Σρινιβάσα Ραμανούτζαν

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Σρινιβάσα Ραμανούτζαν
Srinivasa Ramanujan - OPC - 1.jpg
Γέννηση 22 Δεκεμβρίου 1887
Ερόντε, Ινδία
Θάνατος 26 Απριλίου 1920 (32 ετών)
Τσέτπουτ, Τσενάι-Μάντρας, Ινδία
Εθνικότητα Ινδική
Ερευνητικός τομέας Μαθηματικά

O Σρινιβάσα Ραμανούτζαν FRS, (αγγλ. Srinivasa Ramanujan, 22 Δεκεμβρίου 1887 – 26 Απριλίου 1920) ήταν ένας Ινδός μαθηματικός και παρότι αυτοδίδακτος με σχεδόν καθόλου εκπαίδευση στα καθαρά μαθηματικά, είχε αξιοσημείωτη συνεισφορά στη μαθηματική ανάλυση, στη θεωρία αριθμών, στις απειροστικές σειρές και στα συνεχή κλάσματα. Έζησε στην Ινδία αποκομμένος από την μαθηματική κοινότητα της εποχής, που ήταν ανεπτυγμένη κυρίως στην Ευρώπη, με αποτέλεσμα να εξελίσσει την μαθηματική του έρευνα απομονωμένος. Ως συνέπεια αυτού, πέρα από την παραγωγή καινούργιου υλικού ανακάλυψε ξανά θεωρήματα που ήταν ήδη γνωστά. Αυτό οδήγησε τον Άγγλο μαθηματικό Γκόντφρεϊ Χάρολντ Χάρντι να τον χαρακτηρίσει φυσική διάνοια, της ίδιας κλάσης με μαθηματικούς όπως ο Όιλερ, ο Γκάους, ο Νεύτωνας και ο Αρχιμήδης.[1]

Ο Ραμανούτζαν γεννήθηκε στο Ερόντε, στην Ομόσπονδη Πολιτεία Μανδράς (σημερινή επαρχία Ταμίλ Ναντού) σε μια οικογένεια που ανήκε στην κάστα των Βραχμάνων και στον λαό των Ταμίλ [2][3][4] Η πρώτη του επαφή με τα μαθηματικά έγινε στην ηλικία των 10 ετών. Επέδειξε φυσική δεξιότητα στο αντικείμενο και του δόθηκαν βιβλία προχωρημένης τριγωνομετρίας, το περιεχόμενο των οποίων κατείχε απόλυτα στην ηλικία των 12 ετών. Κατάφερε ακόμη και να ανακαλύψει δικά του θεωρήματα καθώς και ανακάλυψε ξανά, μόνος του, την Ταυτότητα του Όιλερ. Στο σχολείο επέδειξε ασυνήθιστες μαθηματικές ικανότητες, κερδίζοντας επαίνους και βραβεία. Στην ηλικία των 17 ετών ο Ραμανούτζαν είχε ήδη διεξάγει την προσωπική του έρευνα σχετικά με τους Αριθμούς Μπερνουλί και την σταθερά των Όιλερ-Μασερόνι.

Στον Ραμανούτζαν χορηγήθηκε υποτροφία για να σπουδάσει σε ένα κρατικό κολέγιο, η οποία όμως ακυρώθηκε όταν αυτός απέτυχε στα μαθήματα που δεν είχαν σχέση με τα μαθηματικά. Ο Ραμανούτζαν έγινε μέλος ενός άλλου κολλεγίου με σκοπό να συνεχίσει την έρευνα του, δουλεύοντας παράλληλα ως υπάλληλος γραφείου για να συντηρηθεί .[5]. Το 1912 και το 1913 έστειλε κάποια από τα θεωρήματα του σε τρείς ακαδημαϊκούς στο Πανεπιστήμιο του Κέμπριτζ. Ο Γκόντφρεϊ Χάρολντ Χάρντι, αναγνωρίζοντας το υψηλό επίπεδο της δουλειάς του, προσκάλεσε τον Ραμανούτζαν να τον επισκεφθεί και να συνεργαστούνε στο Κέμπριτζ. Στην διάρκεια της ζωής του ο Ραμανούτζαν απέκτησε τους τίτλους του Έταιρου της Βασιλικής Εταιρίας καθώς και του Εταίρου του κολεγίου Τρίνιτι στο Κέμπριτζ. Απεβίωσε το 1920, μόλις στην ηλικία των 32 ετών ταλαιπωρημένος από αρρώστιες, υποσιτισμό και πιθανόν υποφέροντας από μόλυνση στο συκώτι.

Στην διάρκεια της σύντομής του ζωής, ο Ραμανούτζαν κατάφερε να αφήσει έργο που απαριθμεί σχεδόν 3900 αποτελέσματα, κυρίως ταυτότητες και εξισώσεις [6] . Αν και ένας μικρός αριθμός από τα αποτελέσματα αυτά ήταν εσφαλμένα και μερικά ήδη γνωστά, οι περισσότερες από τις εργασίες του αποδείχθηκαν ορθές.[7] Διατύπωσε συμπεράσματά του ήταν τόσο πρωτότυπα όσο και ιδιαίτερα αντισυμβατικά, όπως οι πρώτοι αριθμοί Ραμανούτζαν και η συναρτήση θήτα Ραμανούτζαν, και ενέπνευσαν έναν τεράστιο αριθμό περαιτέρω ερευνών.[8] Είναι χαρακτηριστικό πως μερικές από τις πιο σημαντικές ανακαλύψεις του άργησαν πολύ να ενταχθούν στο ρεύμα των σύγχρονων μαθηματικών.

Τον Δεκέμβριο του 2011, αναγνωρίζοντας την συνεισφορά του στα μαθηματικά, η κυβέρνηση της Ινδίας διακήρυξε την ημέρα των γενεθλίων του Ραμανούτζαν (22 Δεκεμβρίου) ως ετήσια «Εθνική Ημέρα των Μαθηματικών» καθώς και το έτος 2012 ως «Εθνικό Χρόνο των Μαθηματικών».[9][10]

Νεανική ζωή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το σπίτι του Ραμανουτζάν στην οδό Sarangapani, στην Kumbakonam

Ο Ραμανούτζαν γεννήθηκε στις 22 Δεκεμβρίου 1887 στην πόλη Έροουντ (Erode), Προεδρία του Μάντρας (τώρα Παλιπαλαγιάμ, Ερόουντ, Ταμίλ Ναντού), και ζούσε στην κατοικία των παππούδων του.[11] Ο πατέρας του, K. Σρινιβάσα Ιγιενκάρ, εργαζόταν σαν υπάλληλος σε ένα μαγαζί που πωλούσε υφάσματα και καταγόταν από την Tανζαβούρ.[12] Η μητέρα του, Kομαλαταμάλ, ασχολούταν με τα οικιακά και παράλληλα ήταν ψάλτης σε ένα τοπικό ναό.[13] Έμεναν στην οδό Σαρανγκαπάνι σε ένα παραδοσιακό σπίτι της πόλης Κουμπακόναμ. To πατρικό του σπίτι είναι τώρα μουσείο. Όταν ο Ραμανούτζαν ήταν ενός και μισού έτους, η μητέρα του γέννησε ένα αγόρι με το όνομα Σανταγκόπαν, το οποίο πέθανε σε χρονικό διάστημα μικρότερο των τριών μηνών από τη γέννησή του. Τον Δεκέμβριο του 1889, ο Ραμανούτζαν αρρώστησε με ευλογιά αλλά ανάρρωσε, σε αντίθεση με χιλιάδες άτομα στην περιοχή της Τανζαβούρ τα οποία κατέληξαν από την ασθένεια εκείνο το χρόνο.[14] Στην πορεία, μετακόμισε με την μητέρα του στο σπίτι των γονιών της στο Kαντσιπούραμ, κοντά στο Μάντρας(τώρα Τσενάι). Τον Νοέμβριο του 1891, καθώς και το 1894, η μητέρα του γέννησε δύο παιδιά, τα οποία πέθαναν σε νηπιακή ηλικία.

