αποδίδεται στα λατινικά ως quod erat demonstrandum και γράφεται με τα αντίστοιχα αρχικά Q.E.D. ή QED.[3]
Στοιχεία του Ευκλείδη
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Η έκφραση ὅπερ ἔδει δεῖξαι εμφανίζεται στις ελληνικές εκδόσεις των Στοιχείων του Ευκλείδη [4]. Αυτή η μαθηματική πραγματεία, που συντάχθηκε από τον Ευκλείδη, συνοψίζει και οργανώνει τις βασικές γνώσεις της γεωμετρίας στην κλασική Ελλάδα κατά τον 3o αι.Π.χ. Η πραγματεία του είναι οργανωμένη σε ορισμούς, αξιώματα, προτάσεις και αποδείξεις.[5] Το τέλος των αποδείξεων σηματοδοτούνταν με την έκφραση ὅπερ ἔδει δεῖξαι
Σύμφωνα με τον ιστότοπο Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics[6], η έκφραση ὅπερ ἔδει δεῖξαι στα λατινικά quod erat demonstrandum χρησιμοποιήθηκε στις λατινικές μεταφράσεις των Στοιχείων του Ευκλείδη στις αρχές του 16ου αιώνα. Υπάρχουν επίσης διάφορες παραλλαγές, οι οποίες εμφανίστηκαν εκείνη την εποχή:
- Quod erat faciendum: αυτή η έκφραση χρησιμοποιείται στις μεταφράσεις των Στοιχείων στο τέλος μιας γεωμετρικής κατασκευής.
- Quod est absurdum: αυτή η έκφραση ολοκληρώνει τις αποδείξεις μέσω του παραλόγου.
Η τυπογραφία του Γουτεμβέργιου (εκτύπωση με κατάλληλο πιεστήριο) επέτρεψε τη μεγαλύτερη διάδοση των έργων, παρόλο που η έκδοση επιστημονικών βιβλίων (κυρίως μαθηματικών) αποτελούσε τότε οικονομική ζημία. Η έκφραση quod erat demonstrandum επικράτησε σε όλη την Ευρώπη και αντικαταστάθηκε από τα αρχικά QED ή qed.
Η έκφραση « CQFD » έχει περάσει σήμερα στην καθημερινή γλώσσα, για να κλείσει μια συζήτηση στην οποία πιστεύουμε ότι έχουμε προσφέρει αρκετά επιχειρήματα για να πείσουμε τον συνομιλητή μας.
Βιβλιογραφία
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- Σωτήρης Γκουντουβάς, Γεωμετρικές Διαδρομές, Αθήνα 2021
- Euclides (1533). Eukleidou Stoicheiōn bibl. ie. \15! ek tōn theōnos synousiōn. Eis ton autou te prōton, exēgēmatōn Proklou bibl. d. \4!. Adiecta preaefatiuncula in qua de disciplinis mathematicis nonnihil. apud Ioan. Heruagium.
- Euclid (1826). Eukleidou stoicheia. T. Trautweinii.
- Christiani (1792). Commentatio qua explicantur fundamenta calculi quem ab infinito nominamus et ostenditur quomodo iis quae tradiderunt Euclides, Archimedes, Apollonius Pergaeus innitatur calculus infiniti.
- Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik. B. G. Teubner. 1899.
- Abhandlungen zur Geschichte der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. B. G. Teubner. 1900.
- Wallis, John (1657). Johannis Wallisii ... Operum Mathematicorum: pars prima : qua continentur, Oratio inauguralis ; Mathesis universalis, sive, Arithmeticum opus integrum, tum numerosam arithmeticam tum speciosam complectens ; Adversus Meibomii, de proportionibus dialogum, tractatus elencticus. tipys Leon. Lichfield.
- Wallis, John (1657). Operum mathematicorum pars altera. typis Leon. Lichfield Academiae typographi.
Παραπομπές
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- ↑ Σωτήρης Γκουντουβάς (2021), σελ. 42-43
- ↑ Ευκλείδης Στοιχεία 2.5 (επιμ. J. L. Heiberg), ανακτήθηκε 24 Φεβρουαρίου 2019.
- ↑ «Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (Q)». jeff560.tripod.com. Ανακτήθηκε στις 1 Σεπτεμβρίου 2025.
- ↑ Par exemple, Éléments d'Euclide, 2.5.
- ↑ Σωτήρης Γκουντουβάς (2021), σελ. 41-51
- ↑ Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics - letter Q
