Συμμετρικό πολυώνυμο

Ορισμός

$\mathcal{R}[x_1,...,x_n]$ ο δακτύλιος των πολυωνύμων στις μεταβλητές $x_1,..,x_n$ με συντελεστές απο το μοναδιαίο δακτύλιο $\mathcal{R}$ και $\mathcal{S}_n$ η συμμετρική ομάδα βαθμού n.

Ένα πολυώνυμο $f \in \mathcal{R}[x_1,..,x_n]$ θα καλείται συμμετρικό (symmetric polynomial) αν ισχύει ότι

$f (x_1,..x_n)=f(x_{\pi(x_1)},...,x_{\pi(x_n)})$ για κάθε μετάθεση π$\in \mathcal{S}_n$.

Παράδειγματα

Τα ακόλουθα πολυώνυμα είναι συμμετρικά

• $s_1=x_1+..+x_n$

• $s_2=x_1x_2+...+x_1x_n+....x_{n-1}x_n$

.....

• $s_n=x_1x_2..x_n$

Τα πολυώνυμα αυτά καλούνται στοιχειώδη συμμετρικά πολυώνυμα (elementary symmetric polynomials) και προκύπτουν (με προσέγγιση προσήμου),ως συντελεστές του πολυωνύμου

$(x-x_1)....(x-x_n)=x^n-s_1x^{n-1}+s_2x^{n-2}-...+(-1)^ns_n\in \mathcal{R}[x_1...,x_n][x]$