Χρωματισμός γραφήματος

Αν G είναι ένα γράφημα και C ένα σύνολο χρωμάτων, λέμε ότι η απεικόνιση $f:V(G)\rightarrow C$ είναι χρωματισμός του G όταν

$\forall(u,v)\in V(G),\ f(u)\not=f(v)$

δηλαδή όταν αντιστοιχεί χρώματα στους κόμβους του G έτσι ώστε κάθε δύο συνδεμένοι κόμβοι να έχουν διαφορετικό χρώμα. Αν το C έχει n διακεκριμένα στοιχεία και ο χρωματισμός f είναι επί, τότε ονομάζεται n-χρωματισμός. Κάθε χρωματισμός διαμερίζει το V(G) σε κλάσεις κόμβων οι οποίοι έχουν κοινό χρώμα. Οι κλάσεις αυτές ονομάζονται χρωματικές κλάσεις.

Χρωματικός αριθμός

Σχήμα 1

Για δοσμένο γράφημα G και δοσμένα χρώματα C δεν υπάρχει πάντα απεικόνιση f που να είναι χρωματισμός του G. Συγκεκριμένα η ύπαρξη χρωματισμού εξαρτάται από τον πληθάριθμο του C. Αν για παράδειγμα έχουμε το γράφημα G του σχήματος 1, όπου έχουμε V(G) = {u,v} και E(G)={(u,v)}, και έχουμε μόνον ένα διαθέσιμο χρώμα, C = {μαύρο}, τότε δεν μπορούμε να χρωματίσουμε τους δύο κόμβους διαφορετικά, παρά χρειαζόμαστε τουλάχιστον ένα ακόμη χρώμα.

Ο ελάχιστος πληθάριθμος του C, n, για τον οποίο υπάρχει n-χρωματισμός του G ονομάζεται χρωματικός αριθμός του G και συμβολίζεται με Χ(G).

Ιδιότητες

Μερικές από τις ιδιότητες που ικανοποιεί ο χρωματικός αριθμός είναι οι παρακάτω:

1. Αν p είναι στο πλήθος οι κόμβοι του G τότε $X(G)\leq p$, αφού για ένα γράφημα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το πολύ τόσα διαφορετικά χρώματα, όσοι είναι και οι κόμβοι του. Η ισότητα ισχύει όταν το γράφημα είναι πλήρες, όπου κάθε κόμβος χρειάζεται το δικό του χρώμα, καθώς συνδέεται με κάθε άλλον.

2. Αν $K_p$ είναι το πλήρες γράφημα p κόμβων και x είναι ένας δεσμός του, τότε $X(K_p-x)=p-1$.

3. Αν $K_{m,n}$ είναι ένα οποιοδήποτε διγράφημα, τότε $X(K_{m,n})=2$.

4. Για τους άρτιους κύκλους είναι $X(C_{2m})$, αφού εναλλάξ μπορούμε να αλλάζουμε χρώμα από κόμβο σε κόμβο, ενώ για τους περιττούς κύκλους ισχύει ανάλογα $X(C_{2m+1})=3$.

5. Αν Τ είναι ένα δέντρο, τότε $X(T)=2$.

6. Εύκολα φαίνεται ότι $X(G)=1\Leftrightarrow E(G)=\emptyset$, ότι αρκεί δηλαδή ένα χρώμα για να χρωματίσουμε ένα γράφημα μόνον όταν αυτό είναι πλήρως ασυνδετικό.

7. Θεώρημα του Κένιχ: Ένα γράφημα έχει έναν 2-χρωματισμό αν και μόνον αν δεν περιέχει περιττούς κύκλους

$X(G)=2\Leftrightarrow\forall m(C_{2m+1}\not\subseteq G)$

8. Αν Δ(G) είναι ο μεγαλύτερος βαθμός που αντιστοιχεί σε κάποιον από τους κόμβους του G, δηλαδή

$\Delta(G)=\max_{u_i\in V(G)}\delta(u_i)$

τότε ισχύει η εξής ανισότητα:

$X(G)\leq 1+\Delta(G)$

9. Θεώρημα των πέντε χρωμάτων (Heawood, 1890): Αν G είναι επίπεδο γράφημα, τότε αρκούν το πολύ πέντε χρώματα για να χρωματιστεί, δηλαδή $X(G)\leq 5$.

Απόδειξη: Ας πούμε ότι το G έχει p στο πλήθος κόμβους. Θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο της (ισχυρής) μαθηματικής επαγωγής.

Αν $p\leq 5$, τότε το θεώρημα ισχύει με βάση την ιδιότητα 1. Υποθέτουμε λοιπόν ότι το θεώρημα ισχύει για p κόμβους.

Αν το G έχει p+1 κόμβους, με $p\geq 5$, αποδεικνύεται ότι θα περιέχει έναν οπωσδήποτε κόμβο v με βαθμό $\delta(v)\leq 5$. Από την επαγωγική υπόθεση έχουμε επίσης $X(G-v)\leq 5$, μια και το γράφημα G - v έχει p κόμβους.

