Θεώρημα των Σιμούρα-Τανιγιάμα

Το θεώρημα των Σιμούρα-Τανιγιάμα δείχνει ότι κάθε ελλειπτική καμπύλη πάνω από τους ρητούς αριθμούς συνδέεται με μια δομοστοιχειωτή μορφή.

Ο Άγγλος μαθηματικός Άντριου Γουάιλς απέδειξε, τη δεκαετία του 1990, το θεώρημα στην περίπτωση των ημιευσταθών ελλειπτικών καμπυλών, το οποίο ήταν αρκετό για να αποδειχθεί το τελευταίο θεώρημα του Φερμά ως πόρισμα. Μια ιδέα που πρωτοδιατύπωσε ο Γερμανός μαθηματικός Γκέρχαρντ Φράι. Οι Μπρόιλ, Μπράιαν Κόνραντ, Φρεντ Ντάιαμοντ, και Ρίτσαρντ Τέιλορ επέκτειναν τη μέθοδο του Ουάλις για να αποδείξουν το θεώρημα για όλες τις ελλειπτικές καμπύλες πάνω από τους ρητούς το 2001.

Ιστορία

Ο Γιούτάκα Τανιγιάμα διατύπωσε μια προκαταρκτική («λίγο λανθασμένη») εκδοχή της εικασίας στο διεθνές συμπόσιο του 1955 για την αλγεβρική θεωρία αριθμών στο Τόκιο και το Νίκκο. Ο Γκόρο Σιμούρα και ο Τανιγιάμα εργάστηκαν για τη βελτίωση της ακρίβειάς της μέχρι το 1957. Ο Αντρέ Βέιλ ανακάλυψε εκ νέου την εικασία και έδειξε το 1967 ότι αυτή θα προέκυπτε από τις (εικαζόμενες) λειτουργικές εξισώσεις για κάποιες στριμμένες σειρές $L$ της ελλειπτικής καμπύλης- αυτή ήταν η πρώτη σοβαρή απόδειξη ότι η εικασία μπορεί να είναι αληθινή. Ο Βέιλ έδειξε επίσης ότι ο αγωγός της ελλειπτικής καμπύλης πρέπει να είναι το επίπεδο της αντίστοιχης σπονδυλωτής μορφής. Η εικασία των Τανιγιάμα-Σιμούρα-Βέιλ έγινε μέρος του προγράμματος Λάνγκλαντς.

Η εικασία προσέλκυσε σημαντικό ενδιαφέρον όταν ο Γκερχάρντ Φρέι]πρότεινε το 1986 ότι συνεπάγεται το τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Αυτό το έκανε προσπαθώντας να δείξει ότι οποιοδήποτε αντιπαράδειγμα στο Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά θα συνεπαγόταν την ύπαρξη τουλάχιστον μίας μη μοδικής ελλειπτικής καμπύλης. Το επιχείρημα αυτό ολοκληρώθηκε το 1987 όταν ο Ζαν-Πιερ Σερ εντόπισε έναν χαμένο κρίκο (σήμερα γνωστό ως εικασία του έψιλον ή θεώρημα του Ριμπέ) στην αρχική εργασία του Φρέι, και δύο χρόνια αργότερα ο Κεν Ριμπέ ολοκλήρωσε την απόδειξη της εικασίας του έψιλον.

Ακόμα και αφού κέρδισε την προσοχή, η εικασία των Τανιγιάμα-Σιμούρα-Βέιλ θεωρήθηκε από τους σύγχρονους μαθηματικούς ως εξαιρετικά δύσκολη να αποδειχθεί ή ίσως και απρόσιτη για απόδειξη. Παραδείγματος χάριν, ο επιβλέπων του διδακτορικού του Γουάιλς, Τζον Κόουτς, αναφέρει ότι φαινόταν «Αδύνατον να αποδειχθεί στην πραγματικότητα», και ο Κεν Ρίμπετ θεωρούσε τον εαυτό του «έναν από τη συντριπτική πλειοψηφία των ανθρώπων που πίστευαν ότι ήταν εντελώς απρόσιτη».

Το 1995, ο Άντριου Γουάιλς, με λίγη βοήθεια από τον Ρίτσαρντ Τέιλορ, απέδειξε την εικασία Τανιγιάμα-Σιμούρα-Γουέιλ για όλες τις ελλειπτικές καμπύλες που είναι ημισταθερές. Ο Γουάιλς το χρησιμοποίησε αυτό για να αποδείξει το τελευταίο θεώρημα του Φερμά και η πλήρης εικασία Τανιγιάμα-Σιμούρα-Βέιλ αποδείχθηκε τελικά από τους Ντάιμοντ, Οι Κονράντ, Ντάιαμοντ & Τέιλορ και οι Μπρέουιλ, Κονράντ, Ντάιαμοντ & Τέιλορ, βασιζόμενοι στην εργασία του Γουάιλς, σταδιακά απέκλεισαν τις υπόλοιπες περιπτώσεις μέχρι να αποδειχθεί το πλήρες αποτέλεσμα το 1999. Μόλις αποδείχθηκε πλήρως, η εικασία έγινε γνωστή ως το θεώρημα της modularity.