Στη 1 Οκτωβρίου 1892, ο Ραμανούτζαν γράφτηκε στο τοπικό σχολείο.[15] Τον Μάρτιο του 1894, μεταφέρθηκε σε ένα ξενόγλωσσο σχολείο. Όμως, μετά την απόλυση του παππού του ως δικαστικού υπαλλήλου στο Καντσιπούραμ,[16] ο Ραμανούτζαν επέστρεψε στο Κουμπακόναμ μαζί με την μητέρα του και γράφτηκε στο δημοτικό σχολείο του Κανκάγιαν.[17] Μετά το θάνατο του παππού του από την πλευρά του πατέρα του, επιστέφει στους παππούδες του από την πλευρά της μητέρας του, οι οποίοι ζούσαν τότε στο Μάντρας. Δεν του άρεσε το σχολείο στο Μάντρας και το απέφευγε έντονα. H οικογένεια του επιστράτευσε ένα τοπικό αστυφύλακα για να διαβεβαιώσει ότι πήγαινε στο σχολείο. Μετά από έξι μήνες ο Ραμανούτζαν επέστρεψε στο Κουμπακόναμ.[17]

Την ανατροφή του την είχε αναλάβει η μητέρα του, καθώς ο πατέρας του δούλευε την περισσότερη μέρα. Είχε πολύ στενή σχέση μαζί της. Από εκείνη διδάχθηκε τα έθιμα και τη θρησκεία. Έμαθε να τραγουδά θρησκευτικά τραγούδια, να παρευρίσκεται στις συναγωγές και να έχει συγκεκριμένες διατροφικές συνήθειες – όλα από τα οποία είναι κομμάτι της κουλτούρας των Μπράχμιν.[18] Στο δημοτικό σχολείο του Κανκάγιαν ο Ραμανούτζαν είχε υψηλές επιδόσεις. Λίγο πριν συμπληρώσει τα δέκα του έτη, τον Νοέμβριο του 1897, πέρασε τις εξετάσεις του στην αγγλική γλώσσα, στη γλώσσα Ταμίλ, στη γεωγραφία και στην αριθμητική. Mάλιστα συμπλήρωσε την μεγαλύτερη βαθμολογία στην περιοχή του.[19] Εκείνο το έτος, ο Ραμανούτζαν πήγε στο γυμνάσιο Τάουν Χάιερ, όπου ήρθε σε επαφή με τα αυστηρά μαθηματικά για πρώτη φορά.[19]

Στην ηλικία των 11, είχε ξεπεράσει σε μαθηματικές γνώσεις δύο ενοικιαστές του σπιτιού του, οι οποίοι ήταν φοιτητές. Στην πορεία δανείστηκε ένα βιβλίο με θέμα την ανώτερη τριγωνομετρία γραμμένο από τον Σ. Λ. Λόνι. Κατανόησε σε βάθος αυτό το βιβλίο στην ηλικία των 13, όπου έφτιαξε και δικά του θεωρήματα πάνω σε αυτό. Στα 14, είχε κερδίσει αξιόλογα βραβεία και διακρίσεις, οι οποίες συνεχίστηκαν σε όλα τα μαθητικά του χρόνια. Μάλιστα, αφού το σχολείο του είχε μόνο 35 καθηγητές και 1200 μαθητές, βοηθούσε τους πρώτους στη διδασκαλία.[20] Ολοκλήρωσε τις εξετάσεις του στα μαθηματικά στο μισό προαπαιτούμενο χρόνο και επέδειξε μεγάλη οικειότητα με την γεωμετρία και τις άπειρες σειρές. Ο Ραμανούτζαν διδάχθηκε πως να λύνει της κυβικές εξισώσεις το 1902 και κατάφερε να βρει το δικό του σωστό τρόπο για να επιλύει τις τεταρτοβάθμιες. Τον επόμενο χρόνο, χωρίς να ξέρει ότι οι πεμπτοβάθμιες δε λύνονται με τη βοήθεια ριζών, προσπάθησε (και φυσικά απέτυχε) να τις λύσει.

Το 1903 όταν ήταν 16 ετών, ο Ραμανούτζαν προμηθεύτηκε από ένα φίλο ένα αντίτυπο του βιβλίου του Γ. Σ. Καρ.[21][22] Ο τίτλος του οποίου ήταν Μια σύνοψη των στοιχειωδών αποτελεσμάτων στα Θεωρητικά και Εφαρμοσμένα Μαθηματικά και ήταν μια συλλογή 5000 θεωρημάτων. Ο Ραμανούτζαν μελέτησε το βιβλίο σε βάθος.[23] Αυτό το βιβλίο φημολογείται ότι ήταν ο λόγος που ξεδιπλώθηκε η ιδιοφυΐα του.[23] Tον επόμενο χρόνο, είχε αναπτύξει και ερευνήσει τους Αριθμούς Μπερνούλι και είχε υπολογίσει τη σταθερά του Όιλερ-Μασερόνι σε 15 δεκαδικά ψηφία.[24] Οι συνομήλικοι του υποστήριζαν ότι "σπάνια τον καταλάβαιναν" και ότι συχνά "έμεναν έκθαμβοι" από το θαυμασμό τους.[20]

Όταν αποφοίτησε από το Γυμνάσιο Τάουν Χάιερ το 1904, ο Ραμανούτζαν βραβεύθηκε με το βραβείο Κ. Ρανγκανάθα Ράο για τα μαθηματικά από τον διευθυντή του, Κρισνασουάμι Άιερ. Ο Άιερ τον εκφώνησε ως έναν εξέχοντα μαθητή ο οποίος άξιζε υψηλότερες από τις μέγιστες δυνατές βαθμολογίες.[20] Κέρδισε μια υποτροφία για να σπουδάσει στο Κρατικό Κολέγιο Τέχνης, Κουμπακόναμ.[25][26] Παρόλα αυτά, ο Ραμανούτζαν ήταν τόσο επίμονος με τη μελέτη των μαθηματικών, έτσι ώστε να μην μπορεί να εστιάσει και στα άλλα μαθήματα, στα περισσότερα εκ των οποίων απέτυχε, και έχασε την υποτροφία του.[27] Τον Αύγουστο του 1905, έφυγε από το σπίτι του, κατευθυνόμενος στο Βισακχαπάτναμ και έμεινε στο Ρατζαχμούντρι [28] για περίπου ένα μήνα.[29] Στη συνέχεια γράφτηκε στο Κολέγιο Πατσαϊγιάπα στο Μάντρας. Εκεί, πάλι αρίστευσε στα μαθηματικά αλλά είχε χαμηλές επιδόσεις σε άλλα μαθήματα όπως η φυσιολογία. Ο Ραμανούτζαν απέτυχε τις εξετάσεις για τη σχολή Τεχνών τον Δεκέμβριο του 1906 και ξανά τον επόμενο χρόνο. Χωρίς πτυχίο, έφυγε από το πανεπιστήμιο, συνεχίζονταν να διεξάγει ανεξάρτητη έρευνα πάνω στα μαθηματικά. Σε αυτή την περίοδο της ζωής του ζούσε σε μεγάλο επίπεδο φτώχειας και συχνά ήταν στα όρια της λιμοκτονίας.[30]

Eνηλικίωση στην Ινδία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στις 14 Ιουλίου 1909, ο Ραμανούτζαν παντρεύτηκε ένα δεκάχρονο κορίτσι, την Τζανακιαμάλ (21 Mαρτίου 1899 – 13 Aπριλίου 1994).[31] Καταγόταν από το Ράτζεντραμ, ένα χωριό κοντά στο σιδηροδρομικό σταθμό του Μαρουντούρ. Ο πατέρας του Ραμανούτζαν δεν παρευρέθηκε στην τελετή.[32]

Μετά το γάμο, ο Ραμανούτζαν παρουσίασε ένα οίδημα στους όρχεις.[33] Η μόλυνση αυτή μπορούσε να θεραπευτεί με μία εγχείρηση ρουτίνας, όμως η οικογένειά του δεν διέθετε τα απαραίτητα χρήματα. Παρόλα αυτά τον Ιανουάριο του 1910 ένας γιατρός ανέλαβε την εγχείρηση δωρεάν.[34]

Μετά από την επιτυχή έκβαση της εγχείρησης ο Ραμανούτζαν έψαξε για δουλειά. 'Εμενε σε φιλικά σπίτια και πήγαινε από πόρτα σε πόρτα σε όλη την πόλη στην αναζήτησή του για ένα υπαλληλικό πόστο. Για να βγάλει τα προς το ζην, έκανε ιδιαίτερα μαθήματα σε φοιτητές του Πρεσίντενσι Κόλετζ, που ετοιμάζονταν για τις εξετάσεις τους.[35]

Στα τέλη του 1910, ο Ραμανούτζαν αρρώστησε ξανά, πιθανώς λόγω της εγχείρησης που υποβλήθηκε τον προηγούμενο χρόνο. Φοβόταν για τη ζωή του τόσο που είπε στον φίλο του Ρ. Ραντακρίσνα Άιερ να "δώσει αυτά" (τα τετράδια του Ραμανούτζαν) στον καθηγητή Σινγκαραβέλου Μουνταλιάερ (ο καθηγητής μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο της Πασαγιάπα) ή στον Βρετανό καθηγητή Έντουαρντ Β. Ρος, από το "Χριστιανικό Κολέγιο του Μάντρας."[36] Αφότου ο Ραμανούτζαν ανάρρωσε και πήρε πίσω τα τετράδια του από τον Άιερ , επιβιβάστηκε σε ένα τραίνο από το Κουμπακόναμ προς την πόλη Βιλουπούραμ, η οποία είναι μια παραλιακή πόλη κάτω από τη Γαλλική κατοχή.[37][38]

Προσοχή μέσα από τα μαθηματικά[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

O Ραμανούτζαν γνώρισε τον αναπληρωτή καθηγητή Β. Ραμασουάμι Άιερ, ο οποίος πρόσφατα είχε ιδρύσει την Ινδική Μαθηματική Εταιρία.[39] O Ραμανούτζαν θέλοντας να πιάσει δουλειά στο τμήμα των εσόδων όπου δούλευε ο Άιερ, του έδειξε τα τετράδια του. Όπως ο Ραμασουάμι αργότερα ανέφερε:

Έμεινα άναυδος από τα αξιοσημείωτα μαθηματικά αποτελέσματα τα οποία περιείχαν (μιλάει για τα τετράδια). Δεν είχα πρόθεση να πνίξω την ευφυΐα του με μια συνέντευξη για δουλειά στα χαμηλά κλιμάκια του τμήματος εσόδων.[40]

