Ισομορφισμός

Στα μαθηματικά, ένας ισομορφισμός (από τα αρχαία ελληνικά ίσος και μορφή) είναι ένας ομομορφισμός ή μορφισμός (δηλαδή για παράδειγμα μια μαθηματική απεικόνιση) όπου ισχύει το αντίστροφο. Δύο μαθηματικά αντικείμενα είναι ισομορφικά εάν υπάρχει ένας ισομορφισμός μεταξύ τους. Ένας αυτομορφισμός είναι ένας ισομορφισμός του οποίου η αρχική απεικόνιση και η απεικόνιση που προκύπτει μέσω του ισομορφισμού συμπίπτουν. Το ενδιαφέρον των ισομορφισμών έγκειται στο γεγονός ότι δύο ισομορφικά αντικείμενα δεν μπορούν να διαχωριστούν, χρησιμοποιώντας μόνο τις ιδιότητες που χρησιμοποιούνται για να καθορίσουν τον μορφισμό: έτσι ισομορφικά αντικείμενα μπορoύν να θεωρηθούν το ίδιο, αρκεί να αναλογιστεί κανείς μόνο, τις ιδιότητες αυτές καθώς και τις συνέπειές τους.

Για τις περισσότερες αλγεβρικές κατασκευές, συμπεριλαμβανομένων των ομάδων και των δακτυλίων, ένας ομομορφισμός είναι ένας ισομορφισμός αν και μόνο αν είναι (1-1) και επί.

Στην τοπολογία, όπου οι μορφισμοί είναι συνεχείς συναρτήσεις, οι ισομορφισμοί επίσης ονομάζονται και ομοιομορφισμοί ή αμφισυνεχείς συναρτήσεις. Στην μαθηματική ανάλυση, όπου οι μορφισμοί είναι διαφορίσιμες συναρτήσεις, ισομορφισμοί ονομάζονται και μορφισμοί διαφορικών.

Ένας κανονικός ισομορφισμός είναι μια κανονική  αντιστοίχιση όπου είναι ένας ισομορφισμός. Δύο αντικείμενα είναι κανονικώς ισομορφικά, εάν υπάρχει ένας κανονικός ισομορφισμός μεταξύ τους. Για παράδειγμα, την κανονική απεικόνιση από ένα πεπερασμένο-διαστατό διανυσματικό χώρο V σε ένα δεύτερο διπλό διάστημα, είναι ένα κανονικός ισομορφισμός: από την άλλη , ο διανυσματικός χώρος V είναι ισομορφικός με το δυικό χώρο του, αλλά όχι κανονικώς,γενικά.

Οι ισομορφισμοί έχουν επισημοποιηθεί χρησιμοποιώντας την θεωρία κατηγοριών. Ένας μορφισμός f : X → Y σε μια κατηγορία είναι ένας ισομορφισμός, αν επιτρέπει μια αμφίδρομη αντίστροφή, πράγμα που σημαίνει ότι υπάρχει και ένας άλλος μορφισμός g : Y → X σε αυτήν την κατηγορία έτσι ώστε gf = 1_X και fg = 1_Y όπου 1_Χ και 1_Y είναι ο ταυτοτικός μορφισμός των X και Y, αντίστοιχα.

Παραδείγματα

Λογάριθμος και εκθετική

Έστω ότι  $\mathbb {R} ^{+}$ είναι η πολλαπλασιαστική ομάδα των θετικών πραγματικών αριθμών, και έστω $\mathbb {R}$ είναι η προσθετική ομάδα των πραγματικών αριθμών.

Η λογαριθμική συνάρτηση $\log \colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R}$ ικανοποιεί τη σχέση $\log(xy)=\log x+\log y$ για κάθε $x,y\in \mathbb {R} ^{+}$, έτσι ώστε να είναι ένας ομομορφισμός ομάδας . Η εκθετική συνάρτηση $\exp \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}$ ικανοποιεί τη σχέση $\exp(x+y)=(\exp x)(\exp y)$ για κάθε $x,y\in \mathbb {R}$, γι ' αυτό είναι και αυτή ένας ομομορφισμός.

