Συμπαγής τελεστής σε χώρο Hilbert

Στη συναρτησιακή ανάλυση, συμπαγείς τελεστές σε χώρους Hilbert είναι μια άμεση επέκταση των πινάκων: στους χώρους Hilbert, είναι ακριβώς το περίβλημα πεπερασμένης τάξης τελεστών στην Ομοιόμορφη τοπολογία τελεστών. Ως τέτοια, αποτελέσματα από τη θεωρία πινάκων μπορούν ορισμένες φορές να επεκταθούν σε συμπαγείς τελεστές χρησιμοποιώντας παραπλήσιους ισχυρισμούς. Σε αντίθεση, η μελέτη γενικών τελεστών σε απειροδιάστατους χώρους συχνά απαιτεί μια πραγματικά διαφορετική προσέγγιση.

Για παράδειγμα, η φασματική θεωρία των συμπαγών τελεστών σε χώρους Banach παίρνει μια μορφή αρκετά παραπλήσια με την Κανονική μορφή Jordan των πινάκων. Στη γλώσσα των χώρων Hilbert, ένας τετραγωνικός πίνακας είναι ορθομοναδιαία διαγωνιοποιήσιμος αν και μόνο αν είναι κανονικός τελεστής. Ένα αντίστοιχο αποτέλεσμα υπάρχει για κανονικούς συμπαγείς τελεστές σε χώρους Hilbert. (Πιο γενικά, η υπόθεση της συμπάγειας μπορεί να αφαιρεθεί. Όμως, όπως αναφέρθηκε παραπάνω, οι τεχνικές που χρησιμοποιούνται είναι λιγότερο συνήθης.)

Αυτό το λήμμα θα αναφέρει ορισμένα αποτελέσματα για συμπαγείς τελεστές σε χώρους Hilbert, ξεκινώντας με τις γενικές ιδιότητες προτού θεωρήσει υποκλάσεις των συμπαγών τελεστών.

Μερικές γενικές ιδιότητες

Έστω H ένας χώρος Hilbert, L(H) οι φραγμένοι τελεστές στον H. T ∈ L(H) είναι ένας συμπαγής τελεστής εάν η εικόνα του κάθε φραγμένου συνόλου στον T είναι σχετικά συμπαγές σύνολο. Καταγράφουμε μερικές γενικές ιδιότητες των συμπαγών τελεστών.

Εάν X και Y είναι χώροι Hilbert (για την ακρίβεια X Banach και για τον Y αρκεί να είναι νορμικός), τότε T: X → Y είναι συμπαγής αν και μόνο αν είναι συνεχής όταν βλέπεται σαν μια απεικόνιση από τον X με την Ασθενή τοπολογία στο Y (με την τοπολογική νόρμα). (Βλέπε (Zhu 2007, Theorem 1.14, p.11), και πρόσεξε σε αυτή τη πηγή ότι το ομοιόμορφα φραγμένο θα εφαρμοστεί στην περίπτωση που F ⊆ X ικανοποιεί (∀φ ∈ Hom(X, K)) sup{x**(φ) = φ(x):x} < ∞, όπου K είναι το υποκείμενο πεδίο. Η αρχή του ομοιόμορφα φραγμένου εφαρμόζεται όταν Hom(X, K) με την τοπολογική νόρμα θα είναι ένας χώρος Banach, και οι απεικονίσεις x**:Hom(X,K) → K είναι συνεχείς ομομορφισμοί με σεβασμό στην υπάρχουσα τοπολογία.)

Η οικογένεια των συμπαγών τελεστών είναι νορμικά κλειστή, δίπλευρη, *-ιδανική στον L(H). Συνεπώς, ένας συμπαγής τελεστής T δεν μπορεί να έχει ένα φραγμένο αντίστροφο εάν H είναι απειροδιάστατος. Εάν ST = TS = I, τότε ο θα 'ναι ο ταυτοτικός τελεστής, και συνεπώς οδηγούμαστε σε αντίφαση.

Εάν μια ακολουθία φραγμένων τελεστών S_n → S στην ισχυρή τοπολογία τελεστών (strong operator topology, SOT) και T είναι συμπαγής, τότε S_nT συγκλίνει στον ST κατά νόρμα. Για παράδειγμα, θεωρούμε τον χώρο Hilbert l²(N), με σταθερή βάση {e_n}. Έστω P_m η ορθογώνια προβολή στο γραμμικό περίβλημα του {e₁ ... e_m}. Η ακολουθία {P_m} συγκλίνει στον ταυτοτικό τελεστή I ισχυρά αλλά όχι ομοιόμορφα. Ορίζουμε T από Te_n = (1/n)² · e_n. T είναι συμπαγής t, και, σύμφωνα με τους πάνω ισχυρισμούς, P_mT → I T = T στον ομοιόμορφα τοπολογικό τελεστή: για κάθε x,

$\left\|P_{m}Tx-Tx\right\|\leq \left({\frac {1}{m+1}}\right)^{2}\|x\|.$

Παρατήρησε ότι κάθε P_m είναι πεπερασμένης τάξης τελεστής. Με παραπλήσια αιτιολόγηση αποδεικνύεται ότι εάν T είναι συμπαγής, τότε T είναι το ομοιόμορφο όριο των μερικών ακολουθιών των πεπερασμένης τάξης τελεστών.

