Πολυώνυμο Bernstein

Πολυώνυμο Bernstein

Ταξινόμηση
Dewey	518
MSC2010	65Dxx

Στο τομέα της αριθμητικής ανάλυσης των μαθηματικών, ένα πολυώνυμο Μπέρνσταϊν(Bernstein polynomial), που παίρνει το όνομά του από τον Sergei Natanovich Bernstein, είναι ένα πολυώνυμο, το οποίο αποτελεί γραμμικό συνδυασμό των Bernstein πολυωνύμων βάσεων.

Η βασική μέθοδος εκτίμησης των πολυωνύμων μορφής Bernstein είναι ο αλγόριθμος του de Casteljau. Τα πολυώνυμα Bernstein χρησιμοποιήθηκαν αρχικά σε μία κατασκευαστική απόδειξη για το θεώρημα Στόουν–Βάιερστρας (Stone-Weierstrass Theorem). Με την ανάπτυξη του τομέα των γραφικών υπολογιστών(computer graphics) και του computer-aided design, τα πολυώνυμα Bernstein, περιορισμένα στο διάστημα x ∈ [0, 1], αποτέλεσαν τη βάση στο σχηματισμό των καμπυλών Μπεζιέ (Bézier Curves).

Ορισμός

Η n + 1 Bernstein βάση πολυωνύμων βαθμού n ορίζεται ως

$b_{\nu,n}(x) = {n \choose \nu} x^{\nu} \left( 1 - x \right)^{n - \nu}, \quad \nu = 0, \ldots, n.$

όπου ${n \choose \nu}$ είναι διωνυμικός συντελεστής.

Τα βασικά πολυώνυμα Μπέρνσταιν βαθμού n σχηματίζουν μία βάση του διανυσματικού χώρου Π_n των πολυωνύμων βαθμού n.

Ένας γραμμικός συνδυασμός των βασικών πολυωνύμων Bernstein

$B(x) = \sum_{\nu=0}^{n} \beta_{\nu} b_{\nu,n}(x)$

καλείται πολυώνυμο Bernstein ή πολυώνυμο μορφής Bernstein βαθμού n. Οι συντελεστές $\beta_\nu$ ονομάζονται συντελεστές Bernstein ή συντελεστές Μπεζιέ .

• Με έναν άλλο συμβολισμό έχουμε:

Ένα πολυώνυμο Bernstein $P(x)$ βαθμού n δίνεται από τον τύπο:

$P(x) = \sum_{k=0}^n {c_k B^n_k (x)}$

Όπου τα $B^n_k(\cdot)$ είναι στοιχεία της βάσης των πολυωνύμων Bernstein, που ορίζονται από:

$B^n_i (x) = {n \choose i} x^i (1 - x)^{n - i}$ αν $x \in [0,1];$

ή γενικότερα:

$B^n_i (x) = {n \choose i} {(b-x)^{n-i}(x-a)^i \over (b-a)^n}$ αν $x \in [a,b];$

(εδώ ${n \choose i}$ είναι ο διωνυμικός συντελεστής.

Ιδιότητες

Τα βασικά πολυώνυμα Bernstein έχουν τις εξής ιδιότητες:

• $b_{\nu, n}(x) = 0$, αν $\nu < 0$ ή $\nu > n$.
• $b_{\nu, n}(0) = \delta_{\nu, 0}$ και $b_{\nu, n}(1) = \delta_{\nu, n}$ όπου $\delta$ είναι το δέλτα του Kronecker της αντίστοιχης συνάρτησης.
• $b_{\nu, n}(x)$ έχει ρίζα πολλαπλότητας $\nu$ στο σημείο $x = 0$ (προσοχή: αν $\nu = 0$, δεν υπάρχει ρίζα στο 0).
• $b_{\nu, n}(x)$ έχει ρίζα πολλαπλότητας $\left( n - \nu \right)$ στο σημείο $x = 1$ (προσοχή: αν $\nu = n$, δεν υπάρχει ρίζα στο 1).
• $b_{\nu, n}(x) \ge 0$ για $x \in [0,\ 1]$.
• $b_{\nu, n}\left( 1 - x \right) = b_{n - \nu, n}(x)$. Συμμετρία ως προς τα $x$ και $1 - x$.