Οι ταυτότητες $\log \exp x=x$ και $\exp \log y=y$ δείχνουν ότι $\log$ και να $\exp$ είναι αντίστροφες συναρτήσεις των εαυτών τους. Δεδομένου ότι $\log$ είναι ένας ομομορφισμός που έχει μια αντίστροφη, που είναι επίσης ένας ομομορφισμός η συνάρτηση $\log$ είναι ένας ισομορφισμός ομάδων.

Επειδή η $\log$ είναι ένας ισομορφισμός, μεταφράζει τον πολλαπλασιασμό των θετικών πραγματικών αριθμών σε πρόσθεση τους. Αυτή η ιδιότητα  επιτρέπει να πολλαπλασιάσουμε πραγματικούς αριθμούς χρησιμοποιώντας ένα χάρακα και ένα πίνακα λογαρίθμων, ή χρησιμοποιώντας ένα κανόνα με λογαριθμική κλίμακα.

Ακέραιοι modulo 6

 Θεωρούμε την ομάδα $(\mathbb {Z} _{6},+)$,και τους ακέραιους από το 0 έως το 5 με την πρόσθεση modulo 6. Επίσης, θεωρούμε την ομάδα $(\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{3},+)$, τα διατεταγμένα ζεύγη, όπου οι x συντεταγμένες  μπορεί να είναι 0 ή 1, και οι  y συντεταγμένες μπορεί να είναι 0, 1, ή 2, όπου άθροισμα στην x-συντεταγμένη είναι modulo 2, και άθροισμα στην y-συντεταγμένη είναι modulo 3.

Αυτές οι δομές είναι ισομορφικές υπό την πρόσθεση, και  μπορούμε να τις αναγνωρίσουμε, χρησιμοποιώντας το ακόλουθο σχήμα:

(0,0) → 0

(1,1) → 1

(0,2) → 2

(1,0) → 3

(0,1) → 4

(1,2) → 5

ή, γενικά, (a,b) → (3α + 4β) mod 6.

Για παράδειγμα, σημειώνουμε ότι (1,1) + (1,0) = (0,1), το οποίο μεταφράζεται σε άλλο σύστημα 1 + 3 = 4.

Παρόλο που αυτές οι δύο ομάδες "φαίνονται" διαφορετικές,στο ότι τα σύνολα περιέχουν διαφορετικά στοιχεία, που πράγματι, είναι πράγματι ισομορφικά: οι δομές τους είναι ακριβώς οι ίδιες. Γενικότερα, το άμεσο προϊόν των δύο κυκλικών ομάδων $\mathbb {Z} _{m}$ και $\mathbb {Z} _{n}$ είναι ισομορφικό με το $(\mathbb {Z} _{mn},+)$ εάν και μόνον εάν m και n είναι πρώτοι μεταξύ τους.

Σχέση- διατηρούσα ισομορφισμού

Αν ένα αντικείμενο αποτελείται από ένα σύνολο X με μια δυαδική σχέση R και το άλλο αντικείμενο αποτελείται από ένα σύνολο Y με μια δυαδική σχέση S, τότε ένας ισομορφισμός από το X προς το Y είναι μια αμφιμονοσήμαντη και επί συνάρτηση ƒ: X → Y τέτοια ώστε:

$\operatorname {S} (f(u),f(v))\iff \operatorname {R} (u,v)$

υS είναι ανακλαστική,μη ανακλαστική, συμμετρική, αντισυμμετρική, ασύμμετρη, μεταβατική, συνολική, μερικά διατεταγμένη, ολικά διατεταγμένη,αυστηρή ασθενή διάταξη, ολική προδιάταξη(ασθενής διάταξη) μια σχέση ισοδυναμίας, ή μια σχέση με άλλες ειδικές ιδιότητες, αν και μόνο αν το R είναι.