Από τη νορμική κλειστότητα της ιδανικότητας των συμπαγών τελεστών, το αντίστροφο είναι επίσης αληθές.

Το πηλίκο C*-algebra των L(H) modulo των συμπαγών τελεστών ονομάζεται άλγεβρα Calkin, στην οποία μπορούμε να υποθέσουμε ιδιότητες ενός τελεστή εώς ότου έχουμε διαταραχή στη συμπάγεια.

Συμπαγής Αυτοσυζυγής Τελεστής

Ένας φραγμένος τελεστής T σε χώρο Hilbert H καλείται αυτοσυζυγής εάν T = T*, ή ισοδύναμα,

$\langle Tx,y\rangle =\langle x,Ty\rangle ,\quad x,y\in H.$

Προκύπτει ότι <Tx, x> είναι πραγματικός για κάθε x ∈ H, επομένως οι ιδιοτιμές του T, όταν υπάρχουν, είναι πραγματικές. Όταν ένας κλειστός γραμμικός υποχώρος L του H παραμένει αμετάβλητος στον T, τότε ο περιορισμός του T στο L είναι ένας αυτοσυζυγής τελεστής στον L, και επιπλέον, το ορθογώνιο συμπλήρωμα L^⊥ του L είναι ακόμα αμετάβλητο στον T. Για παράδειγμα, ο χώρος H μπορεί να αποσυντεθεί ως ορθογώνιο ευθύ άθροισμα δυο T–αμετάβλητων κλειστών γραμμικών υποχώρων: ο πυρήνας του T, και το ορθογώνιο συμπλήρωμα (ker T)^⊥ του πυρήνα (το οποίο είναι ισοδύναμο του κλεισίματος του εύρους του T, για κάθε φραγμένο αυτοσυζυγή τελεστή). Αυτές οι βασικές αρχές παίζουν σημαντικό ρόλο στην απόδειξη των φασματικών θεωρημάτων που ακολουθούν.

Το αποτέλεσμα της ταξινόμησης των Ερμιτιανών n × n πινάκων είναι το φασµατικό θεώρηµα (spectral theorem): Εάν M = M*, τότε M είναι ορθομοναδιαία διαγωνιοποιήσιμος και η διαγωνιοποίηση του M έχει πραγματικές τιμές εισόδου. Ας είναι T ένας συμπαγής αυτοσυζυγής τελεστής σε ένα χώρο Hilbert H. Θα αποδείξουμε την ίδιο ισχυρισμό για το T: ο τελεστής T μπορεί να διαγωνιοποιηθεί από ένα ορθοκανονικό σύνολο ιδιοδιανυσμάτων, κάθε ένα από τα οποία αντιστοιχεί σε μια ιδιοτιμή.

Φασματικό Θεώρημα

Θεώρημα Για κάθε συμπαγή αυτοσυζυγή τελεστή T σε πραγματικό ή μιγαδικο χώρο Hilbert H, υπάρχει μια ορθοκανονική βάση του H αποτελούμενη από τα ιδιοδιανύσματα του T. Πιο συγκεκριμένα, το ορθογώνιο συμπλήρωμα του πυρήνα του T έχει, είτε μια πεπερασμένη ορθομοναδιαία βάση ιδιοδιανυσμάτων του T, είτε μια Αριθμήσιμα άπειρη ορθοκανονική βάση {e_n} από ιδιοδιανύσματα του T, με αντίστοιχες ιδιοτιμές {λ_n} ⊂ R, τέτοιες όπως λ_n → 0.

Με άλλα λόγια, ένας συμπαγής αυτοσυζυγής τελεστής μπορεί να διαγωνιοποιηθεί ορθομοναδιαία. Αυτό είναι το φασματικό θεώρημα.

Όταν το H είναι διαχωρίσιμο, κάποιος μπορεί να αναμείξει την βάση {e_n} με μια αριθμήσιμη ορθοκανονική βάση για τον πυρήνα της T, και να πάρει μια ορθοκανονική βάση {f_n} για το H, αποτελούμενη από ιδιοδιανύσματα του T με πραγματικές ιδιοτιμές {μ_n} τέτοια όπως μ_n → 0.

Πόρισμα Για κάθε συμπαγή αυτό- συζηγή τελεστή T, σε ένα πραγματικό ή μιγαδικό , άπειρης διάστασης χώρο Η του Hilbert, υπάρχουν άπειρες αριθμήσιμες ορθοκανονικές βάσεις {f_n} της H που αποτελούνται από τα ιδιοδιανίσματα του T, με αντίστοιχες ιδιοτιμές {μ_n} ⊂ R, έτσι ώστε μ_n → 0.