Αρκετά θεωρήματα στη θεωρία αριθμών παρόμοια με το τελευταίο θεώρημα του Φερμά προκύπτουν από το θεώρημα της modularity. Παραδείγματος χάριν: κανένας κύβος δεν μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο συντριπτικών $n$-th δυνάμεων,$n\geq 3$.

Βιβλιογραφία

• Breuil, Christophe; Conrad, Brian; Diamond, Fred; Taylor, Richard (2001), «On the modularity of elliptic curves over Q: wild 3-adic exercises», en:Journal of the American Mathematical Society 14 (4): 843–939, doi:10.1090/S0894-0347-01-00370-8, ISSN 0894-0347 
• Conrad, Brian; Diamond, Fred; Taylor, Richard (1999), «Modularity of certain potentially Barsotti–Tate Galois representations», Journal of the American Mathematical Society 12 (2): 521–567, doi:10.1090/S0894-0347-99-00287-8, ISSN 0894-0347 
• Cornell, Gary; Silverman, Joseph H.; Stevens, Glenn, επιμ.. (1997), Modular forms and Fermat's last theorem, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94609-2, https://books.google.com/books?id=Va-quzVwtMsC 
• Darmon, Henri (1999), «A proof of the full Shimura–Taniyama–Weil conjecture is announced», Notices of the American Mathematical Society 46 (11): 1397–1401, ISSN 0002-9920, https://www.ams.org/notices/199911/comm-darmon.pdf Contains a gentle introduction to the theorem and an outline of the proof.
• Diamond, Fred (1996), «On deformation rings and Hecke rings», Annals of Mathematics, Second Series 144 (1): 137–166, doi:10.2307/2118586, ISSN 0003-486X 
• Freitas, Nuno; Le Hung, Bao V.; Siksek, Samir (2015), «Elliptic curves over real quadratic fields are modular», Inventiones Mathematicae 201 (1): 159–206, doi:10.1007/s00222-014-0550-z, ISSN 0020-9910 
• Frey, Gerhard (1986), «Links between stable elliptic curves and certain Diophantine equations», Annales Universitatis Saraviensis. Series Mathematicae 1 (1): iv+40, ISSN 0933-8268 
• Mazur, Barry (1991), «Number theory as gadfly», The American Mathematical Monthly 98 (7): 593–610, doi:10.2307/2324924, ISSN 0002-9890  Discusses the Taniyama–Shimura–Weil conjecture 3 years before it was proven for infinitely many cases.
• Ribet, Kenneth A. (1990), «On modular representations of Gal(Q/Q) arising from modular forms», Inventiones Mathematicae 100 (2): 431–476, doi:10.1007/BF01231195, ISSN 0020-9910 
• Serre, Jean-Pierre (1987), «Sur les représentations modulaires de degré 2 de Gal(Q/Q)», Duke Mathematical Journal 54 (1): 179–230, doi:10.1215/S0012-7094-87-05413-5, ISSN 0012-7094 
• Shimura, Goro (1989), «Yutaka Taniyama and his time. Very personal recollections», The Bulletin of the London Mathematical Society 21 (2): 186–196, doi:10.1112/blms/21.2.186, ISSN 0024-6093 
• Singh, Simon (1997), Fermat's Last Theorem, Fourth Estate, ISBN 978-1-85702-521-7 
• Taniyama, Yutaka (1956), «Problem 12», Sugaku 7: 269  English translation in (Shimura 1989, p. 194)
• Taylor, Richard; Wiles, Andrew (1995), «Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras», Annals of Mathematics, Second Series 141 (3): 553–572, doi:10.2307/2118560, ISSN 0003-486X 
• Weil, André (1967), «Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen», Mathematische Annalen 168: 149–156, doi:10.1007/BF01361551, ISSN 0025-5831 
• Wiles, Andrew (1995a), «Modular elliptic curves and Fermat's last theorem», Annals of Mathematics, Second Series 141 (3): 443–551, doi:10.2307/2118559, ISSN 0003-486X 
• Wiles, Andrew (1995b), «Modular forms, elliptic curves, and Fermat's last theorem», Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Zürich, 1994), Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, σελ. 243–245