Για παράδειγμα, το R είναι μια διάταξη  ≤ και το S μια διάταξη $\scriptstyle \sqsubseteq$, τότε ένας ισομορφισμός από το X προς το Y είναι μια  ένα προς ένα και επί συνάρτηση ƒ: X → Y τέτοια ώστε:

$f(u)\sqsubseteq f(v)\iff u\leq v.$

Ένας τέτοιος ισομορφισμός ονομάζεται  σειρά ισομορφισμών ή (λιγότερο συχνά) ισότονος ισομορφισμός.

Αν X = Y, τότε αυτό είναι μία σχέση-διατηρούσα αυτομορφισμού.

Ισομορφισμός ενάντια στους μορφισμούς 1-1 και επί

Σε μια συμπαγής κατηγορία (που είναι, σε γενικές γραμμές, μια κατηγορία των οποίων τα αντικείμενα είναι σύνολα και μορφισμοί,  είναι αντιστοιχίσεις μεταξύ των συνόλων), όπως είναι η κατηγορία των τοπολογικών χώρων ή οι κατηγορίες των αλγεβρικών αντικείμενων, όπως των ομάδων, δακτυλίων και modules, ένας ισομορφισμός πρέπει να είναι ένα προς ένα (1-1) και επί των βασικών σύνολων. Σε αλγεβρικές κατηγορίες, (πιο συγκεκριμένα, στις  κατηγορίες των ποικιλιών υπό την έννοια της καθολικής άλγεβρας), ένας ισομορφισμός είναι το ίδιο με ένα ομομορφισμό που είναι ένα προς ένα (1-1)  και επί σε βασικά σύνολα. Ωστόσο, υπάρχουν συμπαγείς κατηγορίες στις οποίες οι μορφισμοί (1-1) και επί δεν είναι απαραίτητα ισομορφισμοί (όπως είναι η κατηγορία των τοπολογικών χώρων), και υπάρχουν κατηγορίες στις οποίες κάθε αντικείμενο επιδέχεται ένα βασικό σύνολο, αλλά, στην οποία οι ισομορφισμοί δεν χρειάζεται να είναι ένα προς ένα (1-1) και επί (όπως η ομοτοπική κατηγορία της πολυπλοκότητας των CW) .

Εφαρμογές

Στην αφηρημένη άλγεβρα, δύο βασικοί ισομορφιμοί ορίζονται:

• Ισομορφισμός ομάδας, ένας ισομορφισμός μεταξύ των ομάδων
• Ισομορφισμός δακτυλίων, ένας ισομορφισμός μεταξύ δακτυλίων.  (Σημειώστε ότι οι ισομορφισμοί μεταξύ σωμάτων είναι στην πραγματικότητα ισομορφισμός δακτυλίων )

Όπως ο αυτομορφισμός μιας αλγεβρικής δομής από ένα σύνολο, οι ισομορφισμοί μεταξύ δύο αλγεβρών οι οποίες μοιράζονται μια κοινή δομή από έναν σωρό. Επιτρέποντας έναν συγκεκριμένο ισομορφισμό να εντοπίσει τις δύο δομές να μετατρέψει αυτόν τον σωρό σε μία ομάδα.

Στην μαθηματική ανάλυση, ο μετασχηματισμός Λαπλάς είναι μια ισομορφική αντιστοίχηση πιο περίπλοκων διαφορικών εξισώσεων σε ευκολότερες αλγεβρικές εξισώσεις.