Η Ιδέα

Το να αποδείξεις το φασματικό θεώρημα για ένα ερμιτιανό n × n πίνακα T εξαρτάται από το να δείξεις τις τιμές του ενός ιδιοδιανύσματος x. Μόλις αυτή η απόδειξη ολοκληρωθεί, οι ιδιότητες του ερμιτιανού συνεπάγουν ότι και το γραμμικό περίβλημα και το ορθογώνιο συμπλήρωμα του x είναι αμετάβλητοι υποχώροι του T. Το επιθυμητό αποτέλεσμα το παίρνουμε με επανάληψη της διαδικασίας. Η ύπαρξη ιδιοδιανύσματος μπορεί να δειχθεί με τουλάχιστον δύο τρόπους :

1. Ενας είναι αλγεβρικά: Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο τουT έχει μιγαδική ρίζα και συνεπώς ο T έχει μια ιδιοτιμή για το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα. ή,
2. Οι ιδιοτιμές μπορούν να χαρακτηριστούν ποικιλόμορφα: Η μεγαλύτερη ιδιοτιμή είναι το μέγιστο σε μια κλειστή σφαίρα της συνάρτησης f: R²ⁿ → R που ορίζεται ως f(x) = x*Tx = <Tx, x>.

Σημείωση. Στην περίπτωση πεπερασμένης διάστασης, ένα μέρος της πρώτης προσέγγισης λειτουργεί σε μεγαλύτερη γενικότητα; κάθε τετραγωνικός πίνακας, όχι απαραίτητα Ερμητιανός, έχει ένα ιδιοδιάνυσμα. Αυτό δεν ισχύει, για την γενική περίπτωση σε χώρους Hilbert.

Το φασματικό θεώρημα, για την περίπτωση συμπαγή αυτοσυζυγή μπορεί να βρεθεί αναλόγως: πρώτα βρίσκεις ενα ιδιοδιάνυσμα επεκτείνοντας τη δεύτερη πεπερασμένη διάσταση με το παραπάνω επιχείρημα, στη συνέχεια ισχύει η επαγωγή. Στη συνέχεια σκιαγραφούμε το επιχείρημα για πίνακες.

Δεδομένου ότι η κλειστή μοναδιαία σφαίρα S στον R²ⁿ είναι συμπαγής, και f είναι συνεχής, f(S) είναι συμπαγής στον πραγματικό άξονα, συνεπάγεται ότι η f αποκτά μέγιστο στο S, σε κάποιο μοναδιαίο διάνυσμα y. Από το θεώρημα ο Πολλαπλασιαστής Lagrange, το y ικανοποιείται.

$\nabla f=\nabla \;y^{*}Ty=\lambda \cdot \nabla \;y^{*}y$

για κάποιο λ. Από Hermiticity, Ty = λy.

Ωστόσο, οι πολλαπλασιαστές Lagrange δεν γενικεύονται εύκολα σε περίπτωση άπειρης διάστασης. Εναλλακτικά, ας είναι z ∈ Cⁿ οποιοδήποτε διάνυσμα. Παρατηρούμε οτι, αν το μοναδιαίο διάνυσμα y μεγιστοποιείται <Tx, x> πάνω στη μοναδιαία σφαίρα (ή στη μοναδιαία μπάλα), μεγιστοποιείται επίσης το Πηλίκο Rayleigh:

$g(x)={\frac {\langle Tx,x\rangle }{\|x\|^{2}}},\qquad 0\neq x\in \mathbf {C} ^{n}.$

θεωρώ τη συνάρτηση:

${\begin{cases}h:\mathbf {R} \to \mathbf {R} \\h(t)=g(y+tz)\end{cases}}$

Από υπολογισμό , h′(0) = 0, δηλαδή,

${\begin{aligned}h'(0)&=\lim _{t\to 0}{\frac {h(t)-h(0)}{t-0}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {g(y+tz)-g(y)}{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\left({\frac {\langle T(y+tz),y+tz\rangle }{\|y+tz\|^{2}}}-{\frac {\langle Ty,y\rangle }{\|y\|^{2}}}\right)\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\left({\frac {\langle T(y+tz),y+tz\rangle -\langle Ty,y\rangle }{\|y\|^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{\|y\|^{2}}}\lim _{t\to 0}{\frac {\langle T(y+tz),y+tz\rangle -\langle Ty,y\rangle }{t}}\\&={\frac {1}{\|y\|^{2}}}\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\langle T(y+tz),y+tz\rangle }{\langle y+tz,y+tz\rangle }}\right)(0)\\&=0.\end{aligned}}$

Ορίζεται:

$m={\frac {\langle Ty,y\rangle }{\langle y,y\rangle }}$

Η παραπάνω έκφραση γίνεται (Re δηλώνει το πραγματικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού)

$\Re \left(\langle Ty-my,z\rangle \right)=0.$

Αλλά το z είναι αυθαίρετο, άρα Ty − my = 0. Αυτό αποτελεί τον πυρήνα της απόδειξης για το φασματικό θεώρημα στην περίπτωση πίνακα.

