Σφαίρα Μπλοχ

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Σφαίρα Μπλοχ

Στην κβαντική μηχανική, η σφαίρα Μπλοχ είναι μια γεωμετρική αναπαράσταση του χώρου καθαρής κατάστασης ενός κβαντομηχανικού συστήματος δύο επιπέδων που πήρε το όνομά της από τον φυσικό Φέλιξ Μπλοχ. Εναλλακτικά, είναι ο χώρος καθαρής κατάστασης ενός κβαντικού καταχωρητή 1 qubit. Η σφαίρα Μπλοχ είναι και γεωμετρικά μια σφαίρα και η αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων της σφαίρας και των καθαρών καταστάσεων μπορεί να δοθεί σαφώς. Σε γενικευμένη μορφή, η σφαίρα Μπλοχ μπορεί επίσης να αναφέρεται στο ανάλογο χώρο ενός κβαντικού συστήματος n επιπέδων.

Η κβαντική μηχανική είναι μαθηματικά διατυπωμένη σε ένα χώρο Χίλμπερτ ή προβαλλόμενο χώρο Χίλμπερτ. Ο χώρος των καθαρών καταστάσεων ενός κβαντικού συστήματος δίνεται από τις ακτίνες στον χώρο Χίλμπερτ (τα σημεία του προβαλλόμενου χώρου Χίλμπερτ). Ο χώρος των ακτινών σε οποιοδήποτε διανυσματικό χώρο είναι ένας προβαλλόμενος χώρος, και συγκεκριμένα, ο χώρος των ακτίνων σε ένα δισδιάστατο χώρο Χίλμπερτ είναι η μιγαδική προβολική γραμμή, η οποία είναι ισομορφική προς τη σφαίρα.

Η φυσική μετρική στην σφαίρα Μπλοχ είναι η μετρική Fubini-Study.

To qubit[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Για να δειχθεί αυτή η αντιστοιχία σαφώς, θεωρήστε την περιγραφή qubit της σφαίρας Μπλοχ˙ οποιοδήποτε κβαντομηχανική κατάσταση \psi μπορεί να γραφεί ως μια μιγαδική υπέρθεση των διανυσμάτων ket  |0 \rangle και |1 \rangle ˙ επιπλέον, αφού οι παράγοντες φάσης δεν επηρεάζουν την φυσική κατάσταση, μπορούμε να πάρουμε την αναπαράσταση ώστε ο συντελεστής του  |0 \rangle να είναι πραγματικός και μη αρνητικός. Έτσι το \psi έχει μια αναπαράσταση ως

 |\psi \rangle = \cos \theta \, |0 \rangle +  e^{i \phi}  \sin \theta  \,|1 \rangle  \quad = \quad \cos \theta \, |0 \rangle \, + \, ( \cos \phi + i \sin \phi ) \, \sin \theta  \,|1 \rangle

με

 0 \leq \theta < \frac{\pi}{2}, \quad  0 \leq \phi < 2 \pi.

Εκτός από την περίπτωση όπου \psi είναι ένα από τα διανύσματα ket  |0 \rangle ή  |1 \rangle, η αναπαράσταση είναι μοναδική, με άλλα λόγια οι παράμετροι \phi \, και \theta \, προσδιορίζουν μοναδικά ένα σημείο στην μοναδιαία σφαίρα του Ευκλείδειου χώρου \mathbb{R}^{3}, δηλαδή το σημείο του οποίου οι συντεταγμένες (x,y,z) είναι

 \begin{matrix} x & = & \sin 2 \theta \times \cos \phi \\ y & = & \sin 2 \theta \times \sin \phi \\ z & = & \cos 2 \theta .\end{matrix}

Σε αυτή την αναπαράσταση το  |0 \rangle είναι χαρτογραφημένο μέσα στο (0,0,1) και το  |1 \rangle είναι χαρτογραφημένο μέσα στο (0,0,-1).

Γενίκευση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Θεωρήστε ένα κβαντομηχανικό σύστημα n επιπέδων. Αυτό το σύστημα περιγράφεται από ένα n-διάστατο χώρο Χίλμπερτ Hn. Ο χώρος της καθαρής κατάστασης είναι εξ ορισμού το σύνολο των μονοδιάστατων ακτίνων του Hn.