Στην θεωρία κατηγοριών, έστω ότι η κατηγορία Γ αποτελείται από δύο τάξεις, μία από τα αντικείμενα και μια από τους μορφισμούς. Στη συνέχεια, ένας γενικός ορισμός του ισομορφισού που καλύπτει τις προηγούμενες και πολλές άλλες περιπτώσεις είναι: 

Ένας ισομορφισμός είναι μορφισμός ƒ: a → b , που έχει αντίστροφη, δηλαδή υπάρχει ένας μορφισμός g: b → a με ƒg = 1_b και gƒ = 1_a. Για παράδειγμα, ένας ένα προς ένα (1-1) και επί  γραμμικός μετασχηματισμός είναι ένας ισομορφισμός μεταξύ διανυσματικών χώρων, και η ισομορφική συνεχής λειτουργία του οποίου η αντίστροφος είναι επίσης συνεχής και είναι ένας ισομορφισμός μεταξύ τοπολογικών χώρων, που ονομάζεται ομοιομορφισμός.

Στη θεωρία γραφημάτων,ένας ισομορφισμός μεταξύ δύο γραφημάτων G και H είναι μία αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση f από τις κορυφές του G στις κορυφές του H που διατηρεί την ''δομή των άκρων'' με την έννοια ότι υπάρχει μία άκρη από την κορυφή u στην κορυφή v στο G αν και μόνο αν υπάρχει μια άκρη από την ƒ(u) στην ƒ(v) στο H.

Στη Μαθηματική Ανάλυση,ένας ισομορφισμός ανάμεσα σε δύο χώρους Χίλμπερτ είναι μια αμφιμονοσήμαντη και επί συνάρτηση η οποία διατηρεί την πρόσθεση,τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό και το εσωτερικό γινόμενο.

Στις αρχικές θεωρίες του λογικού ατομισμού, η επίσημη σχέση μεταξύ γεγονότων και προτάσεων θεωρητικοποιήθηκε από τον Μπέρτραντ Ράσελ και τον Λούντβιχ Βιτγκενστάιν για να είναι ισομορφική. Ένα παράδειγμα αυτής της γραμμής σκέψης, μπορεί να βρεθεί στην Εισαγωγή στην φιλοσοφία των μαθηματικών του Μπέρτραντ Ράσελ.

Στην κυβερνητική,ο καλός ρυθμιστής ή το θεώρημα Conant-Ashby αναφέρεται ότι "Κάθε καλός ρυθμιστής ενός συστήματος οφείλει να είναι μοντέλο αυτού του συστήματος". Είτε ρυθμισμένος είτε αυτορρυθμιζόμενος ένας ισομορφισμός πρέπει να βρίσκεται ανάμεσα στο κομμάτι του ρυθμιστή και στο τμήμα επεξεργασίας του συστήματος.

Στη γραμμική άλγεβρα, μία γραμμική απεικόνιση $f$ μεταξύ δύο διανυσματικών υποχώρων $V$ και $U$, η οποία είναι ισομορφισμός, δηλαδή ένα προς (1-1) ένα και επί, συνεπάγεται ότι ο πυρήνας της απεικόνισης ισούται με μηδέν $\operatorname {Ker} (f)=0$ (λόγω του είναι 1-1) και επίσης η διάσταση της εικόνας της απεικόνισης $\operatorname {dim} (\operatorname {Im} (f))$ ισούται με τη βαθμίδα του διανυσματικού χώρου όπου ανήκουν οι δύο διανυσματικοί υποχώροι (εξαιτίας του ότι η $f$ είναι ταυτόχρονα και επί).

Σχέση με την ισότητα

Σε κάποιους τομείς των μαθηματικών, κυρίως στην θεωρία κατηγοριών, είναι πολύτιμο να διαχωρίσουμε την ισότητα από την μια και τον ισομορφισμό από την άλλη. Η ισότητα είναι όταν δύο αντικείμενα είναι ακριβώς ίδια, και ότι είναι αληθινό για το ένα αντικείμενο είναι αληθινό και για το άλλο, ενώ ένας ισομορφισμός υπονοεί ότι ό,τι είναι αληθινό για την δομή αντικειμένου ενός σχεδιασμένου κομματιού είναι αληθινό και για τα άλλα. Για παράδειγμα, τα σύνολα