Λεπτομέρειες

Ισχυρισμός  αν ο T είναι ένας συμπαγής αυτοσυζηγής τελεστής σε έναν μη μηδενικό χώρο Η του Hilbert και

$m(T):=\sup {\bigl \{}|\langle Tx,x\rangle |:x\in H,\,\|x\|\leq 1{\bigr \}},$

τότε το m(T) ή το −m(T) είναι μία ιδιοτιμή του T.

Αν το m(T) = 0, τότε T = 0 ( από την ταυτότητα πόλωσης) ,αυτή η περίπτωση ισχύει. Έστω η συνάρτηση

${\begin{cases}f:H\to \mathbf {R} \\f(x)=\langle Tx,x\rangle \end{cases}}$

Αντικαθιστώντας τον T με τον −T αν χρειάζεται, μπορεί κανείς να υποθέσει ότι το supremum της f με την κλειστή μοναδιαία μπάλα B ⊂ H είναι ίσο με το m(T) > 0.Αν η f έχει για μέγιστο το m(T) στο B, σε μερικά διανύσματα y, από το ίδιο επιχείρημα που χρησιμοποιείται στους πίνακες, το y είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του T, με αντίστοιχη ιδοτιμή λ = < λy, y> = <Ty, y> = f(y) = m(T).

Από το θεώρημα Banach–Alaoglu και την αντανάκλαστικότητα της H, η κλειστή μοναδιαία μπάλα B,είναι ασθενώς συμπαγής.Επίσης η συμπάγεια του T σημαίνει (δες παραπάνω) ότι ο T : X με την αδύναμη τοπολογία → X με την νόρμα τοπολογία , είναι συνεχής. Αυτά τα δύο γεγονότα υποδηλώνουν ότι η f είναι συνεχής στο B , επίσης είναι εξοπλισμένα με την αδύναμη τοπολογία, και η f επιτυγχάνει μέγιστη τιμή m στο Β για καποια y ∈ B. Για μέγιστο ||y|| = 1, συνεπάγεται ότι y μεγιστοποιεί το πηλίκο (Rayleig) g(x) (δές παραπάνω).Αυτό μας δείχνει ότι το y είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του T, και έτσι τελειώνει η απόδειξη του αξιώματος.

Σημείωση. Η συμπάγεια του T είναι κρίσιμη. Γενικά, f δεν χρειάζεται να είναι συνεχής για την αδύναμη τοπολογία πάνω στη μοναδιαία μπάλα B. Για παράδειγμα, ας είναι T ο τελεστής της ταυτότητας, ο οποίος δεν είναι συπαγής όταν ο H είναι άπειρης διάστασης. Πάρε οποιαδήποτε ορθοκανονική ακολουθία {y_n}. Τότε y_n συγκλίνει στο 0, αλλά lim f(y_n) = 1 ≠ 0 = f(0).

Ας είναι T ο συμπαγής τελεστής σε ένα χώρο Hilbert H. Μία πεπερασένη (ενδεχομένως κενή) ή αριθμήσιμα άπειρη ορθοκανονική ακολουθία {e_n} ενός ιδιοδιανύσματος του T, με αντίστοιχες μη μηδενικές ιδιοτιμές, κατασκευάζεται επαγωγικά ως εξής. Ας είναι H₀ = H και T₀ = T. Αν m(T₀) = 0, τότε T = 0 και η κατασκευή σταματά χωρίς να παράγει κάποιο ιδιοδιάνυσμα e_n. Υποθέτουμε ότι τα ορθοκανονικά ιδιοδιανύσματα e₀, …, e_{n − 1} του T έχουν βρεθεί. Τότε E_n:= span(e₀, …, e_{n − 1}) είναι αναλλοίωτα κάτω από τον T, και από τον αυτο-προσαρτημένο ,το ορθογώνιο συμπλήρωμα H_n το E_n είναι αμετάβλητος υποχώρος του T. Έστω ότι T_n δηλώνει τον περιορισμό του T στο H_n. Αν m(T_n) = 0, τότε T_n = 0, και η κατασκευή σταματά. Διαφορετικά, από τον ισχυρισμό που εφαρμόστηκε στον T_n, υπάρχει η νόρμα ενός ιδιοδιανύσματος e_n του T στο H_n, με την αντίστοιχη μη μηδενική ιδιοτιμή λ_n = ± m(T_n).

Έστω F = (span{e_n})^⊥, όπου {e_n} είναι η πεπερασμένη ή άπειρη ακολουθία η οποία κατασκευάστηκε; από τον αυτοπροσαρτημένο, F είναι αναλλοίωτη κάτω από τον T. Έστω ότι S δηλώνει τον περιορισμό του T στην F. Αν η διαδικασία είχε σταματήσει μετά από πεπερασμένα βήματα, με τελευταίο διάνυσμα το e_m−1, τότε F= H_m και S = T_m = 0, από την κατασκευή. Στην περίπτωση του απείρου, ο T είναι συμπαγής και e_n συγκλίνει στο 0 συνεπάγεται Te_n = λ_ne_n → 0, άρα λ_n → 0. Δεδομένου ότι η F περιέχεται στο H_n για κάθε n, έπεται ότι m(S) ≤ m({T_n}) = |λ_n| για κάθε n, ως εκ τούτου m(S) = 0. Αυτό σημαίνει και πάλι ότι S = 0.

