Μηχανή του Άτγουντ

Εικονογράφηση της μηχανής Atwood, 1905.

Η μηχανή Atwood (ή η μηχανή του Atwood ) εφευρέθηκε το 1784 από τον Άγγλο μαθηματικό George Atwood ως εργαστηριακό πείραμα για την επαλήθευση των μηχανικών νόμων της κίνησης με σταθερή επιτάχυνση . Η μηχανή του Atwood είναι μια κοινή επίδειξη στην τάξη που χρησιμοποιείται για την απεικόνιση των αρχών της κλασικής μηχανικής .

Η ιδανική μηχανή Atwood αποτελείται από δύο αντικείμενα μάζας m₁ και m₂, συνδεδεμένα με ένα μη εκτατό και αβαρές νήμα περασμένη από μια ιδανική τροχαλία, δηλαδή που δεν έχει μάζα .

Και οι δύο μάζες έχουν ομοιόμορφη επιτάχυνση. Όταν m₁ = m₂, η μηχανή βρίσκεται σε ουδέτερη ισορροπία ανεξάρτητα από τη θέση των βαρών.

Εξίσωση σταθερής επιτάχυνσης

Τα διαγράμματα ελεύθερου σώματος των δύο κρεμαστών μαζών της μηχανής Atwood. Η σύμβαση του σημείου μας, που απεικονίζεται από τα διανύσματα επιτάχυνσης είναι ότι m₁ επιταχύνεται προς τα κάτω και ότι m₂ επιταχύνεται προς τα πάνω, όπως θα συνέβαινε αν m₁ > m₂

Μια εξίσωση για την επιτάχυνση μπορεί να εξαχθεί με την ανάλυση των δυνάμεων. Υποθέτοντας ότι το νήμα είναι μη εκτατό και αβαρές και πως έχουμε μια ιδανική τροχαλία χωρίς μάζα, οι μόνες δυνάμεις που ασκούνται είναι: η δύναμη τάσης ( T ) και το βάρος των δύο μαζών ( W₁ και W₂ ). Για να βρούμε την επιτάχυνση, εξετάζουμε τις δυνάμεις που επηρεάζουν κάθε μάζα ξεχωριστά. Χρησιμοποιώντας τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα (με σύμβαση του $m_{1}>m_{2}$) εξάγετε ένα σύστημα εξισώσεων για την επιτάχυνση ( a ).

Υποθέστε ότι το α είναι θετικό όταν είναι προς τα κάτω για $m_{1}$ και προς τα πάνω για $m_{2}$ . Το βάρος του $m_{1}$ και $m_{2}$ είναι απλά $W_{1}=m_{1}g$ και $W_{2}=m_{2}g$ αντίστοιχα.

Δυνάμεις που επηρεάζουν το m₁:

$m_{1}g-T=m_{1}a$

Δυνάμεις που επηρεάζουν το m₂:

$T-m_{2}g=m_{2}a$

Και προσθέτοντας τις δύο προηγούμενες εξισώσεις κατά μέλη προκύπτει:

$m_{1}g-m_{2}g=m_{1}a+m_{2}a$

Και η τελική σχέση για την επιτάχυνση είναι:

$a=g{\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

Η μηχανή Atwood χρησιμοποιείται μερικές φορές για να απεικονίσει τη μέθοδο Lagrangian εξαγωγής εξισώσεων κίνησης.

Εφαρμογές

Οι αρχικές εικόνες του Atwood δείχνουν τον άξονα της κύριας τροχαλίας να στηρίζεται στις ζάντες άλλων τεσσάρων τροχών, για να ελαχιστοποιηθούν οι δυνάμεις τριβής από τα ρουλεμάν . Πολλές ιστορικές υλοποιήσεις του μηχανήματος ακολουθούν αυτόν τον σχεδιασμό.

Ένας ανελκυστήρας με αντίβαρο προσεγγίζει μια ιδανική μηχανή Atwood και έτσι απαλλάσσει τον κινητήρα κίνησης από το φορτίο συγκράτησης της καμπίνας του ανελκυστήρα — πρέπει να ξεπεράσει μόνο τη διαφορά βάρους και την αδράνεια των δύο μαζών. Η ίδια αρχή χρησιμοποιείται για τους σιδηροδρόμους με τελεφερίκ με δύο συνδεδεμένα βαγόνια σε κεκλιμένες γραμμές και για τους ανελκυστήρες στον Πύργο του Άιφελ που αντισταθμίζουν ο ένας τον άλλον. Τα λιφτ του σκι είναι ένα άλλο παράδειγμα, όπου οι γόνδολες κινούνται σε ένα κλειστό (συνεχές) σύστημα τροχαλιών πάνω και κάτω από το βουνό. Το λιφτ του σκι είναι παρόμοιο με το αντίβαρο ανελκυστήρα, αλλά με περιοριστική δύναμη που παρέχεται από το καλώδιο στην κατακόρυφη διάσταση, επιτυγχάνοντας έτσι εργασία τόσο στην οριζόντια όσο και στην κατακόρυφη διάσταση. Οι ανελκυστήρες σκαφών είναι ένας άλλος τύπος αντισταθμισμένου συστήματος ανελκυστήρων που προσεγγίζει ένα μηχάνημα Atwood.