Ο Ραμασουάμι Άιερ σύστησε δια αλληλογραφίας τον Ραμανούτζαν στους φίλους του μαθηματικούς στο Μάντρας.[39] Κάποιοι από αυτούς είδαν το έργο του και του έδωσαν συστατικές επιστολές για τον Ρ. Ραμαχάντρα Ράο, τον αναπληρωτή καθηγητή του Νέλορ και τον γενικό γραμματέα της Μαθηματικής Εταιρείας της Ινδίας.[41][42][43] Ο Ραμαχάντρα Ράο ενθουσιάστηκε από το έργο του Ραμανούτζαν αν και αμφέβαλε ότι ήταν δικό του. O Ραμανούτζαν αναφέρθηκε στην αλληλογραφία του με τον καθηγητή Σαλντχάνα, έναν αξιόλογο μαθηματικό, στην οποία ο Σαλντχάνα εξέφραζε το γεγονός ότι δεν καταλάβαινε πλήρως το έργο του,αλλά κατέληγε στο συμπέρασμα ότι δεν ήταν ψεύτικο.[44] Ο φίλος του Ραμανούτζαν, Σ. Β. Ρατζαγκοπαλαχάρι, συμφωνούσε με τον Ραμαχάντρα Ράο και προσπαθούσε να δαμάσει τις αμφιβολίες για την ακαδημαϊκή ακεραιότητα του Ραμανούτζαν. Ο Ράο συμφώνησε να του δώσει μια ακόμη ευκαιρία, και άκουσε τις θεωρίες του Ραμανούτζαν για τα ελλειπτικά ολοκληρώματα, τις υπεργεωμετρικές σειρές του Γκάους, και την θεωρία του για τις αποκλίνουσες σειρές, οι οποίες έπεισαν τον Ράο για τη μαθηματική ιδιοφυΐα του Ραμανούτζαν.[44] Όταν ο Ράο τον ρώτησε τι χρειαζόταν, ο Ραμανούτζαν απάντησε ότι ήθελε μια θέση εργασίας και οικονομική ενίσχυση. O Ράο συμφώνησε και τον έστειλε στο Μάντρας. Εκεί συνέχισε την μαθηματική του έρευνα με την οικονομική βοήθεια του Ράο. Ο Ραμανούτζαν με την βοήθεια του Ραμασουάμι Άιερ, δημοσίευσε το έργο του στο "Περιοδικό της Μαθηματικής Εταιρείας της Ινδίας".[45]

Ένα από τα πρώτα προβλήματα που έθεσε στο περιοδικό ήταν:

\sqrt{1+2\sqrt{1+3 \sqrt{1+\cdots}}}.

Περίμενε να δωθεί μια λύση στα επόμενα τρία τεύχη σε χρονικό διάστημα έξι μηνών, αλλά δεν δέχθηκε κάποια. Στο τέλος, ο Ραμανούτζαν έδωσε ο ίδιος τη λύση στο πρόβλημά του. Στην σελίδα 105 του πρώτου τετραδίου του, διατύπωσε μια σχέση η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να λυθεί το πρόβλημα της άπειρης κιβωτισμένης ρίζας.

x+n+a = \sqrt{ax+(n+a)^2 +x\sqrt{a(x+n)+(n+a)^2+(x+n) \sqrt{\cdots}}}

Χρησιμοποιώντας αυτή τη σχέση, η απάντηση στην ερώτησή του στο "Περιοδικό" ήταν ο αριθμός 3.[46] Ο Ραμανούτζαν δημοσίευσε την πρώτη του μελέτη στο "Περιοδικό" για τις ιδιότητες των Αριθμών Μπερνούλι. Μια ιδιότητα που ανακάλυψε είναι ότι oι παρονομαστές των κλασμάτων των αριθμών Μπερνούλι διαιρούνται πάντα με το 6. Επιπλέον, επινόησε μια μέθοδο να μετρά το Bn σύμφωνα με τους πρότερους αριθμούς Μπερνούλι. Μια από αυτές τις μεθόδους είναι η ακόλουθη:

Θα δειχθεί ότι εάν ο n είναι ζυγός αριθμός διάφορος του μηδενός,
(i) Bn είναι ένα κλάσμα και ο αριθμητής του {B_n \over n} στους μικρότερους όρους του είναι περιττός αριθμός,
(ii) o παρονομαστής του Bn περιέχει ένα από τους όρους 2 και 3 μια και μόνο μια φορά,
(iii) 2^n(2^n-1){b_n \over n} είναι ακέραιος αριθμός και 2(2^n-1)B_n\, κατά συνέπεια είναι περιττός ακέραιος αριθμός.

Στην δεκαεπτασέλιδη μελέτη του, "Κάποιες ιδιότητες των Αριθμών Μπερνούλι", ο Ραμανούτζαν έδωσε τρεις αποδείξεις, δύο πορίσματα και τρία συμπεράσματα.[47] O Ραμανούντζαν είχε,αρχικά, πολλά ψεγάδια στη μελέτη του. Όπως είχε επισημάνει ο εκδότης του "Περιοδικού" Μ. T. Ναραγιάνα:

Oι μέθοδοι του Ραμανούτζαν ήταν τόσο σύντομες και καινοφανής και η παρουσίαση του στερούνταν από σαφήνεια και ακρίβεια, έτσι ώστε ο συνηθισμένος [μαθηματικός αναγνώστης], ασυνήθιστος σε τέτοια διανοητικά γυμνάσια, δεν θα μπορούσε να καταλάβει τους συλλογισμούς του εύκολα.[48]

Ο Ραμανούτζαν έγραψε αργότερα ένα άρθρο μέσω του οποίου συνέχισε να θέτει προβλήματα στο Περιοδικό.[49] Στις αρχές του 1912, είχε μια προσωρινή εργασία στο γραφείο του Γενικού Λογιστή του Μάντρας, με μισθό 20 ρουπίες το μήνα. Έμεινε εκεί για μερικές μόνο εβδομάδες.[50] Αμέσως μετά την εργασία αυτή αιτήθηκε για μια θέση στο γραφείο του προϊστάμενου του λογιστηρίου του λιμανιού του Μάντρας. Σε ένα γράμμα που χρονολογείται στις 9 Φεβρουαρίου 1912, γράφει:

Κύριε,
Γνωρίζω ότι η θέση του γραμματέα στο γραφείο σας είναι κενή, και αιτούμαι για αυτή. Πέτυχα στις εισαγωγικές εξετάσεις για το Πανεπιστήμιο και μελέτησα για τις F.A. αλλά δεν κατάφερα να ολοκληρώσω τις σπουδές μου εξαιτίας κάποιων δυσμενών συνθηκών. Παρόλα αυτά, αφιερώνω όλο μου τον χρόνο στα Μαθηματικά στα οποία έχω εξελιχθεί αρκετά. Μπορώ να πω ότι είμαι αρκετά ικανός να αντεπεξέλθω στα καθήκοντα της εργασίας, αν μου δωθεί. Προσμένω ότι θα είστε αρκετά καλός έτσι ώστε να με καλέσετε για συνέντευξη.[51]

Μαζί με την αίτηση του υπήρχε μια σύσταση του E. Γ. Μίντλμαστ, του καθηγητή μαθηματικών στο Κολέγιο Πρεζίντενσι, στην οποία αναφερόταν ότι ο Ραμανούτζαν είναι ένας "νέος άνδρας με εξαιρετική ικανότητα στα μαθηματικά".[52] Τρείς εβδομάδες αργότερα, στις 1 Μαρτίου, ο Ραμανούτζαν πληροφορήθηκε ότι προσλήφθηκε σαν γραμματέας τρίτης κλάσης, με μισθό 30 ρουπίες το μήνα.[53] Στο γραφείο του, ο Ραμανούτζαν τελείωνε γρήγορα τα εργασιακά του καθήκοντα, ούτως ώστε να μπορεί να κάνει μαθηματική έρευνα. Το αφεντικό του, Φράνσις Σπρίνγκ, και ο Σ. Ναραγιάνα Άιερ, ένας συνάδελφος του ο οποίος ήταν επίσης ταμίας της Μαθηματικής Εταιρείας της Ινδίας, παρότρυναν τον Ραμανούτζαν να συνεχίσει τις μαθηματικές του αναζητήσεις.

