Πολυώνυμο Bernstein

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Πολυώνυμο Bernstein
Ταξινόμηση
Dewey 518
MSC2010 65Dxx

Στο τομέα της αριθμητικής ανάλυσης των μαθηματικών, ένα πολυώνυμο Μπέρνσταϊν (Bernstein polynomial), που παίρνει το όνομά του από τον Sergei Natanovich Bernstein, είναι ένα πολυώνυμο, το οποίο αποτελεί γραμμικό συνδυασμό των Bernstein πολυωνύμων βάσεων.

Η βασική μέθοδος εκτίμησης των πολυωνύμων μορφής Bernstein είναι ο αλγόριθμος του de Casteljau. Τα πολυώνυμα Bernstein χρησιμοποιήθηκαν αρχικά σε μία κατασκευαστική απόδειξη για το θεώρημα Στόουν–Βάιερστρας (Stone-Weierstrass Theorem). Με την ανάπτυξη του τομέα των γραφικών υπολογιστών(computer graphics) και του computer-aided design, τα πολυώνυμα Bernstein, περιορισμένα στο διάστημα x ∈ [0, 1], αποτέλεσαν τη βάση στο σχηματισμό των καμπυλών Μπεζιέ (Bézier Curves).

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η n + 1 Bernstein βάση πολυωνύμων βαθμού n ορίζεται ως

b_{\nu,n}(x) = {n \choose \nu} x^{\nu} \left( 1 - x \right)^{n - \nu}, \quad \nu = 0, \ldots, n.

όπου {n \choose \nu} είναι διωνυμικός συντελεστής.

Τα βασικά πολυώνυμα Μπέρνσταιν βαθμού n σχηματίζουν μία βάση του διανυσματικού χώρου Πn των πολυωνύμων βαθμού n.

Ένας γραμμικός συνδυασμός των βασικών πολυωνύμων Bernstein

B(x) = \sum_{\nu=0}^{n} \beta_{\nu} b_{\nu,n}(x)

καλείται πολυώνυμο Bernstein ή πολυώνυμο μορφής Bernstein βαθμού n. Οι συντελεστές \beta_\nu ονομάζονται συντελεστές Bernstein ή συντελεστές Μπεζιέ .

  • Με έναν άλλο συμβολισμό έχουμε:

Ένα πολυώνυμο Bernstein P(x) βαθμού n δίνεται από τον τύπο:

P(x) = \sum_{k=0}^n {c_k B^n_k (x)}

Όπου τα B^n_k(\cdot) είναι στοιχεία της βάσης των πολυωνύμων Bernstein, που ορίζονται από:

B^n_i (x) = {n \choose i} x^i (1 - x)^{n - i} αν  x \in [0,1];

ή γενικότερα:

B^n_i (x) = {n \choose i} {(b-x)^{n-i}(x-a)^i \over (b-a)^n}  αν  x \in [a,b];

(εδώ {n \choose i} είναι ο διωνυμικός συντελεστής.

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τα βασικά πολυώνυμα Bernstein έχουν τις εξής ιδιότητες:

  • b_{\nu, n}(x) = 0, αν \nu < 0 ή \nu > n.
  • b_{\nu, n}(0) = \delta_{\nu, 0} και b_{\nu, n}(1) = \delta_{\nu, n} όπου \delta είναι το δέλτα του Kronecker της αντίστοιχης συνάρτησης.
  • b_{\nu, n}(x) έχει ρίζα πολλαπλότητας \nu στο σημείο x = 0 (προσοχή: αν \nu = 0, δεν υπάρχει ρίζα στο 0).
  • b_{\nu, n}(x) έχει ρίζα πολλαπλότητας \left( n - \nu \right) στο σημείο x = 1 (προσοχή: αν \nu = n, δεν υπάρχει ρίζα στο 1).
  • b_{\nu, n}(x) \ge 0 για x \in [0,\ 1].
  • b_{\nu, n}\left( 1 - x \right) = b_{n - \nu, n}(x). Συμμετρία ως προς τα x και 1 - x .
  • Η παράγωγος μπορεί να γραφεί ως συνδυασμός δύο πολυωνύμων μικρότερου βαθμού:
    b'_{\nu, n}(x) = n \left( b_{\nu - 1, n - 1}(x) - b_{\nu, n - 1}(x) \right).
  • Αν n \ne 0, τότε b_{\nu, n}(x) έχει μοναδικό τοπικό μέγιστο στο διάστημα [0,\ 1] στο x = \frac{\nu}{n}. Το μέγιστο αυτό έχει τιμή:
    \nu^\nu n^{-n} \left( n - \nu \right)^{n - \nu} {n \choose \nu}.
  • Η βάση πολυωνύμων Bernstein βαθμού n σχηματίζουν μία κατάτμηση της μονάδας:
    \sum_{\nu = 0}^n b_{\nu, n}(x) = \sum_{\nu = 0}^n {n \choose \nu} x^\nu \left( 1 - x \right)^{n - \nu} = \left(x + \left( 1 - x \right) \right)^n = 1.
  • Παίρνοντας την πρώτη παράγωγο της (x+y)^n όπου y = 1-x, μπορεί να δειχθεί ότι:
    \sum_{\nu=0}^{n}\nu b_{\nu, n}(x) = nx
  • Η δεύτερη παράγωγος της (x+y)^n όπου y = 1-x μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δείξει ότι:
    \sum_{\nu=1}^{n}\nu(\nu-1) b_{\nu, n}(x) = n(n-1)x^2
  • Ένα πολυώνυμο Bernstein μπορεί να γραφεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός πολυωνύμων μεγαλύτερου βαθμού:
    b_{\nu, n - 1}(x) = \frac{n - \nu}{n} b_{\nu, n}(x) + \frac{\nu + 1}{n} b_{\nu + 1, n}(x).

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παράδειγμα 1[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τα πρώτα λίγα βασικά πολυώνυμα Bernstein είναι:


\begin{align}
b_{0,0}(x) & = 1, \\
b_{0,1}(x) & = 1 - x, & b_{1,1}(x) & = x \\
b_{0,2}(x) & = (1 - x)^2, & b_{1,2}(x) & = 2x(1 - x), & b_{2,2}(x) & = x^2 \\
b_{0,3}(x) & = (1 - x)^3, & b_{1,3}(x) & = 3x(1 - x)^2, & b_{2,3}(x) & = 3x^2(1 - x), & b_{3,3}(x) & = x^3  \\
b_{0,4}(x) & = (1 - x)^4, & b_{1,4}(x) & = 4x(1 - x)^3, & b_{2,4}(x) & = 6x^2(1 - x)^2, & b_{3,4}(x) & = 4x^3(1 - x), & b_{4,4}(x) & = x^4
\end{align}

Παράδειγμα 2[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στην περίπτωση ενός πολυωνύμου βαθμού 2 η βάση στο διάστημα [0,1] συνίσταται από:

  • B^2_0 (x) = {2 \choose 0 } x^0 (1 - x)^{2 - 0} = (1 - x)^2
  • B^2_1 (x) = {2 \choose 1} x^1 (1 - x)^{2 - 1} = 2 x (1 - x)
  • B^2_2 (x) = {2 \choose 2} x^2 (1 - x)^{2 - 2} = x^2

Ένα πολυώνυμο που εκφράζεται με αυτή τη βάση θα πρέπει να ακολουθεί τη μορφή:

P(x) = c_0 B^2_0(x) + c_1 B^2_1(x) + c_2 B^2_2(x)

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αναφορές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]