Παράδοξο των γενεθλίων

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Το παράδοξο των γενεθλίων στη θεωρία πιθανοτήτων αναφέρεται σε ένα πρόβλημα το οποίο κατά την κοινή λογική έχει μια απίθανη απάντηση. Μία από τις μορφές του προβλήματος είναι: Σε μία ομάδα 23 ατόμων τι πιθανότητα υπάρχει δύο από αυτά τα άτομα να έχουν την ίδια ημέρα γενέθλια; Η "πιθανά προφανής" απάντηση είναι 23/365=0,063 δηλαδή έξι τοις εκατό. Η μαθηματική λύση όμως μας δίνει 50%!
Ακόμα πιο εντυπωσιακά το ποσοστό γίνεται 99% με μόνο 57 άτομα ενώ είναι 100% με 367 άτομα, συμπεριλαμβανομένων και αυτών που έχουν γεννηθεί στις 29 Φεβρουαρίου!

Κατανοώντας το πρόβλημα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στο πρόβλημα, για λόγους απλοποίησης, δεν παίρνουμε υπόψη μας τα δίσεκτα έτη ούτε τους δίδυμους ούτε το γεγονός ότι η κατανομή των γενεθλίων στατιστικά δεν είναι ομοιόμορφη.

Το πρόβλημα ασχολείται με την εύρεση της πιθανότητας οποιωνδήποτε δυο ατόμων να έχουν γενέθλια την ίδια ημέρα. Στην ομάδα των 23 ατόμων η σύγκριση του πρώτου ατόμου με οποιοδήποτε από τα άλλα 22 δίνει 22 συνδυασμούς αλλά η σύγκριση οποιουδήποτε με οποιονδήποτε δίνει 253 συνδυασμούς ({23 \choose 2} = \frac{23 \cdot 22}{2} = 253). Τώρα γίνεται πιο κατανοητή η μεγάλη πιθανότητα του 50%.

Υπολογίζοντας την πιθανότητα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Άν η πιθανότητα εύρεσης δύο ατόμων που έχουν την ίδια μέρα γενέθλια σε μια ομάδα 23 ατόμων είναι P(A) είναι πιο εύκολο να υπολογίσουμε την αντίστροφη πιθανότητα P(A') να μην υπάρχουν, δηλαδή, δύο άτομα που να έχουν την ίδια μέρα γενέθλια. Καθώς ειναι αντίστροφες ισχύει P(A') = 1 − P(A).

Όταν δύο γεγονότα είναι ανεξάρτητα το ένα από το άλλο τότε η πιθανότητα να ισχύουν είναι το γινόμενων των διαφορετικών πιθανοτήτων. Επομένως η πιθανότητα P(A') για 23 άτομα είναι P(1) × P(2) × P(3) × ... × P(23).

Για ένα άτομο η πιθανότητα είναι 365/365=1 δηλαδή 100%. Για το δεύτερο άτομο η πιθανότητα να μην έχει ίδια ημέρα γενέθλια με το πρώτο είναι 364/365. Για το τρίτο άτομο είναι 363/365.

Συνεχίζοντας την ανάλυση βρίσκουμε ότι:

P(A') = 365/365 × 364/365 × 363/365 × 362/365 × ... × 343/365

από αυτό συνεπάγεται ότι:

P(A') = 0.49270276

επομένως:

P(A) = 1 − 0.49270276 = 0.507297 (50.7297%)

Γενικά για ν αριθμό ατόμων έχουμε:

ν p(ν)
10 11.7%
20 41.1%
23 50.7%
30 70.6%
50 97.0%
57 99.0%
100 99.99997%
200 99.9999999999999999999999999998%
300 (100 − (6×10−80))%
350 (100 − (3×10−129))%
366 100%

Τα δικά μου γενέθλια[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Συγκρίνοντας την πιθανότητα p(n) = πιθανότητα ύπαρξης ίδιας ημέρας γενεθλίων για οποιαδήποτε δύο από τα άτομα q(n) = πιθανότητα ύπαρξης ίδιας ημέρας γενεθλίων με ένα συγκεκριμένο άτομο

Το γενικό πρόβλημα του παραδόξου αναφέρεται στην ύπαρξη ίδιας ημέρας γενεθλίων για οποιαδήποτε δύο από τα άτομα. Αν όμως ασχοληθούμε με την πιθανότητα ύπαρξης ατόμου που έχει την ίδια ημέρα γενέθλια με κάποιο συγκεκριμένο (ας πούμε με εμένα) τα μεγέθη αλλάζουν. Συγκεκριμένα έχουμε:

 q(n) = 1 - \left( \frac{365-1}{365} \right)^n.

Αντικαθιστώντας το n με το 23 έχουμε 6.1% δηλαδή πιθανότητα περίπου μία στις 16. Για να υπάρξει πιθανότητα περίπου 50% να έχω την ίδια ημέρα γενέθλια με κάποιον άλλο θα πρέπει να βρεθώ σε ομάδα με 253 άτομα! Αυτό είναι αρκετά μεγαλύτερο από το 365/2=182.5 γιατί η πιθανότητα αυτή αναφέρεται σε σχέση με τα δικά μου γενέθλια όμως μπορεί να υπάρχει άλλο ζευγάρι ατόμων που να έχει την ίδια ημέρα γενέθλια.

Κρυπτογραφία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το παράδοξο των γενεθλίων έχει μεγάλη σημασία για την κρυπτογραφία. Στην κρυπτογραφία παίζει μεγάλο ρόλο η αναζήτηση μεθόδων όπου η κρυπτανάλυση να χρειάζεται πολύ μεγάλα μεγέθη για να καταφέρει να "σπάσει" τον κωδικό. Στις κρυπτογραφικές hash συναρτήσεις, για παράδειγμα, η κρυπτανάλυση ασχολείται με την πιθανότητα ύπαρξης δύο ίδιων αποτελεσμάτων (σύγκρουση) όσον αφορά ένα συγκεκριμένο μέγεθος bits. Η κρυπτογραφική αυτή επίθεση ονομάζεται επίθεση των γενεθλίων.