Τομή Ντέντεκιντ

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Στα μαθηματικά, τομή Ντέντεκιντ (Dedekind) από το όνομα του Γερμανού μαθηματικού Ρίχαρντ Ντέντεκιντ, είναι ένα υποσύνολο Τ των ρητών αριθμών με τις εξής ιδιότητες:

  • T \neq \emptyset, T \neq \mathbb{Q}
  • αν  p \in T , q \in \mathbb{Q} και q < p, τότε  q \in T
  • αν  p \in T , τότε υπάρχει s \in T τέτοιο ώστε p < s

Η ιδέα αυτή των τομών μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αποδειχθεί η πληρότητα του συνόλου των πραγματικών αριθμών χωρίς το αξίωμα της επιλογής. Όλοι οι ρητοί αριθμοί περιγράφονται από μια τομή αλλά μπορούν να βρεθούν τομές οι οποίες δεν αντιστοιχούν σε κανένα ρητό αριθμό. Αυτές οι τομές ορίζουμε να είναι οι άρρητοι αριθμοί. Έτσι η έννοια της τομής προσφέρει ένα τρόπο κατασκευής των πραγματικών αριθμών από το σύνολο των ρητών, αν δεχθούμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι το σύνολο όλων των δυνατών τομών.