Τανυστής καμπυλότητας Riemann

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Στο μαθηματικό πεδίο της διαφορικής γεωμετρίας, ο τανυστής καμπυλότητας Riemann (ή τανυστής Riemann–Christoffel) από τους Bernhard Riemann και Elwin Bruno Christoffel, είναι ο πιο συνηθισμένος τρόπος για να εκφραστεί η καμπυλότητα στις πολλαπλότητες Riemann. Αυτός συσχετίζει έναν τανυστή σε κάθε σημείο της πολλαπλότητας του Riemann (π.χ. ένα τανυστικό πεδίο), που μετράει την επέκταση στην οποία ο μετρικός τανυστής δεν είναι τοπικά ισομετρικός σε ένα Ευκλείδιο χώρο. Ο τανυστής καμπυλότητας μπορεί επίσης να προσδιοριστεί για κάθε ψευδο-πολλαπλότητα Riemann, ή κάθε πολλαπλότητα που έχει μία ομοπαραλληλική σύνδεση. Είναι κεντρικό μαθηματικό εργαλείο στη θεωρία της γενική σχετικότητας, τη μοντέρνα θεωρία της βαρύτητας, και η καμπυλότητα του χωροχρόνου στη θεωρία είναι παρατηρίσιμη μέσω της εξίσωσης της γεωδαισιακής απόκλισης. Ο τανυστής καμπυλότητας αντιπροσωπεύει την παλιρροιακή δύναμη που υφίσταται ένα στερεό σώμα που κινείται κατά μήκος μιας γεωδαισιακής καμπύλης με τρόπο που περιγράφεται από την εξίσωση Jacobi.

Ο τανυστής καμπυλότητας δίνεται σε όρους σύνδεσης Levi-Civita \nabla από τον ακόλουθο τύπο:

R(u,v)w=\nabla_u\nabla_v w -\nabla_v \nabla_u w - \nabla_{[u,v]} w

όπου [u,v] είναι οι "αγκύλες Lie" των διανυσματικών πεδίων. Για κάθε ζεύγος εφαπτομενικών διανυσμάτων u και v, R(u,v) είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός του εφαπτομενικού χώρου της πολλαπλότητας. Είναι γραμμικός στα u and v, έτσι προσδιορίζει έναν τανυστή. Περιστασιακά, ο τανυστής καμπυλότητας προσδιορίζεται με αντίθετο πρόσημο.

Αν τα u=\partial/\partial x^i και v=\partial/\partial x^j είναι διανυσματικά πεδία συντεταγμένων τότε [u,v]=0

και συνεπώς ο τύπος απλοποιείται στον:

R(u,v)w=\nabla_u\nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w .

Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Riemann curvature tensor της Αγγλικής Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).