Το γεγονός ότι S = 0 σημαίνει ότι η F περιέχεται στον πυρήνα του T. Αντιθέτως, αν x ∈ ker(T), τότε από τον αυτοπροσαρτημένο, το x είναι ορθογώνιο σε κάθε ιδιοδιάνυσμα {e_n} με μη μηδενική ιδιοτιμή. Επομένως F = ker(T), και η {e_n} είναι ορθοκανονική βάση για το ορθογώνιο συμπλήρωμα του πυρήνα του T. Η διαγωνοποίηση του T μπορεί να ολοκληρωθεί επιλέγοντας μια ορθοκανονική βάση από τον πυτήνα. Αυτό αποδεικνύει το φασματικό θεώρημα.

Μια συντομότερη αλλά πιο αφηρημένη απόδειξη έχει ως εξής: από το Λήμμα του Zorn, επιλέγοντας U να είναι ένα μέγιστο υποσύνολο του H με τις ακόλουθες τρεις ιδιότητες: όλα τα στοιχεία του U είναι ιδιοδιανύσματα του T, έχουν ένα πρότυπο, και κάθε δύο διακριτά στοιχεία του U είναι ορθογώνια . Έστω F το ορθογώνιο συμπλήρωμα του γραμμικού χώρου U. Αν F ≠ {0}, είναι ένας μη τετριμμένος αναλλοίωτος υπόχωρος του T, από τον αρχικό ισχυρισμό θα πρέπει να υπάρχει ένα πρότυπο ιδιοδιάνυσμα y του T στην F. Αλλά τότε U ∪ {y} έρχεται σε αντίθεση με τη μεγιστοποίηση (maximality) του U. Επομένως F = {0}, και span(U) είναι πυκνό στον H. Αυτό δείχνει ότι U είναι ορθοκανονική βάση του H που αποτελείται από ιδιοδιανύσματα του T.

Συναρτησιακός Λογισμός

Αν Τ είναι συμπαγής σε έναν άπειρο-διάστατο χώρο Hilbert H, τοτε T δεν είναι αντιστρέψιμος, και σ(T), το φάσμα του T, περιέχει πάντα το 0. Το φασματικό θεώρημα δείχνει ότι το σ(T) αποτελείται από τις ιδιοτιμές {λ_n} του T, και 0 (εάν το 0 δεν είναι ήδη μια ιδιοτιμή). Το σύνολο σ(T) είναι ένα συμπαγές υποσύνολο του πραγματικού άξονα, και οι ιδιοτιμές είναι πυκνές στο σ(T).

Κάθε φασματικό θεώρημα μπορεί να επαναεφαρμοστεί με όρους συναρτησιακού λογισμού. Στο παρόν κείμενο είναι:

Θεώρημα. Ας συμβολίζει το C(σ(T)) την C*-Αλγεβρα των συνεχών συναρτήσεων στον σ(T). Εκεί υπάρχει ένας μοναδικός ισομμετρικός ομομορφισμός Φ : C(σ(T)) → L(H) όπου Φ(1) = I και, εαν f η ταυτοτική συνάρτηση f(λ) = λ, τότε Φ(f) = T. Ακόμα, σ(f(T)) = f(σ(T)).

Στο συναρτησιακό λογισμό,η απεικόνιση Φ ορίζεται με φυσικό τρόπο: ασ είναι {e_n} μια ορθομοναδιαία βάση των ιδιοδιανυσμάτων για το H, με αντίστοιχες ιδιοτιμές {λ_n}; για f ∈ C(σ(T)),ο τελεστής Φ(f), διαγώνιος με σεβασμό στην ορθομοναδιαία βάση {e_n}, ορίζεται ως

$\Phi (f)(e_{n})=f(\lambda _{n})e_{n}$

για κάθε n. Αφού Φ(f) διαγώνιος με σεβασμό στην ορθομοναδιαία βάση,η νόρμα του είναι ίση με το supremum των προτύπων των διαγώνιων συντελεστών,

$\|\Phi (f)\|=\sup _{\lambda _{n}\in \sigma (T)}|f(\lambda _{n})|=\|f\|_{C(\sigma (T))}.$

Οι άλλες ιδιότητες του Φ μπορούν άμεσα να επιβεβαιωθούν. Αντίστροφα,κάθε ομομορφισμός Ψ που ικανοποιεί το θεώρημα πρέπει να ταυτίζεται με τον Φ όταν f είναι ένα πολυώνυμο. Από το Θεώρημα προσέγγισης του Weierstrass, οι πολυωνυμικές συναρτήσεις είναι πυκνές στον C(σ(T)), και συνεπάγεται ότι Ψ = Φ. Αυτό δείχθει ότι η Φ είναι μοναδική.