$A=\{x\in \mathbb {Z} \mid x^{2}<2\}$ και $B=\{-1,0,1\}\,$

είναι ίσα, είναι απλώς διαφορετικές παρουσιάσεις-το πρώτο και επιτηδευμένο (με την χρήση σημειολογίας κατασκευής συνόλων) και το δεύτερο εκτεταμένο (με ρητή απαρίθμηση) - από το ίδιο υποσύνολο των ακεραίων. Εν αντιθέσει τα σύνολα {A,B,C} και {1,2,3} δεν είναι ίσα. Το πρώτο έχει στοιχεία που είναι γράμματα, ενώ το δεύτερο έχει στοιχεία που είναι αριθμοί. Αυτά είναι ισόμορφα ως σύνολα, αφού πεπερασμένα σύνολα καθορίζονται ως ισομορφικά από την πληθικότητά τους (πλήθος των στοιχείων τους) και αυτά τα δύο έχουν και τα δύο τρία στοιχεία, αλλά υπάρχουν πολλές επιλογές ισομορφισμού. Ένας ισομορφισμός είναι ο

${\text{A}}\mapsto 1,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 3$,

ενώ ένας άλλος

${\text{A}}\mapsto 3,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 1$.

και κανένας ισομορφισμός δεν είναι εγγενώς καλύτερος από κάποιον άλλον. Από αυτήν την άποψη και την έννοια,αυτά τα δύο σύνολα δεν είναι ίσα διότι δεν μπορεί κάποιος να τα θεωρήσει ταυτιζόμενα: θα πρέπει κάποιος να επιλέξει έναν ισομορφισμό ανάμεσά τους,αλλά να έχει ασθενέστερη αξίωση από την ταυτοτική, και έγκυρη μόνο στο πλαίσιο του επιλεγμένου ισομορφισμού.

Καμιά φορά οι ισομορφισμοί μπορεί να φαίνονται προφανείς και ενδιαφέροντες, αλλά συνεχίζουν να μην είναι ισότητες. Ένα απλό παράδειγμα, οι γενεαλογικές σχέσεις μεταξύ των Joe, John, και Bobby Kennedy ειναι, πραγματικά, ίδιες με εκείνες μεταξύ των στρατηγών Αμερικάνικου ποδοσφαίρου στην οικογένεια Manning: Archie, Peyton, και Eli. Τα ζευγάρια ανάμεσα σε πατέρα και γιό και σε μεγαλύτερο-μικρότερο αδελφό ανταποκρίνονται τέλεια. Αυτή η ομοιότητα μεταξύ των δυο οικογενειακών δομών απεικονίζει την προέλευση της λέξης ''ισομορφισμός'' (Ελληνικά ίσο- και -μορφή). Αλλά επειδή οι Kennedy δεν είναι οι ίδιοι άνθρωποι με τους Manning οι δύο γενεαλογικές δομές ειναι απλά ισομορφικές και όχι ίσες. 

Ένα άλλο παράδειγμα πιο επίσημο το οποίο απεικονίζει αμεσότερα το κίνητρο για τον διαχωρισμό της ισότητας από τον ισομορφισμό: η διάκριση μεταξύ ενός πεπερασμένου διανυσματικού χώρου V και του δϋικό χώρο του V* = { φ: V → K} γραμμικών απεικονίσεων απο το V στο βαθμωτό πεδίο του K. Αυτοί οι δειγματοχώροι έχουν την ίδια διάσταση, άρα είναι ισομορφικά σαν αφηρημένοι διανυσματικοί χώροι(αφού αλγεβρικά,οι διανυσματικοί χώροι κατηγοριοποιούνται βάση διάστασης, όπως τα σύνολα χαρακτηρίζονται από την πληθικότητα), αλλά δεν υπάρχει φυσική επιλογή ισομορφισμού $V\,{\overset {\sim }{\to }}\,V^{*}$. Αν κάποιος επιλέξει το $V$ για βάση τότε αυτό δίνει έναν ισομορφισμό: Για κάθε $u,v\in V$,

$v\ {\overset {\sim }{\mapsto }}\ \phi _{v}\in V^{*}$ έτσι ώστε $\quad \phi _{v}(u)=v^{\mathrm {T} }u$.