• Η παράγωγος μπορεί να γραφεί ως συνδυασμός δύο πολυωνύμων μικρότερου βαθμού:

  $b'_{\nu, n}(x) = n \left( b_{\nu - 1, n - 1}(x) - b_{\nu, n - 1}(x) \right).$

• Το ολοκλήρωμα είναι σταθερό για συγκεκριμένο $n$

  $\int_{0}^{1}b_{\nu, n}(x)dx = \frac{1}{n+1} \forall \nu = 0,1 \dots n$

• Αν $n \ne 0$, τότε $b_{\nu, n}(x)$ έχει μοναδικό τοπικό μέγιστο στο διάστημα $[0,\ 1]$ στο $x = \frac{\nu}{n}$. Το μέγιστο αυτό έχει τιμή:

  $\nu^\nu n^{-n} \left( n - \nu \right)^{n - \nu} {n \choose \nu}.$

• Η βάση πολυωνύμων Bernstein βαθμού $n$ σχηματίζουν μία κατάτμηση της μονάδας:

  $\sum_{\nu = 0}^n b_{\nu, n}(x) = \sum_{\nu = 0}^n {n \choose \nu} x^\nu \left( 1 - x \right)^{n - \nu} = \left(x + \left( 1 - x \right) \right)^n = 1.$

• Παίρνοντας την πρώτη παράγωγο της $(x+y)^n$ όπου $y = 1-x$, μπορεί να δειχθεί ότι:

  $\sum_{\nu=0}^{n}\nu b_{\nu, n}(x) = nx$

• Η δεύτερη παράγωγος της $(x+y)^n$ όπου $y = 1-x$ μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δείξει ότι:

  $\sum_{\nu=1}^{n}\nu(\nu-1) b_{\nu, n}(x) = n(n-1)x^2$

• Ένα πολυώνυμο Bernstein μπορεί να γραφεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός πολυωνύμων μεγαλύτερου βαθμού:

  $b_{\nu, n - 1}(x) = \frac{n - \nu}{n} b_{\nu, n}(x) + \frac{\nu + 1}{n} b_{\nu + 1, n}(x).$

Παραδείγματα

Παράδειγμα 1

Τα πρώτα λίγα βασικά πολυώνυμα Bernstein είναι:

$\begin{align} b_{0,0}(x) & = 1, \\ b_{0,1}(x) & = 1 - x, & b_{1,1}(x) & = x \\ b_{0,2}(x) & = (1 - x)^2, & b_{1,2}(x) & = 2x(1 - x), & b_{2,2}(x) & = x^2 \\ b_{0,3}(x) & = (1 - x)^3, & b_{1,3}(x) & = 3x(1 - x)^2, & b_{2,3}(x) & = 3x^2(1 - x), & b_{3,3}(x) & = x^3 \\ b_{0,4}(x) & = (1 - x)^4, & b_{1,4}(x) & = 4x(1 - x)^3, & b_{2,4}(x) & = 6x^2(1 - x)^2, & b_{3,4}(x) & = 4x^3(1 - x), & b_{4,4}(x) & = x^4 \end{align}$

Παράδειγμα 2

Στην περίπτωση ενός πολυωνύμου βαθμού $2$ η βάση στο διάστημα $[0,1]$ συνίσταται από:

• $B^2_0 (x) = {2 \choose 0 } x^0 (1 - x)^{2 - 0} = (1 - x)^2$
• $B^2_1 (x) = {2 \choose 1} x^1 (1 - x)^{2 - 1} = 2 x (1 - x)$
• $B^2_2 (x) = {2 \choose 2} x^2 (1 - x)^{2 - 2} = x^2$

Ένα πολυώνυμο που εκφράζεται με αυτή τη βάση θα πρέπει να ακολουθεί τη μορφή:

$P(x) = c_0 B^2_0(x) + c_1 B^2_1(x) + c_2 B^2_2(x)$

Δείτε επίσης

• Kαμπύλη Bézier
• Καμπύλη B-Spline
• Πολυωνυμική Παρεμβολή
• Πολυώνυμο Newton
• Πολυώνυμο Lagrange

Αναφορές

• Πρότυπο:Mathworld
• Korovkin, P.P. (2001), Bernstein polynomials, Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=B/b015730 
• H. Caglar and A.N. Akansu, "A Generalized Parametric PR-QMF Design Technique Based on Bernstein Polynomial Approximation," IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 41, no. 7, pp. 2314–2321, July 1993.
• Πρότυπο:Planetmath
• From Bézier to Bernstein
• BERNSTEIN POLYNOMIALS by Kenneth I. Joy