Eπαφή με Άγγλους Μαθηματικούς[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Την άνοιξη του 1913, ο Ναραγιάνα Άιερ, ο Ραμαχάντρα Ράο και ο Ε. Μίντλμαστ προσπάθησαν να παρουσιάσουν τo έργο του Ραμανούτζαν σε Βρετανούς μαθηματικούς. Ένας από αυτούς, ο Μ. Τ. Χιλ από το πανεπιστημιακό Κολέγιο του Λονδίνου, υποστήριξε ότι οι μελέτες του Ραμανούτζαν είχαν κάποια κενά.[54] Είπε ότι ενώ ο Ραμανούτζαν είχε κλίση στα μαθηματικά, του έλλειπε το γνωστικό υπόβαθρο για να γίνει δεκτός από ακαδημαϊκούς μαθηματικούς.[55] Παρόλο το γεγονός ότι ο Χιλ δεν προσέφερε φοιτητική θέση στον Ραμανούτζαν, του έδωσε σημαντικές συμβουλές για το έργο του. Με τη βοήθεια φίλων, ο Ραμανούτζαν έστειλε γράμματα σε επικεφαλής μαθηματικούς του Πανεπιστημίου του Κέιμπριτζ.[56]

Οι δύο πρώτοι καθηγητές, H. Φ. Μπέικερ και E. Γ. Χόμπσον, επέστρεψαν τα γράμματα του Ραμανούτζαν χωρίς κανένα σχόλιο.[57] Στις 16 Ιανουαρίου 1913, ο Ραμανούτζαν έγραψε στον Γ. Χ. Χάρντι. Καθώς προέρχονταν από έναν άγνωστο μαθηματικό, η εννιασέλιδη μελέτη του Ραμανουτζάν φάνταζε "απάτη" στα μάτια του Χάρντι.[58] Ο Χάρντι αναγνώρισε κάποιους από τους τύπους του Ραμανούτζαν, ενώ άλλοι του φαινόντουσαν σχεδόν απίθανοι για να γίνουν πιστευτοί.[59] Ένα από αυτά τα θεωρήματα, το οποίο βρέθηκε στο τέλος της τρίτης σελίδας είναι το εξής (έστω 0 < a < b + 1/2):

\int_0^\infty \cfrac{1+{x}^2/({b+1})^2}{1+{x}^2/({a})^2} \times\cfrac{1+{x}^2/({b+2})^2}{1+{x}^2/({a+1})^2}\times\cdots\;\;dx = \frac{\sqrt \pi}{2} \times\frac{\Gamma(a+\frac{1}{2})\Gamma(b+1)\Gamma(b-a+\frac{1}{2})}{\Gamma(a)\Gamma(b+\frac{1}{2})\Gamma(b-a+1)}.

Ο Χάρντι εντυπωσιάστηκε και από τη μελέτη του Ραμανούτζαν στις άπειρες σειρές:

1 - 5\left(\frac{1}{2}\right)^3 + 9\left(\frac{1\times3}{2\times4}\right)^3 - 13\left(\frac{1\times3\times5}{2\times4\times6}\right)^3 + \cdots = \frac{2}{\pi}
1 + 9\left(\frac{1}{4}\right)^4 + 17\left(\frac{1\times5}{4\times8}\right)^4 + 25\left(\frac{1\times5\times9}{4\times8\times12}\right)^4 + \cdots = \frac{2^\frac{3}{2}}{\pi^\frac{1}{2}\Gamma^2\left(\frac{3}{4}\right)}.

Το πρώτο αποτέλεσμα είχε ήδη διατυπωθεί από τον Μπάιερ. Το δεύτερο ήταν τελείως καινούργιο στον Χάρντι, και προερχόταν από μια ομάδα συναρτήσεων που ονομάζονται υπεργεωμετρικές σειρές , οι οποίες είχαν ερευνηθεί για πρώτη φορά από τον Λεονάρντ 'Οιλερ και τον Καρλ Φρίντριχ Γκάους. Εν συγκρίσει με τη μελέτη του Ραμανούτζαν στα ολοκληρώματα, ο Χάρντι βρήκε τα αποτελέσματα του Ραμανούτζαν πολύ πιο "ενδιαφέροντα".[60] Ο Χάρντι έδωσε τα χειρόγραφα του Ραμανούτζαν στο συνάδελφο του Τ. E. Λίτλγουντ, για να τα μελετήσει. Ο Λίτλγουντ εντυπωσιάστηκε από τη μαθηματική ιδιοφυΐα του Ραμανούτζαν.

Τον Φεβρουάριο του 1913, ο Χάρντι έγραψε ένα γράμμα στον Ραμανούτζαν, στο οποίο εξέφραζε το ενδιαφέρον του για τις μελέτες του. Ο Χάρντι, επίσης, πρόσθεσε ότι "είναι απαραίτητο να δωθούν και κάποιες αποδείξεις στους ισχυρισμούς".[61] Πριν ακόμα να φτάσει το γράμμα του στο Μάντρας, την τρίτη εβδομάδα του Φεβρουαρίου, ο Χάρντι επικοινώνησε με τις Ινδικές Αρχές για να κανονίσει ένα ταξίδι για τον Ραμανούτζαν στο Κέιμπριτζ. Ο γραμματέας της συμβουλευτικής επιτροπής για τους Ινδούς φοιτητές, Άρθουρ Ντέιβις, συνάντησε τον Ραμανούτζαν για να συζητήσουν για το υπερπόντιο ταξίδι του.[62] Όμως, σύμφωνα με την Βραχμανική παιδεία του, ο Ραμανούτζαν αρνήθηκε να φύγει από την πατρίδα του για να πάει σε μια "ξένη χώρα".[63] Εν τω μεταξύ, ο Ραμανούτζαν έστειλε ένα γράμμα με θεωρήματα στον Χάρντι, στο οποίο ανέφερε για τον Χάρντι "Έχω βρει ένα φίλο σε σας, ο οποίος βλέπει με ενδιαφέρον το έργο μου."[64]

Συμπληρωματικά με την οπισθογράφηση του Χάρντι, ένας πρώην λέκτορας μαθηματικών στο Τρίνιτι Κόλετζ, Κέιμπριτζ, Γκίλμπερτ Γουόλκερ, είδε το έργο του Ραμανούτζαν και εξέφρασε τον θαυμασμό του, παροτρύνοντας τον να πάει στο Κέιμπριτζ.[65] Ως αποτέλεσμα της οπισθογράφησης του Γουόλκερ, ο B. Χανουμάνθα Ραο, ένας καθηγητής μαθηματικών σε σχολή μηχανικών, προσκάλεσε τον συνάδελφο του Ραμανούτζαν, Ναραγιάνα Άιερ, σε μια συζήτηση με θέμα "τι μπορούμε να κάνουμε με τον Σ. Ραμανούτζαν".[66] Η απόφαση που πήρανε ήταν να δώσουν μια υποτροφία στον Ραμανούτζαν αξίας 75 ρουπίες το μήνα για δύο χρόνια στο πανεπιστήμιο του Μάντρας.[67] Ενόσω ο Ραμανούτζαν ήταν απασχολημένος ως φοιτητής, συνέχισε να στέλνει τις μελέτες του στο "Περιοδικό της Μαθηματικής Εταιρείας της Ινδίας".

Όμως, ο Χάρντι απογοητεύτηκε από την απόφαση του Ραμανούτζαν να μην ταξιδέψει στην Αγγλία. Για αυτό επιστράτεψε ένα συνάδελφο του, λέκτορα στο Μάντρας, E. Χ. Nεβίλ, να μεταπείσει τον Ραμανούτζαν.[68] Ο Νεβίλ ρώτησε τον Ραμανούτζαν το λόγο για τον οποίο δε θέλει να επισκεφθεί το Κέιμπριτζ. Μέχρι τότε, ο Ραμανούτζαν είχε όμως δεχθεί την πρόταση καθώς η αρχική διστακτική θέση των γονιών του άλλαξε. Ο Ραμανούτζαν τότε έπλευσε για την Αγγλία, αφήνοντας τη γυναίκα του πίσω με τους γονείς του στην Ινδία.

Ζωή στην Αγγλία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο Ραμανουτζάν (στο κέντρο) με άλλους επιστήμονες στο Κολλέγιο Τρίνιτι
Το Whewell's Court, στο Κολλέγιο Τρίνιτυ, Κείμπριτζ

Ο Ραμανούτζαν επιβιβάστηκε στο πλοίο "Νεβάσα" στις 17 Μαρτίου 1914, το οποίο αναχώρησε στις 10 η ώρα το πρωί από το Μάντρας.[69] Έφτασε στο Λονδίνο στις 14 Απριλίου, όπου και τον περίμενε με ένα αμάξι ο Ε. Χ. Νεβίλ. Μετά από τέσσερις ημέρες, ο Νεβίλ τον φιλοξένησε στο σπίτι του στο δρόμο Τσέστερτον στο Κέιμπριτζ. Ο Ραμανούτζαν ξεκίνησε αμέσως να εργάζεται με τους Λίτλγουντ και Χάρντι. Μετά από έξι εβδομάδες, ο Ραμανούτζαν έφυγε από το σπίτι του Νεβίλ και μετακόμισε το Φίουελ Κορτ, με απόσταση μόνο πέντε λεπτών από το δωμάτιο του Χάρντι.[70] Ο Χάρντι και ο Ραμανούτζαν ξεκίνησαν να μελετούν τα τετράδια του Ραμανούτζαν. Ο Χάρντι είχε ήδη παραλάβει 120 θεωρήματα από τον Ραμανούτζαν στα πρώτα δύο γράμματα της αλληλογραφίας τους, αλλά υπήρχαν πολλά περισσότερα πορίσματα και θεωρήματα για να βγουν στο φως μέσα στα τετράδια του Ραμανούτζαν. Ο Χάρντι αναγνώρισε ότι μερικά από αυτά ήταν λάθος, άλλα είχαν ήδη εκφραστεί, ενώ μερικά από αυτά ήταν καινοτομίες.[71] Ο Ραμανούτζαν είχε κερδίσει την εκτίμηση του Χάρντι και του Λίτλγουντ. Ο Λίτλγουντ σχολίασε, "Πιστεύω ότι είναι τουλάχιστον ένας Γιακομπι",[72] καθώς και ο Χάρντι δήλωσε ότι μπορεί να τον συγκρίνει μόνο με τον Όιλερ και τον Γιακομπι."[73]

Ο Ραμανούτζαν πέρασε σχεδόν πέντε χρόνια στο Κέιμπριτζ όπου συνεργαζόταν με τον Χάρντι και τον Λίτλγουντ και εξέδωσε μερικά από τα ευρήματά του. Οι προσωπικότητες του Χάρντι και του Ραμανούτζαν διέφεραν έντονα. Η συνεργασία τους ήταν ένα κράμα διαφορετικής κουλτούρας, απόψεων και τρόπου εργασίας. Ο Χάρντι ήταν άθεος και ένθερμος υποστηρικτής της μαθηματικής απόδειξης και της μαθητικής αυστηρότητας, εν αντιθέσει με τον Ραμανούτζαν, ο οποίος ήταν ένας βαθιά θρησκευόμενος άνδρας και στηριζόταν έντονα στη διαίσθησή του. Την περίοδο στην οποία ο Ραμανούτζαν βρισκόταν στην Αγγλία, ο Χάρντι προσπάθησε σκληρά να του αναπληρώσει μορφωτικά κενά, χωρίς όμως να παρεμποδίσει την έμπνευσή του.