Ο πιο γενικός Συνεχής συναρτησιακός λογισμός μπορεί να ορισθεί από κάθε αυτοσυζυγή (ή ακόμα κανονικό, στη μιγαδική περίπτωση) φραγμένο γραμμικο τελεστή σε χώρο Hilbert . Στη περίπτωση συμπαγούς τελεστή,οπου την περιγράφουμε εδώ, είναι μια απλή περίπτωση του συνεχούς συναρτησιακού λογισμού.

Ταυτόχρονη Διαγωνιοποίηση

Θεωρώντας ένα χώρο Hilbert H (στον πεπερασμένης διάστασης Cⁿ), και ένα σύνολο ${\mathcal {F}}\subseteq \operatorname {Hom} (H,H)$ από αυτοσυζυγείς τελεστές.Κατόπιν κάτω από κάποιες κατάλληλες συνθήκες,μπορεί το σύνολο δια διαγωνιοποιηθεί. Εκεί θα υπάρχει μια ορθομοναδιαία βάση Q αποτελούμενη από κοινά ιδιοδιανύσματα για του τελεστές — π.χ.

$(\forall {q\in Q,T\in {\mathcal {F}}})~(\exists {\sigma \in \mathbf {C} })~(T-\sigma )q=0$

Λήμμα. Υποθέτουμε ότι όλοι οι τελεστές του ${\mathcal {F}}$ είναι συμπαγείς. Τότε κάθε κλειστό μη μηδενικό ${\mathcal {F}}$-αμετάβλητο υποχώρο S ⊆ H έχει ένα κοινό ιδιοδιάνυσμα για το ${\mathcal {F}}$.

Απόδειξη.Περίπτωση I: Ολοι οι τελεστές εχουν ακριβώς μια ιδιοτιμή.Τότε παίρνοντας ένα $s\in S$ αυτό είναι κοινό ιδιοδιάνυσμα.

Περίπτωση II: υπάρχουν μερικοί τελεστές $T\in {\mathcal {F}}$ με τουλάχιστον δυο ιδιοτιμές και ας είναι $0\neq \alpha \in \sigma (T\upharpoonright S)$. Αφού T είναι συμπαγής και α μη μηδενικό, έχουμε οτι το $S':=\ker(T\upharpoonright S-\alpha )$ είναι πεπερασμένης διάστασης (και επομένως κλειστός) μη μηδενικός ${\mathcal {F}}$-αμετάβλητος υποχώρος (επειδή οι τελεστές είναι όλοι αντιμεταθετικοί με τον T,έχουμε για $T'\in {\mathcal {F}}$ και $x\in \ker(T\upharpoonright S-\alpha )$, οτι $(T-\alpha )(T'x)=(T'(T~x)-\alpha T'x)=0$ ). Πιο συγκεκριμένα ισχύει $\dim ~S'<\dim ~S$. Επομένως μπορούμε να ισχυριστούμε με επαγωγή στη διάσταση οτι ,θεωρώντας οτι $S'\subseteq S$ ,εχει ενα κοινο ιδιοδιανυσμα στο ${\mathcal {F}}$.

Θεώρημα 1. Αν ολοι οι τελεστες στον ${\mathcal {F}}$ είναι συμπαγεις,τότε οι τελεστές μπορούν ταυτόχρονα να διαγωνιοποιηθούν.

Απόδειξη.Το ακόλουθο σύνολο

$\mathbf {P} =\{A\subseteq H:A{\text{ is an orthonormal set of common eigenvectors for }}{\mathcal {F}}\},$

είναι μερικώς διατεταγμένο από αρχή εγκλεισμού.Αυτό το σύνολο εχει ξεκάθαρα την ιδιότητα του Zorn. Συνεπώς παίρνοντας Q το μέγιστο μέλος, εαν Q είναι η βάση για όλο το χώρο Hilbert H, τελειώσαμε.Εαν δεν συνέβαινε αυτό, τότε θεωρώντας $S={\langle Q\rangle }^{\bot }$,εύκολα παρατηρούμε οτι αυτό είναι ένας ${\mathcal {F}}$-αμετάβλητος μη-τετριμμένος κλειστός υποχώρος; και συνεπώς με το πάνω λήμμα, θα βρίσκονταν εκεί ένα κοινό ιδιοδιάνυσμα για τους τελεστές (απαραίτητα ορθογώνιους στο Q). Αλλα τότε θα υπάρχει εκεί μια επέκταση του Q μέσα στο P; Ατοπο.

Θεώρημα 2.Εστω οτι υπάρχει ένας αμφιμονότιμος συμπαγής τελεστής στο ${\mathcal {F}}$;τοτε οι τελεστές μπορούν ταυτόχρονα (ορθομοναδιαία)να διαγωνιοποιηθούν.