Αυτό ανταποκρίνεται σε μετατροπή διανυσματος στήλης (στοιχείο του $V$) σε διάνυσμα γραμμής (στοιχείο του V*) από μετάθεση, αλλά η επιλογή διαφορετικής βάσης δίνει διαφορετικό ισομορφισμό. Ο ισομορφισμός ''εξαρτάται από την επιλογή βάσης''. Πιο ξεκάθαρα, υπάρχει απεικόνιση από διανυσματικό χώρο V στον διπλό δυϊκό του $V^{**}=\{x:V^{*}\to \mathbf {K} \}$ το οποίο δεν εξαρτάται από την επιλογή βάσης.

Για κάθε $v\in V$ και $\phi \in V^{*}$,

$v\ {\overset {\sim }{\mapsto }}\ x_{v}\in V^{**}\quad$ έτσι ώστε $\quad x_{v}(\phi )=\phi (v)$.

Αυτό μας οδηγεί σε μια τρίτη έννοια, εκείνη του φυσικού ισομορφισμού: όσο το $V$ και το $V^{**}$ είναι διαφορετικά σύνολα, υπάρχει μια φυσική επιλογή ισομορφισμού ανάμεσά τους. Αυτή η ενστικτώδης έννοια ενός ισομορφισμού που δεν εξαρτάται από μια αυθαίρετη επιλογή επισημοποιείται στην έννοια του φυσικού μετασχηματισμού, την οποία σύντομα μπορεί κάποιος να προσδιορίσει συμβατικά, ή πιο γενικά να την απεικονίσει από ένα διάνυσμα στο διπλό δυϊκό του, $V\,{\overset {\sim }{\to }}\,V^{**}$, για οποιονδήποτε διανυσματικό χώρο με ένα συμβατό τρόπο. Επισημοποιώντας, αυτή την διαίσθηση είναι ένα κίνητρο για την ανάπτυξη της θεωρίας κατηγοριών.

Ωστόσο, υπάρχει η περίπτωση όπου η διάκριση μεταξύ του φυσικού ισομορφισμός και της ισότητας δεν είναι συνήθης. Αυτά είναι για τα αντικείμενα που μπορούν να χαρακτηρίζονται από μια καθολική ιδιότητα. Στην πραγματικότητα, υπάρχει ένας μοναδικός ισομορφισμός, αναγκαστικά φυσικός, ανάμεσα σε δύο αντικείμενα που μοιράζονται την ίδια καθολική ιδιότητα. Ένα τυπικό παράδειγμα είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών, η οποία μπορεί να οριστεί μέσα από άπειρη δεκαδική αναπαράσταση, άπειρη δυαδική αναπαράστηση, ακολουθίες Κωσύ, τομές Ντέντεκιντ και πολλά άλλα. Επισήμως οι κατασκευές αυτές ορίζουν διαφορετικά αντικείμενα, τα οποία όλα είναι λύσεις της ίδιας καθολικής ιδιότητας. Καθώς τα αντικείμενα αυτά έχουν ακριβώς τις ίδιες ιδιότητες, μπορεί να ξεχάσει κάποιος τον τρόπο κατασκευής τους θεωρώντας τους ως ίσοι. Αυτό είναι το τι ακριβώς συμβαίνει όταν μιλάμε για "το σύνολο των πραγματικών αριθμών". Το ίδιο συμβαίνει και με το  χώρους πηλίκο, οι οποίοι είναι κατασκευάζονται συνήθως ως σύνολα των  κλάσεων ισοδυναμίας

Ωστόσο, μιλώντας για το σύνολο των σύνολων μπορεί να είναι αντιφατικό, και οι χώροι πηλίκο να είναι θεωρούνται συνήθως, ως ένα ζευγάρι από ένα σύνολο απροσδιόριστων αντικειμένων, που συχνά καλούνται "σημεία", και μια επί απεικόνιση σε αυτό το σύνολο.