Θεώρημα. Θέτουμε το U(n) να είναι η ομάδα Λι των μοναδιαίων πινάκων μεγέθους n. Τότε ο χώρος καθαρής κατάστασης του Hn μπορεί να αναγνωριστεί με το συμπαγή σύμπλοκο χώρο

 \operatorname{U}(n) /(\operatorname{U}(n-1) \times \operatorname{U}(1)).

Για να αποδείξουμε αυτό το γεγονός, σημειώνουμε ότι υπάρχει μια φυσική ομαδική πράξη του U(n) στο σύνολο των καταστάσεων του Hn. Αυτή η πράξη είναι συνεχής και μεταβατική στις καθαρές καταστάσεις. Για οποιαδήποτε κατάσταση ψ, το σύνολο σταθερών σημείων του ψ, (ορισμένο ως το σύνολο των στοιχείων g του U(n) τέτοια ώστε g ψ = ψ) είναι ισομορφικό προς την ομάδα γινομένων

 \operatorname{U}(n-1) \times \operatorname{U}(1).

Από αυτό το σημείο ο ισχυρισμός του θεωρήματος ακολουθεί βασικά αξιώματα για τις μεταβατικές πράξεις ομάδων σε συμπαγείς ομάδες.

Το σημαντικό γεγονός που πρέπει να σημειωθεί στα παραπάνω είναι ότι η μοναδιαία ομάδα δρα μεταβατικά σε καθαρές καταστάσεις.

Τώρα η (πραγματική) διάσταση του U(n) είναι n2. Αυτό είνα εύκολο να το δούμε αφού ο εκθετικός χάρτης

 A \mapsto e^{i A}

είναι ένας τοπικός ομοιομορφισμός από το χώρο των αυτοσυζυγών μιγαδικών πινάκων στο U(n). Ο χώρος των αυτοσυζυγών μιγαδικών πινάκων έχει πραγματική διάσταση n2.

Συνέπεια. Η πραγματική διάσταση του χώρου καθαρής κατάστασης του Hn είναι 2n − 2.

Ουσιαστικά,

 n^2 - ((n-1)^2 +1) = 2 n - 2. \quad

Ας εφαρμόσουμε αυτό για να εξετάσουμε την πραγματική διάσταση ενός κβαντικού καταχωρητή m qubit. Ο αντίστοιχος χώρος Χίλμπερτ έχει διάσταση 2m.

Συνέπεια. Η πραγματική διάσταση του χώρου καθαρής κατάστασης ενός κβαντικού καταχωρητή m qubit είναι 2m+1 − 2.

Η γεωμετρία των τελεστών πυκνότητας[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι διατυπώσεις της κβαντικής μηχανικής με όρους καθαρών καταστάσεων είναι επαρκείς για απομονωμένα συστήματα˙ γενικά κβαντομηχανικά συστήματα πρέπει να περιγράφονται με όρους τελεστών πυκνότητας. Η τοπολογική περιγραφή περιπλέκεται από το γεγονός ότι η μοναδιαία ομάδα δεν ενεργεί μεταβατικά σε τελεστές πυκνότητας. Επιπλέον οι τροχιές παρουσιάζουν μεγάλη διαφοροποίηση, όπως προκύπτει από την ακόλουθη παρατήρηση:

Θεώρημα. Υποθέστε ότι A είναι ένα τελεστής πυκνότητας σε ένα κβαντομηχανικό σύστημα n επιπέδων του οποίου οι διακριτές ιδιοτιμές είναι μ1, ..., μk με πολλαπλότητες n1, ...,nk. Τότε η ομάδα των μοναδιαίων τελεστών V ώστε V A V* = A είναι ισομορφική (ως μια ομάδα Λι) προς

\operatorname{U}(n_1) \times \cdots \times \operatorname{U}(n_k).

Συγκεκριμένα η τροχιά του A είναι ισομορφική προς

\operatorname{U}(n)/(\operatorname{U}(n_1) \times \cdots \times \operatorname{U}(n_k)).

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]