Απόδειξη. Παίρνω σταθερό $T_{0}\in {\mathcal {F}}$ συμπαγή,αμφιμονότιμο. Τότε έχουμε, από το φασματικό θεώρημα των συμπαγώ συμμετρικών τελεστών στους χώρους Hilbert οτι:

$H={\overline {\bigoplus _{\lambda \in \sigma (T_{0})}\ker(T_{0}-\sigma )}},$

όπου $\sigma (T_{0})$ είναι διακριτό,μετρήσιμο υποσύνολο θετικών πραγματικών αριθμών, και όλοι οι ιδιοχώροι ειναι πεπερασμένης διάστασης.Αφού ${\mathcal {F}}$ ένα αντιμεταθετικό σύνολοt, έχουμε οτι οι ιδιοχώροι είναι αμετάβλητοι.Αφού οι τελεστές περιορισμένοι στους ιδιοχώρους (που είναι πεπερασμένης διάστασης) είναι αυτόματα συμπαγείς, μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα 1 σε κάθε ένα από αυτούς, και να βρούμε ορθομοναδιαία βάση Q_σ για τον $\ker(T_{0}-\sigma )$. Αφου T₀ συμμετρικός, έχουμε οτι το

$Q:=\bigcup _{\sigma \in \sigma (T_{0})}Q_{\sigma }$

είναι ένα (μετρήσιμο) ορθοκανονικό σύνολο. Είναι ακόμα, από την παραγοντοποίηση όπου αναφέραμε προηγουμένως, βάση για το H.

Θεώρημα 3.

Αν Τ είναι συμπαγής σε ένα άπειρο τρισδιάστατο χώρο Η Hilbert, και ${\mathcal {F}}\subseteq \operatorname {Hom} (H,H)$ είναι ένα αντιμεταθετικό σύνολο βοηθών , οι οποίοι ο καθένας είναι διαγωνόποιήσιμος ; έτσι οι βοηθοί μπορούν να είναι ταυτόχρονα διαγωνοποιήσιμοι.

Απόδειξη. Περίπτωση I: όλοι οι βοηθοί έχουν ακριβώς μία ιδιοτιμή ,έτσι κάθε βάση για την Η θα ισχύει.

Περίπτωση II: Ορίζω το $T_{0}\in {\mathcal {F}}$ βοηθό με τις δύο τελευταίες ιδιοτιμές, και αφήνω $P\in \operatorname {Hom} (H,H)^{\times }$ ούτως ώστε $P^{-1}~T_{0}~P$ να είναι ένας συμμετρικός βοηθός. Τώρα, ας είναι μια ιδιοτιμή $P^{-1}T_{0}P$. Στη συνέχεια, είναι εύκολο να δούμε ότι και οι δύο:

$\ker \left(P^{-1}~T_{0}(P-\alpha )\right),\quad \ker \left(P^{-1}~T_{0}(P-\alpha )\right)^{\bot }$

είναι μη τετριμμένοι $P^{-1}{\mathcal {F}}P$-αναλλοίωτοι υποχώροι. Με επαγωγή έχουμε ότι υπάρχουν γραμμικά ανεξάρτητες βάσεις Q₁, Q₂ για τους υποχώρους, τα οποία αποδεικνύουν ότι οι βοηθοί $P^{-1}{\mathcal {F}}P$ μπορούν να διαγονοποιήσουν ταυτόχρονα τους υποχόρους . Είναι λοιπόν σαφές ότι το $P(Q_{1}\cup Q_{2})$ αποδεικνύει ότι οι βοηθοί της ${\mathcal {F}}$ μπορεί να είναι ταυτόχρονα διαγονοποιήσιμοι.

Παρατηρήστε ότι δεν έπρεπε να χρησιμοποιηθεί άμεσα ο μηχανισμός των πινάκων καθόλου σε αυτό το αποδεικτικό. Υπάρχουν και άλλες εκδοχές που ισχύουν.

Μπορούμε να ενισχύσουμε την παραπάνω περίπτωση κατά την οποία όλοι οι βοηθοί απλώς μετακινούνται με τους συζυγή τους; σε αυτή την περίπτωση αντικαθιστούμε τον όρο "ορθογώνια" με διαγονοποιήσιμη. Υπάρχουν ασθενέστερα αποτελέσματα για τους βοηθούς που προκύπτουν από την παράσταση λόγω του Weyl–Peter. Έστω G είναι μια τοπικά σταθερή συμπαγής ομάδα Hausdorff, και $H=L^{2}(G)$ (ο χώρος της τετραγωνικά ολοκληρώσιμης μετρίσημής συνάρτησης μετράει το G στην κλίμακα Haar). σκεφτείτε τη συνεχή δράση στροφής:

${\begin{cases}G\times H\to H\\(gf)(x)=f(g^{-1}x)\end{cases}}$

Στη συνέχεια, αν ήταν G συμπαγής , τότε υπάρχει μια μοναδική σύνθεση του Η σε ένα αριθμήσιμο ευθύ άθροισμα των πεπερασμένων διαστάσεων , σε αναλλοίωτους υποχώρους (αυτό είναι ουσιαστικά βοηθοί της οικογένειας των διαγονοποιήσιμων $G\subseteq U(H)$).Αν G δεν είναι συμπαγές, αλλά είναι ( abelien), τότε η διαγονοποίηση δεν επιτυγχάνεται, αλλά έχουμε μια μοναδική συνεχή αποσύνθεση του Η σε 1-διαστάσεων αναλλοιώτων υποχώρων.