Σχήμα 2

Έστω τώρα ότι οι πέντε κόμβοι που συνδέονται με τον v θα χρωματιστούν με τα χρώματα a, b, c, d, e, μέσω χρωματισμού f. Αν κάποια από τα χρώματα αυτά συμπίπτουν ή αν ο βαθμός του v είναι μικρότερος από 5, τότε το θεώρημα ισχύει. Αν αντίθετα τα χρώματα είναι διακεκριμένα και δ(v) = 5, τότε έχουμε την περίπτωση του σχήματος 2. Αρκεί να δείξουμε ότι ο v μπορεί να χρωματιστεί με κάποιο από τα a, b, c, d, e. Θεωρούμε το υπογράφημα $G_{a,c}\subset G-v$, που ορίζεται ως εξής:

$G_{a,c}=\{u\in V(G-v):f(u)=a\ \dot{\eta}\ f(u)=c\}$

που αποτελείται δηλαδή από τους κόμβους που έχουν χρώμα a ή b. Αν οι $v_1$, $v_3$ ανήκουν σε διαφορετικούς παράγοντες του $G_{a,b}$, τότε αλλάζουμε τα χρώματα στον παράγοντα του $v_1$ και θέτουμε f(v) = a, χρωματίζουμε δηλαδή τον v με a. (Θα μπορούσαμε αντί για αυτό να αλλάξουμε χρώματα στον παράγοντα που βρίσκεται ο $v_3$ και να χρωματίζαμε τον v με b.) Αν οι $v_1$, $v_3$ ανήκουν στον ίδιο παράγοντα, τότε θα υπάρχει ένα μονοπάτι στο $G_{a,b}$ από τον έναν στον άλλο, δηλαδή ένα μονοπάτι στο G που είναι χρωματισμένο μόνο με a και c και που δεν περιέχει τις $v_2$, $v_4$, $v_5$. Ο κύκλος που σχηματίζει το μονοπάτι $v_1\cdots v3$ με το μονοπάτι $v_3\cdots v_1$, θα περικυκλώνει είτε τoν κόμβο $v_2$ είτε τους κόμβους $v_4$, $v_5$, μια και το G είναι επίπεδο γράφημα. Όπως και να έχει, οι $v_2$, $v_4$ θα ανήκουν σε διαφορετικούς παράγοντες του υπογραφήματος $G_{b,d}$ (ορίζεται όπως το $G_{a,b}$), οπότε, όμοια με προηγούμενα, αλλάζοντας τα χρώματα είτε στον παράγοντα του $v_2$ είτε στου $v_4$ χρωματίζουμε ανάλογα τον v με b ή d. Αποδείξαμε δηλαδή σε κάθε περίπτωση, ότι το θεώρημα ισχύει και για p + 1 κόμβους και η επαγωγή ολοκληρώθηκε.

10. Θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων (Appel & Haken, 1976): Αν G είναι επίπεδο γράφημα τότε αρκούν το πολύ τέσσερα χρώματα για να χρωματιστεί, δηλαδή $X(G)\leq 4$.

Αλγόριθμοι χρωματισμού

Οι αλγόριθμοι χρωματισμού αποσκοπούν στο να προσδιορίσουν το χρωματικό αριθμό ενός δοσμένου γραφήματος. Οι επόμενοι δύο αλγόριθμοι βασίζονται στην τεχνική branch & bound, σε απαρίθμηση δηλαδή περιπτώσεων υπό περιορισμούς.

Αλγόριθμος ανεξάρτητων συνόλων κορυφών

Καλούμε ανεξάρτητο σύνολο κόμβων ενός γραφήματος G κάθε υποσύνολο του V(G) που έχει πλήρως ασυνδετικό φέρον γράφημα (spanning graph). Κάθε τέτοιο σύνολο εκπροσωπεί και μία χρωματική κλάση. Αν $U_1,\ldots, U_r$ είναι ανεξάρτητα σύνολα κόμβων τέτοια ώστε $\forall i\not=j(U_i\not\subseteq U_j)$, και υπάρχει ελάχιστος s το πολύ ίσος με τον r, για τον οποίο $\bigcup_{i=1}U_i=V(G)$, τότε X(G) = s.

Συγκεκριμένα, ο αλγόριθμος εκτελείται σε δύο φάσεις:

1. Εύρεση όλων των ανεξάρτητων συνόλων κόμβων που πληρούν τα παραπάνω.
2. Εύρεση του μικρότερου μήκους ένωσης που αποδίδει το V(G).

Αλγόριθμος του Χριστοφίδη

Ο αλγόριθμος συνίσταται στα εξής βήματα:

1. Διατάσουμε τους κόμβους του γραφήματος σε φθίνουσα σειρά βαθμών.
2. Θέτουμε $f(x_1)=1$
3. Ελέγχουμε τον $x_m$, όταν ήδη έχουν δοθεί κ χρώματα. Αν δεν συνδέεται άμεσα με ήδη ελεγγμένους κόμβους και $x_n$, με n < m, είναι ο αρχύτερος από αυτούς, τότε θέτουμε $f(x_m)=f(x_n)$. Αλλιώς θέτουμε $f(x_m)=\kappa+1$.