Διάνυσμα Λαπλάς–Ραντζ–Λεντς

Στην κλασική μηχανική, το διάνυσμα Laplace-Runge-Lenz (ή απλά το διάνυσμα LRL) είναι ένα διάνυσμα που χρησιμοποιείται κυρίως για να περιγράψει το σχήμα και τον προσανατολισμό της τροχιάς ενός αστρονομικού σώματος γύρω από ένα άλλο, όπως ένας πλανήτης περιστρέφεται γύρω από ένα αστέρι. Για δύο σώματα που αλληλεπιδρούν με νευτώνεια βαρύτητα, το LRL διάνυσμα είναι μια σταθερά της κίνησης, πράγμα που σημαίνει ότι είναι το ίδιο χωρίς να έχει σημασία που υπολογίζεται στην τροχιά, ισοδύναμα, το LRL διάνυσμα λέγεται ότι πρέπει να διατηρηθεί. Γενικότερα, το LRL διάνυσμα διατηρείται σε όλα τα προβλήματα στα οποία αλληλεπιδρούν δύο σώματα ωθούμενα από μια κεντρική δύναμη που μεταβάλλεται ως το αντίστροφο τετράγωνο της απόστασης μεταξύ τους. Τέτοια προβλήματα ονομάζονται προβλήματα Κέπλερ.

Το άτομο του υδρογόνου είναι ένα πρόβλημα Kepler, δεδομένου ότι περιλαμβάνει δύο φορτισμένα σωματίδια που αλληλεπιδρούν σύμφωνα με το νόμο του Coulomb της ηλεκτροστατικής, μια άλλη κεντρική δύναμη του αντίστροφου τετράγωνου. Το διάνυσμα LRL ήταν απαραίτητο στην πρώτη κβαντική μηχανική παραγωγή του φάσματος του ατόμου του υδρογόνου, πριν από την ανάπτυξη της εξίσωσης Schrödinger. Ωστόσο, αυτή η προσέγγιση χρησιμοποιείται σπάνια σήμερα.

Στην κλασσική και την κβαντική μηχανική, συντηρημένες ποσότητες αντιστοιχούν σε μια συμμετρία του συστήματος. Η διατήρηση του διανύσματος LRL αντιστοιχεί σε μια ασυνήθιστη συμμετρία, το πρόβλημα Κέπλερ είναι μαθηματικά ισοδύναμο με ένα σωματίδιο που κινείται ελεύθερα επί της επιφάνειας μίας τεσσάρων διαστάσεων (υπερ-) σφαίρα, so that the whole problem is symmetric under certain rotations of the four-dimensional space. έτσι ώστε όλο το πρόβλημα είναι συμμετρικό υπό ορισμένες περιστροφές του τετραδιάστατου χώρου. Αυτή η υψηλότερη συμμετρία προέρχεται από δύο ιδιότητες του προβλήματος Kepler: το διάνυσμα της ταχύτητας κινείται πάντα σε έναν τέλειο κύκλο και, για μια δεδομένη συνολική ενέργεια, όλοι αυτοι οι κύκλοι του διανύσματος της ταχύτητας τέμνουν ο ένας τον άλλο στα ίδια δύο σημεία.

Γενικό πλαίσιο

Ένα ενιαίο σωματίδιο το οποίο κινείται κάτω από οποιαδήποτε συντηρητική κεντρική δύναμη έχει τουλάχιστον τέσσερις σταθερές της κίνησης, την ολική ενέργεια (Ε) καθώς και τις τρεις καρτεσιανές συνιστώσες της στροφορμής διανύσματος (L). Η τροχιά του σωματιδίου περιορίζεται σε ένα επίπεδο που ορίζεται από την αρχική ορμή (p) του σωματιδίου (ή , ισοδύναμα, την ταχύτητά του (v) και το διάνυσμα r μεταξύ του σωματιδίου και του κέντρο της δύναμης (βλέπε εικόνα 1, παρακάτω).

