σ-άλγεβρα

σ-άλγεβρα (σίγμα άλγεβρα) είναι μια άλγεβρα συνόλων (σύνολο από σύνολα στο οποίο μπορούμε να κάνουμε πράξεις μεταξύ των συνόλων) που είναι κλειστή ως προς τη συμπλήρωση και τις αριθμήσιμες ενώσεις των μελών της.

Η σ-άλγεβρα είναι πολύ χρήσιμο εργαλείο στα στοχαστικά μαθηματικά, κυρίως διότι αριθμήσιμες (το πολύ) το πλήθος συνολοθεωρητικές πράξεις μεταξύ συνόλων που ανήκουν στην ίδια σ-άλγεβρα δίνουν σύνολα που ανήκουν και αυτά στην ίδια σ-άλγεβρα. Οι σ-άλγεβρες είναι η βάση για τον ορισμό του χώρου των μαζών και των πιθανοτήτων.

Οι σ-άλγεβρες είναι αναγκαίες για την κατασκευή του μέτρου και του ολοκληρώματος κατά Λεμπέγκ.

Τεχνικός Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω Ω ένα σύνολο. Τότε η σ-άλγεβρα $F$ είναι μια μη κενή συλλογή υποσυνόλων του Ω έτσι ώστε:

1) Το Ω ανήκει στο $F$

2) Αν το σύνολο Α ανήκει στο $F$ , τότε, και το συμπληρωματικό του Α ανήκει στο $F$

3) Αν έχουμε μια ακολουθία συνόλων { $A_{n}$ , όπου n=1,2,...} στο $F$ τότε η ένωση των $A_{n}$ ανηκει επισης στο $F$ .

Από τον ορισμό προκύπτει ότι σε κάθε σ-άλγεβρα ανήκει το Ω και το κενό σύνολο. Επίσης καθε σ-άλγεβρα είναι ένα σύστημα Ντύνκιν.

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στη θεωρία πιθανοτήτων, αν Ω είναι το σύνολο όλων των πιθανών ενδεχομένων, σ-άλγεβρα $F$ κάθε συλλογή από υποσύνολα του Ω που ικανοποιεί τα τρία αξιώματα που δόθηκαν παραπάνω.
Για κάθε σύνολο $\Omega$ το $\{\emptyset ,\Omega \}$ είναι η μικρότερη και το δυναμοσύνολο ${\mathcal {P}}(\Omega )$ η μεγαλύτερη σ-άλγεβρα.
Η σ-άλγεβρα των υποσυνόλων κατά Μπορέλ των πραγματικών αριθμών περιέχει, μεταξύ άλλων,^[1] και όλα τα διαστήματα.

Παραγόμενη σ-άλγεβρα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια σ-άλγεβρα F είναι παραγόμενη από μια κλάση C όταν είναι η μικρότερη σ-άλγεβρα που την περιέχει. Συγκεκριμένα ορίζεται ως η τομή όλων των σ-αλγεβρών που περιέχουν την C.

σ-άλγεβρα Μπορέλ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

σ-άλγεβρα Μπορέλ είναι μια σ-άλγεβρα η οποία είναι παραγόμενη από συλλογή τοπολογικών διαστημάτων.

Τυπικός ορισμός: σ-άλγεβρα Μπορέλ ή αλλιώς Μπορελιανή άλγεβρα είναι η παραγόμενη σ-άλγεβρα από την κλάση Pn όπου Pn={(a1,b1]x...x(an,bn]: ai<bi για κάθε i=1,2,...,n}U{κενό σύνολο}.

Η μπορελιανή άλγεβρα χωράει τεράστιο αριθμό υποσυνόλων του $\mathbb {R} ^{n}$ γι' αυτό και μας είναι εξαιρετικά χρήσιμη.

Σημειώσεις - Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ Για παράδειγμα, για κάθε ένα διάστημα (a,b) που περιέχει πρέπει αναγκαστικά να περιέχει και το συμπλήρωμα του.

Αυτό το μαθηματικό λήμμα χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το.

[1] Για παράδειγμα, για κάθε ένα διάστημα (a,b) που περιέχει πρέπει αναγκαστικά να περιέχει και το συμπλήρωμα του.

[1]