Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο
- Το Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (συμβολ. ως ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων θετικών ακεραίων (ή φυσικών αριθμών που δεν είναι μηδέν) ορίζεται ως ο μικρότερος θετικός ακέραιος (ή φυσικός) αριθμός που διαιρείται ακριβώς με όλους αυτούς τους δεδομένους αριθμούς.[1]
Ορισμοί[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Πολλαπλάσια ενός θετικού ακεραίου αριθμού α ονομάζονται όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν όταν αυτός πολλαπλασιαστεί με όλους τους άλλους θετικούς ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή, πολλαπλάσια του α είναι οι αριθμοί: α, 2α, 3α, 4α, ... .[2] Κάθε θετικός ακέραιος αριθμός (ή φυσικός αριθμός που δεν είναι μηδέν) διαιρεί όλα τα πολλαπλάσιά του, ενώ αν ο ίδιος διαιρείται από κάποιον άλλον, τότε είναι πολλαπλάσιο αυτού του αριθμού. Επίσης, εάν διαιρεί έναν άλλον, τότε θα διαιρεί και τα πολλαπλάσια του άλλου αριθμού.[2] Από τα πολλαπλάσια που είναι κοινά για δύο ή περισσότερους θετικούς ακέραιους αριθμούς, ονομάζουμε το μικρότερο από αυτά ως ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) των αριθμών αυτών.[2] Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των α, β, ..., κ συμβολίζεται με ΕΚΠ(α, β, ..., κ).
Κάθε αριθμός α έχει πάντοτε διαιρέτες τον εαυτό του, α, και τη μονάδα, δηλ. τον αριθμό 1. Εάν έχει μόνον αυτούς, αποκαλείται πρώτος αριθμός, αλλιώς λέγεται σύνθετος.[2] Σε αυτήν την περίπτωση μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο πρώτων αριθμών (παραγοντοποίηση). Π.χ. για να μετατρέψουμε το 90 σε γινόμενο πρώτων αριθμών (παράγοντες) διαιρούμε αρχικά με τον μικρότερο πρώτο αριθμό που τον διαιρεί, στην περίπτωση αυτή με το 2. Το αποτέλεσμα (εδώ 45) το διαιρούμε ξανά με τον ίδιο πρώτο αριθμό (αν γίνεται), αλλιώς με τον αμέσως μεγαλύτερο, στην περίπτωση αυτή με το 3. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία μέχρι οι διαδοχικές διαιρέσεις δώσουν αποτέλεσμα 1. Τότε, το γινόμενο όλων των προηγούμενων πρώτων αριθμών ισούται με τον αρχικό αριθμό.
| 90 | 2 | (διαιρώ με το 2) |
| 45 | 3 | (διαιρώ με το 3) |
| 15 | 3 | (διαιρώ με το 3) |
| 5 | 5 | (διαιρώ με το 5) |
| 1 |
Αποτέλεσμα: 90 = 2 · 3 · 3 · 5 = 2 · 32 · 5.[3]
Τρόποι εύρεσης ΕΚΠ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
- 1ος τρόπος. Λαμβάνουμε τον μεγαλύτερο από τους δοσμένους αριθμούς και υπολογίζουμε διαδοχικά τα πολλαπλάσιά του (αρχίζοντας από τον ίδιο), μέχρι να βρούμε εκείνο το πολλαπλάσιο που διαιρείται ακριβώς με όλους τους υπόλοιπους αριθμούς που έχουμε.[1]
- 2ος τρόπος. Παραγοντοποιούμε τους αριθμούς που μας έχουν δοθεί. Στη συνέχεια σχηματίζουμε το γινόμενο όλων των παραγόντων (πρώτων αριθμών), κοινών και μη κοινών, θέτοντας ως εκθέτη κάθε παράγοντα τον μεγαλύτερο.[2] Έστω ότι θέλουμε να βρούμε το ΕΚΠ δυο αριθμών, των 90 και 24. Έχουμε: 90 = 2 · 32 · 5 και 24 = 23 · 3. Άρα το ΕΚΠ(90,24) είναι 23 · 32 · 5 = 360.[3]
Περαιτέρω ανάγνωση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Ελληνικά άρθρα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
- Β. Τζαβίδας (1978). «Για τη Β΄Τάξη Άλγεβρα: Διαιρετότητα στο σύνολο των ακεραίων Ζ». Ευκλείδης Β΄ (4): 165-173. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=4113.
- Π. Μέγας (1978). «Για τη Β΄Τάξη Άλγεβρα: Μέγιστος κοινός διαιρέτης και ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο ακεραίων πολυωνύμων». Ευκλείδης Β΄ (5): 214-218. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=4288.
Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
- ↑ 1,0 1,1 Τζουβάρας Θεόδωρος και Κώστας Τζιρώνης (2003). Πρακτική αριθμητική. Αθήνα: Σαββάλας. σελ. 9. ISBN 960-460-961-0.
- ↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 «Κεφάλαιο 1. Οι φυσικοί αριθμοί -1.5 Χαρακτήρες διαιρετότητας». Μαθηματικά A' Γυμνασίου. Βιβλίο μαθητή (εμπλουτισμένο). (Διαδραστικά Σχολικά βιβλία - ebooks.edu.gr). Ανακτήθηκε στις 29 Νοεμβρίου 2016.
- ↑ 3,0 3,1 Τζουβάρας και Τζιρώνης, σ. 10.