Όπως ορίζεται παρακάτω (βλέπε μαθηματικό ορισμό), το διάνυσμα Laplace-Runge-Lenz (διάνυσμα LRL ) Α βρίσκεται πάντα στο επίπεδο της κίνησης για κάθε κεντρική δύναμη. Ωστόσο, το Α είναι σταθερό μόνο για μια κεντρική δύναμη αντιστρόφου τετραγώνου. Για τις περισσότερες κεντρικές δυνάμεις, ωστόσο, αυτό το διάνυσμα Α δεν είναι σταθερό, αλλά αλλάζει τόσο σε μήκος 'όσο και σε κατεύθυνση, αν η κεντρική δύναμη υπακούει περίπου στο νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου, το διάνυσμα Α είναι περίπου σταθερό σε μήκος, αλλά σιγά-σιγά περιστρέφει την κατεύθυνσή του. Ένα γενικευμένο συντηρημένη LRL διάνυσμα μπορεί να οριστεί για όλες τις κεντρικές δυνάμεις, αλλά αυτή το γενικευμένο διάνυσμα είναι μια πολύπλοκη συνάρτηση της θέσης, και συνήθως δεν εκφράζεται σε κλειστή μορφή.

Το επίπεδο της κίνησης είναι κάθετο προς το διάνυσμα της στροφορμής L, που είναι σταθερό. Αυτό μπορεί να εκφραστεί μαθηματικά ως το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων r · L = 0, ομοίως δεδομένου ότι το Α βρίσκεται σε αυτό το επίπεδο προκύπτει, A · L = 0.

Το διάνυσμα LRL διαφέρει από τις άλλες διατηρούμενες ποσότητες στην ακόλουθη ιδιότητα: Λαμβάνοντας υπόψη ότι για τυπικές διατηρούμενες ποσότητες υπάρχουν οι αντίστοιχες κυκλικές συντεταγμένες στο τρισδιάστατο σύστημα Lagrangian , εκεί δεν υπάρχουν τέτοιες συντεταγμένες για τον φορέα LRL. Έτσι, η διατήρηση του διανύσματος LRL πρέπει να προέρχεται απευθείας π.χ. από τη μέθοδο του Poisson παρένθεση, η οποία περιγράφεται παρακάτω. Οι συντηρημένες ποσότητες αυτού του είδους ονομάζονται «δυναμικές», σε αντίθεση με τους συνήθεις «γεωμετρικούς» νόμους διατήρησης, π.χ. εκείνους της στροφορμής.

Ιστορία επανακάλυψης

Το διάνυσμα LRL Α είναι μια σταθερά της κίνησης του σημαντικού προβλήματος Κέπλερ και είναι χρήσιμο για την περιγραφή αστρονομικών τροχιών όπως η κίνηση των πλανητών. Παρ 'όλα αυτά ποτέ δεν ήταν ιδιαίτερα διαδεδομένο στους φυσικούς. Κατά συνέπεια έχει ανακαλύφθηκε ανεξάρτητα αρκετές φορές κατά τη διάρκεια των τελευταίων τριών αιώνων. Ο Jakob Hermann ήταν ο πρώτος που δείχνει ότι το Α διατηρείται για μια ειδική περίπτωση μιας κεντρικής δύναμης του αντίστροφου τετραγώνου και επεξεργάστηκε τη σύνδεσή της με την εκκεντρικότητα της τροχιακής έλλειψης. Η εργασία του Hermann γενικεύτηκε σε σύγχρονη μορφή από τον Johann Bernoulli το 1710. Στο τέλος του αιώνα ο Pierre-Simon de Laplace ανακάλυψε ξανά τη διατήρηση του A περισσότερο αναλυτικά παρά γεωμετρικά. Στα μέσα του δέκατου ένατου αιώνα ο William Rowan Hamilton βρίσκει το αντίστοιχο διάνυσμα εκκεντρότητας που ορίζεται παρακάτω, , και το χρησιμοποιεί για να αποδείξει ότι το διάνυσμα p της ορμής κινείται σε έναν κύκλο για την κίνηση κάτω από την επίδραση μιας δύναμης αντιστρόφως ανάλογης του τετραγώνου (Σχήμα 3) .