Στον Ραμανούτζαν απονεμήθηκε πτυχίο Θετικών επιστημών (το πτυχίο αυτό αργότερα μετονομάστηκε σε διδακτορικό "phD")τον Μάρτιο του 1916 για την δουλειά του πάνω στους ιδιαίτερα σύνθετους αριθμούς, το πρώτο μέρος της οποίας έχει δημοσιευθεί σαν εργασία στη Μαθηματική Εταιρία του Λονδίνου. Αυτή η εργασία αποτελούταν από 50 σελίδες όπου αποδείκνυε διαφορετικές ιδιότητες αυτών των αριθμών. Ο Χάρντι υποστήριξε ότι η εργασία αυτή ήταν μια από τις πιο ασυνήθιστες για την εποχή όσον αφορά την μαθηματική έρευνα και ότι ο Ραμανούτζαν έδειξε τρομερή οξύνοια συγγράφοντάς την.[εκκρεμεί παραπομπή] Στις 6 Δεκεμβρίου 1917, εκλέχθηκε μέλος της Μαθηματικής Εταιρίας του Λονδίνου. Έγινε μέλος της Βασιλικής Εταιρίας το 1918, όντας ο δεύτερος Ινδός με αυτή την ιδιότητα, μετά τον Ardaseer Cursetjee το 1841, και ήταν ένας από τα νεότερα μέλη της ιστορίας της Βασιλικής Εταιρίας. Εκλέχθηκε για τη συνεισφορά του στις "Ελλειπτικές Συναρτήσεις και για την Θεωρία Αριθμών." Τον Οκτώβριο του 1918, ήταν ο πρώτος Ινδός που εκλέχθηκε στο Tρίνιτι Κόλετζ του Κέιμπριτζ.[74]

Μαθηματική Συνεισφορά[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στα μαθηματικά υπάρχει διαφορά ανάμεσα στην επίγνωση και την κατοχή μιας απόδειξης. Ο Ραμανούτζαν διατύπωσε μια πληθώρα από μαθηματικούς τύπους, οι οποίοι μετέπειτα εξετάστηκαν σε βάθος. Ο Χάρντι, μιλώντας για τις ανακαλύψεις αυτές, τις χαρακτηρίζει ασυνήθιστα πλούσιες καθώς και αναφέρει πως συχνά έχουν βαθύτερο περιεχόμενο από αυτό που φαίνεται με την πρώτη ματιά. Συνέπεια του γεγονότος αυτού, ήταν να ανοίξουν νέοι ερευνητικοί ορίζοντες. Για παράδειγμα κάποιοι από τους ποιο ενδιαφέροντες τύπους είναι οι άπειρες Σειρές για το π:

 \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}.

Το αποτέλεσμα αυτό βασίζεται στην αρνητική Θεμελιώδη διακρίνουσα d = −4×58 = −232 με αριθμό κλάσης h(d) = 2 (προσέχοντας πως 5×7×13×58 = 26390 καθώς ότι 9801=99×99; 396=4×99) και σχετίζεται με το γεγονός ότι

 e^{\pi \sqrt{58}} = 396^4 - 104.000000177\dots.

Συγκρίνοντας με τους αριθμούς Χέγκνερ, οι οποίοι έχουν αριθμό κλάσης 1 και δίνουν παρόμοια αποτελέσματα. Οι σειρές του Ραμανούτζαν για το π συγκλίνουν πάρα πολύ γρήγορα (εκθετικά) και αποτελούν την βάση για μερικούς από τους πιο γρήγορους αλγόριθμους που χρησιμοποιούνται σήμερα για τον υπολογισμό του π. Αποκόπτοντας το άθροισμα στον πρώτο όρο παίρνουμε επίσης την προσέγγιση 9801\sqrt{2}/4412 για το π, που είναι σωστή μέχρι και το έκτο δεκαδικό ψηφίο.

Μια από τις πιο αξιοσημείωτες ικανότητες του Ραμανούτζαν ήταν η ταχύτατη λύση προβλημάτων. Μοιραζόταν ένα δωμάτιο με τον Ινδό στατιστικολόγο Π.Τ. Μαχαλανομπι ο οποίος προσπαθούσε να λύσει το εξής πρόβλημα: «Φανταστείτε πως βρίσκεστε σε έναν δρόμο με σπίτια αριθμημένα από 1 εως ν. Υπάρχει κάποιο σπίτι ανάμεσα (x) τέτοιο ώστε το άθροισμα των σπιτιών αριστερά του, να ισούται με το άθροισμα των σπιτιών δεξιά του. Αν το ν είναι ανάμεσα στο 50 και το 500, ποια είναι τα ν και x;». Αυτό είναι ένα πρόβλημα δύο μεταβλητών με πολλές λύσεις. Ο Ραμανούτζαν το σκέφτηκε και έδωσε μια ανορθόδοξη απάντηση, ένα συνεχές κλάσμα. Το ασυνήθιστο στην απάντηση αυτή είναι το γεγονός ότι ήταν λύση για κάθε αντίστοιχο πρόβλημα. Ο Μαχαλανομπις έμεινε έκπληκτος και τον ρώτησε πως το κατάφερε. Η απάντηση που πήρε από τον Ραμανούτζαν είναι η εξής: «Είναι απλό. Από την στιγμή που άκουσα το πρόβλημα, ήξερα πως η απάντηση είναι ένα συνεχές κλάσμα. Αναρωτήθηκα ποιο συνεχές κλάσμα. Και τότε η απάντηση μου ήρθε στο μυαλό».[75][76]

Η διαίσθηση του, τον οδήγησε να ανακαλύψει μερικές έως τότε άγνωστες ταυτότητες, όπως η :

 \left [ 1+2\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(n\theta)}{\cosh(n\pi)} \right ]^{-2} + \left [1+2\sum_{n=1}^\infty \frac{\cosh(n\theta)}{\cosh(n\pi)} \right ]^{-2} = \frac {2 \Gamma^4 \left ( \frac{3}{4} \right )}{\pi}

Για κάθε \theta, όπου \Gamma(z) είναι η Συνάρτηση γάμμα. Επεκτείνοντας σε σειρές δυνάμεων και εξισώνοντας τους συντελεστές των \theta^0, \theta^4, και \theta^8 παίρνουμε σημαντικές ιδιότητες της Υπερβολικής τέμνουσας (αγγλ. Hyperbolic Secant).

Tα τετράδια του Ραμανούτζαν[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ενώ ακόμη βρισκόταν στο Μάντρας, ο Ραμανούτζαν κατέγραψε τον κύριο όγκο των υπολογισμών του σε τέσσερα τετράδια. Ο μεγαλύτερος αριθμός αυτών των υπολογισμών γράφτηκε χωρίς να έχει κύριες πηγές. Αυτή ήταν, πιθανώς, και η αρχή της εσφαλμένης εκτίμησης ότι ο Ραμανούτζαν δεν ήταν ικανός να αποδείξει τις θεωρίες του και ότι απλά σκεφτόταν το τελικό αποτέλεσμα των υπολογισμών του με ακρίβεια. Ο Μαθηματικός Μπρους Μπέρντ, στην κριτική του για τα τετράδια αυτά και για το γενικότερο έργο του Ραμανούτζαν, αναφέρει ότι κατά πάσα πιθανότητα ήταν ικανός να καταστρώσει τις αποδείξεις των υπολογισμών του, αλλά επέλεξε να μην το κάνει.