Αν κάποιος επιθυμεί να κάνει τη διάκριση ανάμεσα σε ένα αυθαίρετο ισομορφισμό (που εξαρτάται από μια επιλογή) και έναν φυσικό ισομορφισμό (που μπορεί να γίνει με συνέπεια),που μπορεί κανείς να γράψει ≈ για έναν μη φυσικό ισομορφισμό και ≅ για έναν φυσικό ισομορφισμό, όπως και στα V ≈ V* και V ≅ V**. Η σύμβαση αυτή δεν είναι καθολικά ακολουθούμενη, και συγγραφείς που επιθυμούν να διακρίνουν τον μη-φυσικό ισομορφισμό και τον φυσικό ισομορφισμό θα αναφέρουν γενικά ρητά την διάκριση.

Γενικά, λέγοντας ότι δύο αντικείμενα είναι ίσα προορίζονται για το όταν υπάρχει μια έννοια ενός μεγαλύτερου (περιβάλλοντος) διαστήματος που αυτά τα αντικείμενα υπάρχουν εκεί μέσα. Συχνότερα, μιλώντας για ισότητα των δύο υποσυνόλων από ένα δεδομένο σύνολο (όπως και στο ακέραιο σύνολο  του παραπάνω παραδείγματος), αλλά όχι από δύο αντικείμενα που παρουσιάζονται αφηρημένα . Για παράδειγμα, η δισδιάστατη σφαίρα σε έναν τρισδιάστατο χώρο

$S^{2}:=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}$

και η σφαίρα του Ρίμαν ${\widehat {\mathbb {C} }}$ η οποία μπορεί να παρουσιαστεί ως ένα σημείο compactification του μιγαδικού συνόλου $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ ή όπως της μιγαδικής προβολικής γραμμής (χώρος πηλίκο)

$\mathbf {P} _{\mathbb {C} }^{1}:=(\mathbb {C} ^{2}\setminus \{(0,0)\})/(\mathbb {C} ^{*})$

είναι τρεις διαφορετικές περιγραφές για ένα μαθηματικό αντικείμενο, τα οποία όλα είναι ισόμορφα, αλλά δεν είναι ίσα, επειδή δεν είναι όλα τα υποσύνολα ενός ενιαίου χώρου: το πρώτο είναι υποσύνολο του $\mathbb {R} ^{3}$, το δεύτερο είναι του $\mathbb {C} \cong \mathbb {R} ^{2}$, συν ένα επιπλέον σημείο, και το τρίτο είναι ένα υποπηλίκο του $\mathbb {C} ^{2}$.

Στο πλαίσιο της θεωρίας κατηγοριών, τα αντικείμενα είναι συνήθως πιο ισομορφικά—πράγματι, ένα κίνητρο για την ανάπτυξη της κατηγορικής θεωρίας, δείχνει ότι οι διαφορετικές κατασκευές στην θεωρίας ομολογιών απέδωσαν ισοδύναμες (ισομορφικές) ομάδες. Δεδομένης απεικόνισης μεταξύ δύο αντικειμένων X και Y, ωστόσο, το ερώτημα αν είναι ίσες ή όχι (είναι και τα δύο στοιχεία από το σύνολο $\operatorname {Hom} (X,Y)$, ως εκ τούτου,η ισότητα αυτή είναι η σωστή σχέση), ιδιαίτερα σε αντιμεταθετικά διαγράμματα.