Στις αρχές του εικοστού αιώνα ο Josiah Willard Gibbs βρίσκει το ίδιο διάνυσμα με διανυσματική ανάλυση.

---

---

Κυκλικά διαγράμματα ταχύτητας της ορμής

Η διατήρηση του LRL διανυσματος Α και της στροφορμής L είναι χρήσιμη καθώς δείχνει οτι το διάνυσμα όρμης p κινείται σε έναν κύκλο με μια αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου κεντρική δύναμη. [6] [7]

Λαμβάνοντας το γινόμενο

$mk~{\hat {\mathbf {r} }}=\mathbf {p} \times \mathbf {L} -\mathbf {A}$

με τον εαυτό του δίνει

$(mk)^{2}=A^{2}+p^{2}L^{2}+2\mathbf {L} \cdot (\mathbf {p} \times \mathbf {A} )~.$

Περαιτέρω επιλέγοντας L κατά μήκος του ζ-άξονα, και τον μεγαλο ημιάξονα ως τον άξονα χ, παίρνουμει την εξίσωση τόπου για p,

Πρότυπο:Equation box 1 .

Με άλλα λόγια, το p διάνυσμα ορμής περιορίζεται σε έναν κύκλο ακτίνας mk / L με κεντρο (0, A / L). Η εκκεντρότητα e αντιστοιχεί στο συνημίτονο της γωνίας η που φαίνεται στο Σχήμα 3. Στο εκφυλισμένο όριο των κυκλικών τροχιών, και ως εκ τούτου εξαφανίζοντας το Α ,ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων (0,0). Για λόγους συντομίας, είναι επίσης χρήσιμο να εισάγουμε την μεταβλητή $p_{0}={\sqrt {2m\left|E\right|}}$. Αυτό το κυκλικό διάγραμμα ταχύτητας είναι χρήσιμο στην απεικόνιση της συμμετρίας του προβλήματος Κέπλερ.

Σταθερές της κίνησης και υπερ-ολοκλήρωση

Οι επτά μονοδιάστατες ποσότητες Ε, Α και L (που είναι διανύσματα, οι δύο τελευταίες συνεισφέρουν τρεις διατηρημένες ποσότητες κάθε μία) σχετίζονται με δύο εξισώσεις, Α · L = 0 και Α2 = m2k2 + 2 m Ε L2, δίνοντας πέντε ανεξάρτητες σταθερές κίνησης. Αυτό είναι σύμφωνο με τις έξι αρχικές συνθήκες (αρχική θέση του σωματιδίου και διανύσματα ταχύτητας, το καθένα με τρεις συνιστώσες) που προσδιορίζουν την τροχιά του σωματιδίου, δεδομένου ότι ο αρχικός χρόνος δεν καθορίζεται από μια συνέχεια της κίνησης. Δεδομένου ότι το μέγεθος του Α (και η εκκεντρότητα e της τροχιάς) μπορεί να προσδιοριστεί από τη συνολική στροφορμή L και η ενέργεια Ε, μόνο η κατεύθυνση της Α διατηρείται ανεξάρτητα. Περαιτέρω, εφόσον το Α πρέπει να είναι κάθετο στο L, συμβάλλει μόνον μία επιπλέον διατηρημένη ποσότητα.