Συμπαγής Κανονικός Τελεστής

Η οικογένεια των ερμιτιανών πινάκων ειναι ένα κατάλληλο υποσύνολο των πινάκων η οποία είναι ορθομοναδιαία διαγωνιοποιήσιμη.Ενας πίνακας M είναι ορθομοναδιαία διαγωνιοποιήσιμος αν και μόνο αν ειναι κανονικός,δηλαδή M*M = MM*. Παρόμοιες ιδιότητες ισχύουν για συμπαγείς κανονικούς τελεστές.

Ας είναιT ένας συμπαγής τελεστής με T*T = TT*. Εφαρμόζοντας την Καρτεσιανή παραγοντοποίηση στο T: ορίζω

$R={\frac {T+T^{*}}{2}},\quad J={\frac {T-T^{*}}{2i}}.$

Οι αυτοσυζυγείς συμπαγείς τελεστές R και J καλούνται πραγματικό και φανταστικό μέρος του T αντίστοιχα. T είναι συμπαγείς σημαίνει T*, και συνεπώς R και J, είναι συμπαγείς. Επιπλέον, η κανονικότητα του T συνεπάγει οτι R και J αντιμεταντίθενται. Συνεπώς,μπορούν ταυτόχρονα να διαγωνιοποιηθούν, και συνεπώς καταλήγουμε στο εξής.

Ενας συμπαγής υποκανονικός τελεστής (συγκεκριμένα ενας Υποκανονικός τελεστής)ειναι κανονικός.

Ορθομοναδιαίος Τελεστής

Το φάσμα ενός μοναδιαίου τελεστή U βρίσκεται στον ορθομοναδιαίο κύκλο του μιγαδικού επιπέδου; Θα μπορούσε να ναι και ολόκληρος ο μοναδιαίος κύκλος.Ομως, αν U είναι ταυτοτικός και ακόμα μια συμπαγης διαταραχή, U έχει μετρήσιμα φάσματα, περιέχοντας το 1 και πιθανόν,ένα πεπερασμένο σύνολο ή μια ακολουθίαπου τείνει στο 1 στο μοναδιαίο κύκλο. Ακριβέστερα,υποθέτουμε οτι U = I + C όπου C είναι συμπαγής. Οι εξισώσεις UU* = U*U = I και C = U − I δείχνουν οτι ο C είναι κανονικός. Το φάσμα του C περιέχει το 0, και πιθανόν, ένα πεπερασμένο σύνολο η μια ακολουθία που τείνει στο 0.Αφού U = I + C, το φάσμα του U το παίρνουμε με την αλλαγή του φάσματος του C κατά 1.

Παραδείγματα

• Έστω H = L²([0, 1]). Ο τελεστής του πολλαπλασιασμού M ορίζεται

$(Mf)(x)=xf(x),\quad f\in H,\,\,x\in [0,1]$

είναι ένας φραγμένος αυτοσυζηγής στο Η ο οποίος δεν έχει ιδιοδιανύσματα , από το φασματικό θεώρημα, δεν μπορεί να είναι συμπαγής.

• Έστω K(x, y)είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμη στο [0, 1]² και ορίζει το T_K στο H

$(T_{K}f)(x)=\int _{0}^{1}K(x,y)f(y)\,\mathrm {d} y.$

έτσι το T_K είναι συμπαγές στο H; αυτό είναι Hilbert–Schmidt τελεστής.

• Υποθέτουμε ότι ο πυρήνας K(x, y) ικανοποιεί την ερμητιανή κατάσταση.

$K(y,x)={\overline {K(x,y)}},\quad x,y\in [0,1].$

Επίσης το T_K είναι συμπαγής και αυτοσυζηγής στο H; Αν {φ_n} είναι μία ορθοκανονική βάση των ιδιοδιανυσμάτων,με ιδιοτιμές τα {λ_n}, ισχύει ότι

$\sum \lambda _{n}^{2}<\infty ,\ \ K(x,y)\sim \sum \lambda _{n}\varphi _{n}(x){\overline {\varphi _{n}(y)}},$

όπου το άθροισμα των σειρών των συναρτήσεων L² είναι γνωστό ως μέτρο σύγκλισης του Lebesgue στο [0, 1]². Θεώρημα Mercer δίνει τις συνθήκες υπό τις οποίες η σειρά συγκλίνει σημιακά στο K(x, y) , και ομοιόμορφα στο [0, 1]².

Πηγές

• J. Blank, P. Exner, and M. Havlicek, Hilbert Space Operators in Quantum Physics, American Institute of Physics, 1994.
• M. Reed and B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I: Functional Analysis, Academic Press, 1972.
• Zhu, Kehe (2007), Operator Theory in Function Spaces, Mathematical surveys and monographs, Vol. 138, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3965-2