Ο τρόπος με τον οποίο εργαζόταν οφείλεται σε πολλούς λόγους. Αρχικά, αφού το χαρτί ήταν πολύ ακριβό, ο Ραμανούτζαν έκανε το κύριο μέρος των υπολογισμών του και πιθανότατα και τις αποδείξεις τους πάνω σε μαυροπίνακα, και στη συνέχεια μετέφερε τα αποτελέσματα τους σε χαρτί. Η χρήση του μαυροπίνακα ήταν αρκετά συνηθισμένη για τους φοιτητές μαθηματικών στην Προεδρία του Μάντρας εκείνη την εποχή. Επιπρόσθετα, είναι πολύ πιθανό να επηρεάστηκε και από τον τρόπο που είναι γραμμένο το βιβλίο του Γ. Σ. Καρ,που μελέτησε όταν ήταν νέος, μέσα στο οποίο υπάρχουν παρατιθέμενα τα αποτελέσματα των υπολογισμών χωρίς να δίνονται αποδείξεις. Τέλος, είναι εξίσου πιθανό το γεγονός ο Ραμανούτζαν να θεωρούσε ότι η δουλειά του ήταν ζήτημα προσωπικού ενδιαφέροντος και έτσι να μην κατέγραφε τις αποδείξεις των υπολογισμών του.[77]

Tο πρώτο τετράδιο έχει 351 σελίδες με 16 οργανωμένα κεφάλαια και κάποιες ατελείς αναφορές. Το δεύτερο τετράδιο έχει 256 σελίδες με 21 οργανωμένα κεφάλαια και 100 επιπρόσθετες σελίδες και το τρίτο περιέχει 33 σελίδες με ανοργάνωτη δομή. Τα αποτελέσματα των μετρήσεών του ενέπνευσαν πολλούς μαθηματικούς, οι οποίοι έκαναν έρευνες προσπαθώντας να αποδείξουν όλα όσα κατέγραψε ο Ραμανούτζαν στα τετράδιά του. Ο Hardy ο ίδιος, δημοσίευσε μελέτες πάνω στα ευρήματα του Ραμανούτζαν, όπως επίσης έκαναν και οι Γ. Ν. Γουάτσον, B. M. Γουίλσον και Μπρους Μπέρντ.αγγλ. Το τέταρτο τετράδιο με 87 σελίδες με ανοργάνωτη δομή, το γνωστό και ως "χαμένο τετράδιο", βρέθηκε το 1976 από τον Γ. Άντριους.[5]

Τα τετράδια 1,2 και 3 εκδόθηκαν σαν μια δίτομη συλλογή το 1957 από το Ινστιτούτο Βασικών Ερευνών Tata (TIFR) , Boμβάη, Iνδία. Η έκδοση αυτή ήταν πιστό αντίγραφο του χειρόγραφου.

Tον Δεκέμβριο του 2011, λόγω του εορτασμού των 125 χρόνων από τη γέννηση του Ραμανούτζαν, η TIFR επανεξέδωσε τα τετράδια σε δίτομη έγχρωμη συλλεκτική έκδοση. Αυτή η έκδοση δημιουργήθηκε από ειδικούς αρχειοφύλακες της Ερευνητικής Βιβλιοθήκης Roja Muthiah , Τσεννάι., οι οποίοι χρησιμοποίησαν σκαναρισμένες και επεξεργασμένες εικόνες των αρχικών χειρόγραφων.

Η εικασία του Ραμανουτζάν[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παρόλο που υπάρχουν πολλές προτάσεις που θα μπορούσαν να ονομαστούν εικασία του Ραμανουτζάν, υπάρχει μια η οποία αποδείχτηκε ιδιαίτερα σημαντική στις μετέπειτα ερεύνες. Πιο συγκεκριμένα, η σύνδεση της εικασίας αυτής με τις εικασίες του Αντρέ Βέιλ για την αλγεβρική γεωμετρία άνοιξε καινούργια ερευνητικά μονοπάτια. Η εικασία του Ραμανουτζάν είναι ένας ισχυρισμός για την διάσταση της συνάρτησης ταυ του Ραμανουτζάν (Ramanujan tau function), που έχει παράγουσα συνάρτηση της μορφής της διακρίνουσας τροπισμού (discriminant modular form) Δ(q), μια τυπική μορφή αιχμηρού σημείου (cusp form). Η εικασία αποδείχτηκε το 1973, ως συνέπεια των αποδείξεων του βέλγου μαθηματικού Πιέρ Ντελαίν για τις εικασίες του Βέιλ. Ο Ντελαίν βραβεύτηκε το 1978 με το Μετάλλιο Φιλντς για τις ανακαλύψεις του αυτές.[78]

Ο Αριθμός Ραμανουτζάν-Χάρντι 1729[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο αριθμός 1729 είναι γνωστός ως ο αριθμός Ραμανουτζάν-Χάρντι λόγω ενός γνωστού ανεκδότου του Βρετανού μαθηματικού Χάρντι που αφορά μια επίσκεψη που έκανε στο νοσοκομείο όπου βρισκόταν ο Ραμανουτζάν. Συγκεκριμένα ο Χάρντι γράφει:[79]

Θυμάμαι μια φορά που πήγαινα να τον επισκεφτώ στο Putney επειδή ήταν άρρωστος. Είχα πάρει ένα ταξί με το νούμερο 1729 και σχολίασα πως ο αριθμός αυτός μου φαινόταν αρκετά βαρετός και πως ήλπιζα αυτό να μην αποτελούσε κάποιον άσχημο οιωνό. "Όχι", μου απάντησε "είναι ένας πολύ ενδιαφέροντας αριθμός, είναι ο μικρότερος αριθμός που μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα δύο κύβων με δύο διαφορετικούς τρόπους."

Οι δύο διαφορετικοί τρόποι είναι

1729 = 13 + 123 = 93 + 103.

Η γενίκευση αυτής της ιδέας οδήγησε στην ιδέα των "Αριθμών των Ταξί", που είναι οι αριθμοί που συμβολίζονται, Ta(n) ή Taxicab(n), και ορίζονται ως εξής: ο μικρότερος αριθμός ο οποίος μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα δύο θετικών αλγεβρικών κύβων, με n διαφορετικούς τρόπους. Συμπτωματικά, το 1729 είναι επίσης ένας αριθμός Καρμαίκλ.

Αναγνώριση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στο Ταμίλ, την επαρχία που γεννήθηκε ο Ραμανουτζάν, η μέρα των γενεθλίων του (22η Δεκεμβρίου) γιορτάζεται ως η «μέρα των τεχνολογιών του διαδικτύου», προς τιμή των επιτευγμάτων του. Το 1962 η κυβέρνηση της Ινδίας εξέδωσε ένα γραμματόσημο με τον Ραμανουτζάν, τιμώντας έτσι την 75η επέτειο από την γέννηση του και την συνεισφορά του στις επιστήμες.[80] και ένα νέο γραμματόσημο με τον Ραμανουτζάν εκδόθηκε τον Δεκέμβριο του 2011, από τα Ινδικά ταχυδρομεία.[81][82] Από την εκατονταετηρίδα από την γέννηση του, κάθε χρόνο στις 22 Δεκεμβρίου, το μαθηματικό τμήμα του πανεπιστήμιου του Kumbakonam, στο οποίο ο Ραμανουτζάν φοίτησε για δύο χρόνια οργανώνει σεμινάρια διάρκειας από μια έως τρεις ημέρες όπου προσκαλούνται επιφανείς καθηγητές και ερευνητές από διάφορα πανεπιστήμια ανά τον κόσμο. Την ίδια μέρα προς τιμή του Ραμανουτζάν διοργανώνεται από το Indian Institute of Technology Madras, το Εθνικό συμπόσιο για τις Μαθηματικές μεθόδους και Εφαρμογές (National Symposium On Mathematical Methods and Applications) που διαρκεί μια ημέρα.

Απόψεις άλλων μαθηματικών για τον Ραμανουτζάν[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο Γκόντφρεϊ Χάρολντ Χάρντι είπε: "Ο Ραμανουτζάν συνδύαζε μία τάση γενίκευσης με τη διαίσθηση της μορφής και την ικανότητα ταχύτατων μετασχηματισμών της εισήγησής του που ήταν πραγματικά εκπληκτική και τον έκανε μοναδικό στο ιδιόμορφο είδος του. Οι δυνατότητες των γνώσεών του ήταν εξίσου εκπληκτικές με την εμβρίθειά του. Ήταν ένας άντρας που μπορούσε να επιλύσει από εξισώσεις κατά μέτρο και θεωρήματα... μέχρι και τις πιο σπάνιες σειρές, του οποίου η δεξιοτεχνία στα συνεχή κλάσματα ήταν.... μεγαλύτερη από κάθε άλλου μαθηματικού στον κόσμο, που είχε ανακαλύψει μόνος του τη συναρτησιακή ανάλυση για τη συνάρτηση ζήτα, καθώς και τους κυρίαρχους όρους πολλών από τα πιο γνωστά προβλήματα στην αναλυτική θεωρία αριθμών... και ωστόσο δεν είχε ακούσει ποτέ για διπλά περιοδικές συναρτήσεις ή για τον ολοκληρωτικό τύπο του Cauchy, ο οποίος είχε μάλιστα από μόνος του την αόριστη ιδέα του τι ήταν μία συνάρτηση στη μιγαδική ανάλυση...".[83] Όταν ο Χάρντι ερωτήθηκε σχετικά με τις μεθόδους που χρησιμοποιούνταν από το Ραμανουτζάν για να φτάσει στις λύσεις, ο Χάρντι είπε ότι "άγονταν από μία διαδικασία ανάμεικτων επιχειρημάτων,διαίσθησης και επαγωγών για τα οποία ήταν εντελώς ανίκανος να δώσει μία λογική εξήγηση".[84] Ακόμη, ισχυρίστηκε ότι δεν είχε γνωρίσει ποτέ ισάξιό του και μπορεί να τον συγκρίνει μόνο με τον Όιλερ και τον Jacobi.[84]

Ο επίσης Ινδός K. Σρινιβάσα Ράο έγραψε το εξής:[85] "Όσον αφορά την θέση του στον κόσμο των μαθηματικών, μπορούμε παραθέσουμε τα γραπτά του Bruce C. Berndt: "'Ο Πολ Έρντος μας μετέφερε τις προσωπικές αξιολογήσεις του Χάρντι σχετικά με μαθηματικούς. Υποθέτωντας ότι αξιολογούμε τους μαθηματικούς με βάση το καθαρό ταλέντο σε μια κλίμακα από το 0 έως το 100, ο Χάρντι βαθμολογούσε τον εαυτό του με 25, τον Λίτλγουντ με 30, τον Ντάβιντ Χίλμπερτ με 80 και τον Ραμανουτζάν με 100.'"