Εξέλιξη υπό διαταραγμένα δυναμικά

Το Laplace-Runge-Lenz Α διατηρείται μόνο για μια τέλεια αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου κεντρική δύναμη. Σε πιο πρακτικά προβλήματα, όπως η πλανητική κίνηση, ωστόσο, η δυναμική ενέργεια αλληλεπίδρασης μεταξύ δύο σωμάτων δεν είναι ακριβώς ένας νόμος αντιστρόφου τετραγώνου αλλά μπορεί να περιλαμβάνει μια πρόσθετη κεντρική δύναμη η λεγόμενη διαταραχή περιγράφεται από μια δυναμική ενέργεια h (R). Σε τέτοιες περιπτώσεις, το LRL περιστρέφεται αργά στο επίπεδο της τροχιάς, που αντιστοιχεί σε αργή αψιδωτή εκτροπή της τροχιάς. Παραδεχόμαστε ότι το διαταράσσων δυναμικό h (r) είναι μια συντηρητική κεντρική δύναμη πράγμα που σημαίνει ότι το ολική ενέργεια Ε και η στροφορμή L διατηρούνται. Έτσι, η κίνηση εξακολουθεί να βρίσκεται σε ένα επίπεδο κάθετο στο L και το μέτρο Α διατηρείται από την εξίσωση = Α2 + m2k2 2mEL2. Το διαταράσσων δυναμικό h (r) μπορεί να είναι οποιοδήποτε είδος της λειτουργία, αλλά θα πρέπει να είναι σημαντικά ασθενέστερη από την κύρια αντιστρόφου τετραγώνου δύναμη μεταξύ των δύο φορέων.

Το ρυθμός με τον οποίο το περιστρέφεται LRL δίνει πληροφορίες σχετικά με το δυναμικό διαταράσσων h (R). Χρησιμοποιώντας κανονική θεωρία διαταραχών και τις δράσης-γωνίας συντεταγμένες είναι απλό να δείξουμε [1] ότι το Α περιστρέφεται με ρυθμό

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial L}}\langle h(r)\rangle &=\displaystyle {\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}h(r)\,dt\right\}\\[1em]&=\displaystyle {\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {m}{L^{2}}}\int _{0}^{2\pi }r^{2}h(r)\,d\theta \right\}.\end{aligned}}$

όπου Τ είναι η τροχιακή περίοδος και η ταυτότητα L dt = m r2 dθ χρησιμοποιήθηκε για να μετατρέψει το ολοκλήρωμα χρόνου σε ένα γωνιακό ολοκλήρωμα (Σχήμα 5). Η έκφραση σε ορθογώνιες παρενθέσεις <h(r)> αντιπροσωπεύει το διαταράσσων δυναμικό, αλλά κατά μέσο όρο πάνω από μια πλήρη περίοδο, που είναι κατά μέσο όρο πάνω από ένα πλήρη πέρασμα του σώματος γύρω από την τροχιά του. Από μαθηματική άποψη ο μέσος όρος του χρόνου αντιστοιχεί στην ακόλουθη ποσότητα σε αγκύλες. Αυτός ο μέσος όρος βοηθά στην ελλαχιστοποιήση των διακυμάνσεων του ρυθμού περιστροφής.

Η προσέγγιση αυτή χρησιμοποιείται για να βοηθήσει ελέγξει τη θεωρία του Αϊνστάιν της γενικής σχετικότητας η οποία προσθέτει μια μικρή αντίστροφη κυβικών διαταραχών στην κανονική νευτώνεια βαρυτική δυναμική. [23]

$h(r)={\frac {kL^{2}}{m^{2}c^{2}}}\left({\frac {1}{r^{3}}}\right)$

Εισάγοντας αυτή τη λειτουργία στο ολοκλήρωμα και χρησιμοποιώντας την εξίσωση

${\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\frac {A}{mk}}\cos \theta \right)$

για να εκφράσουμε την r συναρτήση της θ, ο ρυθμός εκτροπή της περίαψης προκαλείται από αυτή την μη-Νευτώνεια διαταραχή υπολογίζεται να είναι [23]

