Συμμετρικό πολυώνυμο

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]


\mathcal{R}[x_1,...,x_n] ο δακτύλιος των πολυωνύμων στις μεταβλητές x_1,..,x_n με συντελεστές απο το μοναδιαίο δακτύλιο \mathcal{R} και \mathcal{S}_n η συμμετρική ομάδα βαθμού n.

Ένα πολυώνυμο f \in \mathcal{R}[x_1,..,x_n] θα καλείται συμμετρικό (symmetric polynomial) αν ισχύει ότι

f (x_1,..x_n)=f(x_{\pi(x_1)},...,x_{\pi(x_n)}) για κάθε μετάθεση π\in \mathcal{S}_n.

Παράδειγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τα ακόλουθα πολυώνυμα είναι συμμετρικά

  • s_1=x_1+..+x_n
  • s_2=x_1x_2+...+x_1x_n+....x_{n-1}x_n

.....

  • s_n=x_1x_2..x_n

Τα πολυώνυμα αυτά καλούνται στοιχειώδη συμμετρικά πολυώνυμα (elementary symmetric polynomials) και προκύπτουν (με προσέγγιση προσήμου),ως συντελεστές του πολυωνύμου

(x-x_1)....(x-x_n)=x^n-s_1x^{n-1}+s_2x^{n-2}-...+(-1)^ns_n\in \mathcal{R}[x_1...,x_n][x]