Ο καθηγητής Bruce C. Berndt του πανεπιστημίου του Ιλινόι, κατά τη διάρκεια μίας διάλεξης στο IIT Madras(Ινδικό Ινστιτούτο Τεχνολογίας στο Μάνδρας) το Μάιο του 2011 ισχυρίστηκε ότι τα τελευταία 40 χρόνια, εφόσον σχεδόν όλα τα θεωρήματα του Ραμανουτζάν έχουν αποδειχθεί σωστά, υπάρχει μία μεγαλύτερη εκτίμηση της δουλειάς και της ευφυΐας του. Επιπλέον, δήλωσε ότι το έργο του Ραμανουτζάν εκτείνεται σε πολλούς τομείς των σύγχρονων μαθηματικών και της φυσικής.[86][87]

Στο βιβλίο του Scientific Edge, ο φυσικός Jayant Narlikar μίλησε για τον "Σρινιβάσα Ραμανουτζάν, που ανακαλύφθηκε από τον μαθηματικό του Κέμπριτζ, Γκόντφρεϊ Χάρολντ Χάρντι , του οποίου τα τεράστια μαθηματικά ευρήματα άρχισαν να αναγνωρίζονται από το 1915 εώς το 1919. Τα κατορθώματά του έγιναν πλήρως κατανοητά πολύ αργότερα, αρκετά μετά τον πρόωρο θάνατό του το 1920. Για παράδειγμα, το έργο του επάνω στους εξαιρετικά σύνθετους αριθμούς (αριθμοί που περιέχουν μεγάλο αριθμό παραγόντων) χάραξε μία εντελώς νέα πορεία ερευνών στη θεωρία αυτών των αριθμών."

Κατά τη διάρκεια της εφ΄ όρου ζωής αποστολής του στην εκπαίδευση και τη διάδοση των μαθηματικών μεταξύ των παιδιών στα σχολεία της Ινδίας, της Νιγηρίας και οποιασδήποτε άλλης περιοχής, ο P.K. Srinivasan παρουσίαζε αδιάκοπα τη μαθηματική δουλειά του Ραμανουτζάν.

Ο Ραμανουτζάν στις τέχνες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Ramanujan, Ινδο-Βρετανική σύμπραξη. Η ταινία που αφηγείται τη ζωή της μαθηματικής ιδιοφυΐας με όνομα Srinivasa Ramanujan, από την εταιρία Camphor Cinema.[88]  Αποτελείται από μία αξιέπαινη ομάδα ηθοποιών και προσωπικού, συμπεριλαμβανομένου του σκηνοθέτη Gnana Rajasekaran, του κάμεραμαν Sunny Joseph και του εκδότη B. Lenin.[89][90] Διάσημοι Ινδοί και Άγγλοι καλλιτέχνες όπως οι Abhinay Vaddi, Suhasini ManiratnamBhama, Kevin McGowan και Michael Lieber πρωταγωνιστούν στους βασικούς ρόλους.[91]
  • Μία ταινία, βασισμένη στο βιβλίο "The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius Ramanujan" του Robert Kanigel, έχει δημιουργηθεί από τους Edward Pressman και Matthew Brown με τον R. Madhavan στο ρόλο του Ραμανουτζάν.[92]
  • Ένα θεατρικό έργο, "First Class Man" από την εταιρεία Alter Ego Productions, βασισμένο στο βιβλίο του David Freeman, "First Class Man". Η παράσταση κινείται γύρω από τον Ραμανουτζάν και τη σύνθετη και δυσλειτουργική σχέση του με τον Χάρντι. Στις 16 Οκτωβρίου 2011, είχε ανακοινωθεί ότι ο Roger Spottiswoode, γνωστός για την ταινία με τον γνωστό φανταστικό χαρακτήρα James Bond, "Tomorrow Never Dies",συμμετέχει στην ταινία, με πρωταγωνιστή τον Siddharth. Όπως και το βιβλίο, το θεατρικό έργο ονομάζεται "The First Class Man".[93]
  • Το "A Disappearing Number" είναι μία πρόσφατη θεατρική παραγωγή της Βρετανικής εταιρίας Complicite που εξετάζει τη σχέση μεταξύ του Χάρντι και του Ραμανουτζάν.
  • Το μυθιστόρημα "The Indian Clerk" του David Leavitt" παρουσιάζει μια μυθοπλασία γύρω από τα γεγονότα που ακολούθησαν μετά το γράμμα του Ραμανουτζάν στο Χάρντι.[94][95]
  • Στις 22 Μαρτίου του 1988, στο PBS Series "Nova" προβλήθηκε ένα ντοκιμαντέρ σχετικά με τον Ραμανουτζάν με τίτλο, "The Man Who Loved Numbers" (Season 15, Episode 19).[96]
  • Ο Ραμανουτζάν αναφέρεται επίσης στη μεγάλη επιτυχία του Χόλιγουντ, Ο Ξεχωριστός Γουίλ Χάντινγκ με πρωταγωνιστή τον Ματ Ντέιμον - μία ταινία σχετικά με ένα ιδιοφυές ορφανό παιδί που ζει σε μια κακόφημη συνοικία της Νότιας Βοστώνης.
  • Η διαδικτυακή μηχανή αναζήτησης Google τον τίμησε στα 125α στα γενέθλια αντικαθιστώντας το λογότυπο της αρχικής σελίδας της με ένα σκίτσο.[97]
  • Η τηλεοπτική σειρά Numb3rs έχει τον χαρακτήρα Dr. Amita Ramanujan, έναν καθηγητή των εφαρμοσμένων μαθηματικών. [98]