${\frac {6\pi k^{2}}{TL^{2}c^{2}}}$

που ταιριάζει με την παρατηρούμενη ανώμαλη εκτροπή του Ερμή [24] και των πάλσαρ [25] Αυτή η συμφωνία με το πείραμα θεωρείται ότι είναι ισχυρή ένδείξη για τη γενική σχετικότητα. [26] [27]

Αγκύλες Poisson

Οι τρεις συνιστώσες Li της στροφορμής L έχουν τις Poisson αγκύλες [1]

$\left\{L_{i},L_{j}\right\}=\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}L_{s}~,$

όπου i = 1,2,3 και εijs είναι ο πλήρως αντισυμμετρικός τανυστής δηλαδή το Levi-Civita σύμβολο. Το άθροισμα του δείκτη s χρησιμοποιείται εδώ για να αποφεύγεται η σύγχυση με τις παράμετρο δύναμης k που ορίζεται παραπάνω. Οι αγκύλες Poisson που εκπροσωπούνται εδώ ως τετραγωνικές παρενθέσεις (όχι αγκύλες) τόσο για λόγους συνοχής με τις αναφορές και επειδή θα πρέπει να ερμηνευθεί ως σχέσεις μετατροπής κβαντομηχανικής στην επόμενη ενότητα και ως Lie παρένθεση σε μια επόμενη ενότητα.

Όπως αναφέρεται παρακάτω ένα απλοποιημένο Laplace-Runge-Lenz διάνυσμα D μπορεί να οριστεί με τις ίδιες μονάδες ως στροφορμή διαιρώντας A με $p_{0}={\sqrt {2m|E|}}$ . Οι Poisson παρενθέσεις του D με την γωνιακές L μπορεί να γραφεί σε μια παρόμοια μορφή [28]

$\left\{D_{i},L_{j}\right\}=\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}D_{s}~.$

Οι Poisson παρενθέσεις της D με τον εαυτό της εξαρτάται από το πρόσημο του Ε, δηλαδή, από το αν η ολική ενέργεια Ε είναι αρνητική (που παράγει κλειστές, ελλειπτικές τροχιές υπό μια αντιστρόφου τετραγώνου κεντρική δύναμη) ή θετική (που παράγει ανοικτές, υπερβολικές τροχιές υπό μια αντιστρόφου τετράγωνου κεντρική δύναμη). Για τις αρνητικές ενέργειες - δηλαδή, για τα συνδεδεμένα συστήματα - οι παρενθέσεις Poisson είναι

$\left\{D_{i},D_{j}\right\}=\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}L_{s}~,$

λαμβάνοντας υπόψη ότι, για τη θετική ενέργεια, οι παρενθέσεις Poisson έχουν το αντίθετο πρόσημο,

$\left\{D_{i},D_{j}\right\}=-\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}L_{s}~.$

Οι σταθερές Casimir για αρνητικές ενέργειες είναι

$C_{1}=\mathbf {D} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} ={\frac {mk^{2}}{2\left|E\right|}}$

$C_{2}=\mathbf {D} \cdot \mathbf {L} =0,$

και έχουν μηδενικές αγκύλες Poisson με όλες τις συνιστώσες των Α και L,

$\left\{C_{1},L_{i}\right\}=\left\{C_{1},D_{i}\right\}=\left\{C_{2},L_{i}\right\}=\left\{C_{2},D_{i}\right\}=0~.$

Η C2 είναι τετριμμένα μηδέν, δεδομένου ότι οι δύο διανύσματα είναι πάντα κάθετα.

Ωστόσο,η άλλη σταθερά, C1, δεν είναι τετριμένη και εξαρτάται μόνο από τα m, k και Ε. Μετά την κανονικήν κβαντοποίηση, αυτή η σταθερά αφήνει αμετάβλητη την ενέργεια ατόμων όμοιων με το υδρογόνο που μπορούν να προκύπτουν με τη χρήση μόνο κβαντομηχανικών κανονικών σχέσεων μετατροπής, αντί της συμβατικής λύσης της εξίσωσης Schrödinger.