Πηγές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Σ.Π. Σνόου, από τον πρόλογο στο Η Απολογία ενός Μαθηματικού, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2006
  2. «Ramanujan lost and found: a 1905 letter from The Hindu». Chennai, India. December 25, 2011. http://www.thehindu.com/arts/history-and-culture/ramanujan-lost-and-found-a-1905-letter-from-the-hindu/article2745164.ece. 
  3. http://www.3quarksdaily.com/3quarksdaily/2011/01/the-use-and-misuse-of-srinivasa-ramanujan.html
  4. http://mathsc.tripod.com/ramanujan/sramanujan.htm
  5. 5,0 5,1 Peterson, Doug. «Raiders of the Lost Notebook». UIUC College of Liberal Arts and Sciences. http://www.las.illinois.edu/alumni/magazine/articles/2006/lostnotebook/. Ανακτήθηκε στις 11 Jan 2014. 
  6. Berndt, Bruce C. (2005). Ramanujan's Notebooks Part V. Εκδόσεις SpringerLink. σελ. 4. ISBN 0-387-94941-0. 
  7. «Rediscovering Ramanujan». Περιοδικό Frontline 16 (17): 650. August 1999. http://www.hinduonnet.com/fline/fl1617/16170810.htm. Ανακτήθηκε στις 2007-06-23. 
  8. Ono, Ken; Rankin, Robert A. (June–July 2006). «Honoring a Gift from Kumbakonam» (PDF). Περιοδικό Notices of the American Mathematical Society (Mathematical Association of America) 53 (6): 650. doi:10.2307/2589114. http://www.ams.org/notices/200606/fea-ono.pdf. Ανακτήθηκε στις 2007-06-23. 
  9. C. Jaishankar (27 December 2011). «Ramanujan's birthday will be National Mathematics Day». Chennai, India: Thehindu.com. http://www.thehindu.com/news/cities/chennai/article2750402.ece. Ανακτήθηκε στις 20 November 2012. 
  10. National Mathematical Year 2012, Vigyan Prasar Science Portal, vigyanprasar.gov.in
  11. Kanigel 1991, σελ. 11
  12. Kanigel 1991, σελίδες 17–18
  13. Berndt & Rankin 2001, σελ. 89
  14. Kanigel 1991, σελ. 12
  15. Kanigel 1991, σελ. 13
  16. Kanigel 1991, σελ. 19
  17. 17,0 17,1 Kanigel 1991, σελ. 14
  18. Kanigel 1991, σελ. 20
  19. 19,0 19,1 Kanigel 1991, σελ. 25
  20. 20,0 20,1 20,2 Kanigel 1991, σελ. 27
  21. Kanigel 1991, σελ. 39
  22. Το Α και το Ω των μαθηματικών από Τάκερ Μακελρόι2005 ISBN 0-8160-5338-3 page 221
  23. 23,0 23,1 Collected papers of Srinivasa Ramanujan Srinivasa Ramanujan Aiyangar, Godfrey Harold Hardy, P. Veṅkatesvara Seshu Aiyar 2000 ISBN 0-8218-2076-1 page xii
  24. Kanigel 1991, σελ. 90
  25. Kanigel 1991, σελ. 28
  26. Kanigel 1991, σελ. 45
  27. Kanigel 1991, σελ. 47
  28. «Ramanujan lost and found: a 1905 letter from The Hindu». The Hindu (Chennai, India). 25 December 2011. http://www.thehindu.com/arts/history-and-culture/ramanujan-lost-and-found-a-1905-letter-from-the-hindu/article2745164.ece. 
  29. Kanigel 1991, σελίδες 48–49
  30. Kanigel 1991, σελίδες 55–56
  31. Kanigel 1991, σελ. 71
  32. «Ramanujan’s wife: Janakiammal (Janaki)». Institute of Mathematical Sciences, Chennai. http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/newnow/janaki.pdf. Ανακτήθηκε στις 10 November 2012. 
  33. Kanigel 1991, σελ. 72
  34. Ramanujan, Srinivasa (1968). P. K. Srinivasan. επιμ. Ramanujan Memorial Number: Letters and Reminiscences. Madras: Muthialpet High School. Vol. 1, p100. 
  35. Kanigel 1991, σελ. 73
  36. Kanigel 1991, σελίδες 74–75
  37. Ranganathan, Shiyali Ramamrita (1967). Ramanujan: The Man and the Mathematician. Bombay: Asia Publishing House. http://books.google.com/?id=OuTuAAAAMAAJ. , p. 23.
  38. Srinivasan (1968), Vol. 1, p99.
  39. 39,0 39,1 Kanigel 1991, σελ. 77
  40. Srinivasan (1968), Vol. 1, p129.
  41. Srinivasan (1968), Vol. 1, p86.
  42. Neville, Eric Harold (January 1921). «The Late Srinivasa Ramanujan». Nature 106 (2673): 661–662. doi:10.1038/106661b0. Bibcode1921Natur.106..661N. 
  43. Ranganathan 1967, σελ. 24
  44. 44,0 44,1 Kanigel 1991, σελ. 80
  45. Kanigel 1991, σελ. 86
  46. Kanigel 1991, σελ. 87
  47. Kanigel 1991, σελ. 91
  48. Seshu Iyer, P. V. (June 1920). «The Late Mr. S. Ramanujan, B.A., F.R.S». Journal of the Indian Mathematical Society 12 (3): 83. 
  49. Neville (March 1942), p292.
  50. Srinivasan (1968), p176.
  51. Srinivasan (1968), p31.
  52. Srinivasan (1968), p49.
  53. Kanigel 1991, σελ. 96
  54. Kanigel 1991, σελ. 105
  55. Letter from M. J. M. Hill to a C. L. T. Griffith (a former student who sent the request to Hill on Ramanujan's behalf), 28 November 1912.
  56. Kanigel 1991, σελ. 106
  57. Kanigel 1991, σελίδες 170–171
  58. Snow, C. P. (1966). Variety of Men. New York: Charles Scribner's Sons. σελ. 30–31. 
  59. Hardy, G. H. (June 1920). «Obituary, S. Ramanujan». Nature 105 (7): 494. doi:10.1038/105494a0. Bibcode1920Natur.105..494H. 
  60. Kanigel 1991, σελ. 167
  61. Letter, Hardy to Ramanujan, 8 February 1913.
  62. Letter, Ramanujan to Hardy, 22 January 1914.
  63. Kanigel 1991, σελ. 185
  64. Letter, Ramanujan to Hardy, 27 February 1913, Cambridge University Library.
  65. Kanigel 1991, σελ. 175
  66. Ram, Suresh (1972). Srinivasa Ramanujan. New Delhi: National Book Trust. σελ. 29. 
  67. Ranganathan 1967, σελίδες 30–31
  68. Kanigel 1991, σελ. 184
  69. Kanigel 1991, σελ. 196
  70. Kanigel 1991, σελ. 202
  71. Hardy, G. H. (1940). Ramanujan. Cambridge: Cambridge University Press. σελ. 10. 
  72. Letter, Littlewood to Hardy, early March 1913.
  73. Hardy, G. H. (1979). Collected Papers of G. H. Hardy. Oxford, England: Clarendon Press. Vol. 7, p720. 
  74. Kanigel 1991, σελίδες 299–300
  75. Ranganathan 1967, σελ. 82
  76. Calyampudi Radhakrishna Rao (1997). Statistics and truth: putting chance to work. World Scientific. σελ. 185. ISBN 978-981-02-3111-8. http://books.google.com/?id=jqWd4oe3iwIC&pg=PA185&dq=%22Which+continued+fraction%22. Ανακτήθηκε στις 7 June 2010. 
  77. «Ramanujans Notebooks». http://www.amazon.com/Ramanujans-Notebooks-Part-Bruce-Berndt/dp/0387949410. 
  78. Ono (June–July 2006), p649.
  79. «Quotations by Hardy». Gap.dcs.st-and.ac.uk. http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Quotations/Hardy.html. Ανακτήθηκε στις 20 November 2012. 
  80. «Stamps released in 1962». Indian Postage Stamps. http://www.indianpostagestamps.com/gallery/1962.html. Ανακτήθηκε στις 22 May 2012. 
  81. «Stamps 2011». India Post. http://www.indiapost.gov.in/Stamps2011.aspx. Ανακτήθηκε στις 22 May 2012. 
  82. «India Post Issued a Commemorative Stamp on S Ramanujan». Phila Mirror. 26 December 2011. http://philamirror.info/2011/12/26/india-post-will-issue-a-commemorative-stamp-on-s-ramanujan-today/. Ανακτήθηκε στις 22 May 2012. 
  83. «Ramanujan quote». http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Ramanujan.html. 
  84. 84,0 84,1 «Srinivasa Ramanujan». http://www.usna.edu/Users/math/meh/ramanujan.html. Ανακτήθηκε στις 2 Δεκεμβρίου 2010. 
  85. K Srinivasa Rao. «Srinivasa Ramanujan (22 December 1887 – 26 April 1920)». http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan.html. 
  86. «100-year-old deathbed dreams of mathematician proved true». Fox News. 28 Δεκεμβρίου 2012. http://www.foxnews.com/science/2012/12/28/mathematician-century-old-secrets-unlocked/. 
  87. «Bruce Berndt on "Ramanujan's Lost Notebook", IIT Madras, 24th May 2011». https://www.youtube.com/watch?v=5uCAuwOQoxA&feature=related. 
  88. «'Ramanujan' Makers Shoot in His House». http://www.indiatimes.com/entertainment/regional/ramanujan-makers-shoot-in-his-house-87409.html. Ανακτήθηκε στις 12 Ιουλίου 2013. 
  89. «Camphor Cinema Presents Their First Film Ramanujan». Box Office India. Select publishing company. http://www.boxofficeindia.co.in/camphor-cinema-presents-their-first-film-ramanujan/. Ανακτήθηκε στις 12 Ιουλίου 2013. 
  90. «Makers of 'Ramanujan' shoot in genius' house». Zee Media Corporation Ltd.. http://zeenews.india.com/entertainment/regional/makers-of-ramanujan-shoot-in-genius-house_138461.html. Ανακτήθηκε στις 12 Ιουλίου 2013. 
  91. «Travails of a geniusKrishnamachari,». http://www.thehindu.com/features/friday-review/travails-of-a-genius/article4857108.ece. Ανακτήθηκε στις 12 Ιουλίου 2013. 
  92. «The Holiwood moovies on Ramanujan». 30 Μαρτίου 2006. http://www.sify.com/news/othernews/fullstory.php?id=14173864. Ανακτήθηκε στις 18 Οκτωβρίου 2011. 
  93. «NEWS » NATIONAL:James Bond director to make film on Ramanujan». NEWS » NATIONAL. 16 Οκτωβρίου 2011. http://www.thehindu.com/news/national/article2541084.ece. Ανακτήθηκε στις 18 Οκτωβρίου 2011. 
  94. «Nell Freudenberger (16 September 2007). "Lust for Numbers"». The New York Times. http://www.nytimes.com/2007/09/16/books/review/Freudenberger-t.html?_r=0. Ανακτήθηκε στις 4 Σεπτεμβρίου 2011. 
  95. «Adding up to a life». The Guardian (UK). http://www.theguardian.com/books/2008/jan/26/fiction1. Ανακτήθηκε στις 4 Σεπτεμβρίου 2011. 
  96. «the man who loved numbers». Pbs.org. http://www.pbs.org/wgbh/nova/listseason/15.html. Ανακτήθηκε στις 18 Οκτωβρίού 2011. 
  97. «Google doodles for Ramanujan’s 125th birthday». Times of India. 22 Δεκεμβρίου 2012. http://www.webcitation.org/6D6Qvt0Xe. Ανακτήθηκε στις 22 Δεκεμβρίου 2012. 
  98. «http://www.tv.com/people/navi-rawat/». http://www.tv.com/people/navi-rawat/. 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πρότυπο:Sister project links

Σύνδεσμοι πολυμέσων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Βιογραφικοί Σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Srinivasa Ramanujan της Αγγλικής Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).