Κβαντομηχανική του ατόμου του υδρογόνου

Οι Poisson παρενθέσεις παρέχουν έναν απλό οδηγό για τη κβαντοποίηση πιο κλασικών συστημάτων: η σχέση μετατροπής των δύο κβαντομηχανικών σταθερών προκύπτει από τη παρένθεση Poisson των αντίστοιχων κλασικών μεταβλητών, πολλαπλασιαζόμενη με iħ [29]

Με τη διεξαγωγή αυτής της κβαντοποίησης και υπολογίζοντας τις ιδιοτιμές της $C_{1}$ σταθεράς Casimir για το πρόβλημα του Kepler, ο Wolfgang Pauli ήταν σε θέση να κατανοήσει τα επίπεδα ενέργειας ατόμων όμοιων με το υδρογόνο (Σχήμα 6) και, ως εκ τούτου, το ατομικό φάσμα εκπομπής τους. [3] Αυτό το κομψό δημιούργημα επιτεύχθηκε πριν από την ανάπτυξη της εξίσωσης Schrödinger. [30] Η λεπτότητα της κβαντομηχανικής σταθεράς για το LRL διάνυσμα Α είναι ότι η ορμή και η στροφορμή δεν μετακινούνται,ως εκ τούτου, το εξωτερικό γινόμενο των p και L πρέπει να ορίζεται με προσοχή. [28] Συνήθως, οι σταθερές για τις καρτεσιανές συνιστώσες As ορίζονται βάσει ενός συμμετρικού γινομένου,

$A_{s}=-mk{\hat {r}}_{s}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\epsilon _{sij}\left(p_{i}l_{j}+l_{j}p_{i}\right),$

από το οποίο οι αντίστοιχες πρόσθετες κλιμακωτές σταθερές για το L μπορούν να οριστούν,

$J_{0}=A_{3}\,$

$J_{\pm 1}=\mp {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(A_{1}\pm iA_{2}\right)~.$

Αυτές περαιτέρω συνδέουν διαφορετικές ιδιοκαταστάσεις της L2.

Μια κανονικοποιημένη πρώτη Casimir σταθερά σταθεράς, με κβάντο ανάλογο του παραπάνω, μπορεί επίσης να οριστεί,

$C_{1}=-{\frac {mk^{2}}{2\hbar ^{2}}}H^{-1}-I~,$

όπου Η⁻¹ είναι το αντίστροφο της Χαμιλτονιανής σταθεράς ενέργειας, και το Ι είναι ο φορέας ταυτότητας.

. Εφαρμόζοντας αυτες τις κλιμακωτές σταθερές της ιδιοκαταστάσεις $\left|lmn\right.\rangle$ της συνολικής στροφορμής, αζιμουθιακής στροφορμής και τους ενεργειακούς φορείς, οι ιδιοτιμές του πρώτου Casimir φορέα C1 είναι n² - 1. Είναι αξιοσημείωτο, ότι λόγω του μηδενισμού του C2, είναι ανεξάρτητα από τους l και m κβαντικούς αριθμούς, καθιστώντας τα ενεργειακά επίπεδα εκφυλισμένα. [28]

Ως εκ τούτου, τα επίπεδα της ενέργειας δίνονται από τον τυπο

$E_{n}=-{\frac {mk^{2}}{2\hbar ^{2}n^{2}}},$

η οποία συμπίπτει με τον τύπο Rydberg για ατομα όμοια με το υδρογόνο (Σχήμα 6). Οι πρόσθετες σταθερές συμμετρίας Α έχουν συνδέσει εμμέσως τις διάφορες πολλαπλές Ι μεταξύ τους, για μία δεδομένη ενέργεια (και την C1). Στην πραγματικότητα, έχουν διευρύνει την ομάδα SO (3) σε SO (4).

---

---