Πίνακας Jacobi

Πίνακας Jacobi

Ταξινόμηση
Dewey	512
MSC2010	15-XX

Στη Διανυσματική Ανάλυση, ο Πίνακας Jacobi είναι ο πίνακας όλων των παραγώγων 1ης τάξης ενός διανύσματος ή μιας βαθμωτής συνάρτησης σε σχέση με ένα άλλο διάνυσμα.

Έστω ότι η F : Rⁿ → R^m είναι μία συνάρτηση από τον ευκλείδιο χώρο n προς τον ευκλείδιο χώρο m. Μια τέτοια συνάρτηση δίνεται από m πραγματικές στοιχεία - συναρτήσεις, y₁(x₁,...,x_n), ..., y_m(x₁,...,x_n). Οι μερικές παράγωγοι όλων αυτών των συναρτήσεων (εάν υπάρχουν) μπορούν να αναπαρασταθούν σε έναν m επί n πίνακα, τον πίνακα Jacobi J της F, ως εξής:

$J=\begin{bmatrix} \dfrac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial y_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}$

Ο πίνακας μπορεί επίσης να δηλωθεί $J_F(x_1,\ldots,x_n)$ και $\frac{\partial(y_1,\ldots,y_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)}$. Αν (x₁,...,x_n) είναι οι κανονικές καρτεσιανές συντεταγμένες, η γραμμή i (i = 1, ..., n) αυτού του πίνακα αντιστοιχεί στην κλίση της i^th συνάρτησης - στοιχείου y_i: $\left(\nabla y_i\right)$. Εδώ θα πρέπει να σημειωθεί ότι ορισμένα βιβλία ορίζουν τον πίνακα Jacobi ως τον ανάστροφο του παραπάνω πίνακα.

Η Ορίζουσα Jacobi (συχνά αναφέρεται εν συντομία ως η Jacobi) είναι η ορίζουσα του πίνακα Jacobi (αν $m=n$).

Αυτές οι έννοιες πήραν το όνομά τους από τον μαθηματικό Carl Gustav Jacob Jacobi.

Πίνακας Jacobi

Ο Jacobi μιας συνάρτησης περιγράφει τον προσανατολισμό μιας εφαπτόμενης επιφάνειας στη συνάρτηση σε ένα δεδομένο σημείο. Με αυτό τον τρόπο ο Jacobi γενικεύει την κλίση μιας βαθμωτής συνάρτησης πολλών μεταβλητών, η οποία γενικεύει την παράγωγο μιας βαθμωτής συνάρτησης μιας μεταβλητής. Παρομοίως, ο Jacobi μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για την περιγραφή του "απλώματος" που επιβάλλει ένας μετασχηματισμός.Για παράδειγμα, αν $(x_2,y_2)=f(x_1,y_1)$ χρησιμοποιείται για να μετασχηματίσει μια εικόνα, ο Jacobi της f, $J(x_1,y_1)$ περιγράφει πόσο απλώθηκε η εικόνα στην γειτονιά της $(x_1,y_1)$ στις κατευθύνσεις x καιy.

Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο, η παράγωγός της δίνεται σε συντεταγμένες από τον Jacobian, αλλά μια συνάρτηση δε χρειάζεται να είναι παραγωγίσιμη για να οριστεί ο Jacobian, καθώς μόνο οι μερικές παράγωγοιπρέπει να υπάρχουν.

Η σημασία του πίνακα Jacobian έγκειται στο γεγονός ότι αναπαριστά την καλύτερη γραμμική προσέγγιση σε μια παραγωγίσιμη συνάρτηση κοντά σε δεδομένο σημείο. Με αυτή την έννοια, ο πίνακας Jacobian είναι η παράγωγος μια πολυμεταβλητούς συνάρτησης.

Αν p είναι σημείο στο Rⁿ και F είναι παραγωγίσιμη στο p, τότε η παράγωγος δίνεται από J_F(p). Σε αυτήν την περίπτωση, ο linear map που αναπαρίσταται από J_F(p) είναι η καλύτερη γραμμική προσέγγιση της F κοντά στο σημείο p, με την έννοια ότι

$F(\mathbf{x}) = F(\mathbf{p}) + J_F(\mathbf{p})(\mathbf{x}-\mathbf{p}) + o(\|\mathbf{x}-\mathbf{p}\|)$

για x κοντά στο p και όπου o είναι ο συμβολισμός (for $x\to p$) και $\|\mathbf{x}-\mathbf{p}\|$ είναι η Ευκλείδια απόσταση μεταξύ x και p.

Κατά μία έννοια και η κλίση και ο Jacobi είναι "πρώτες παράγωγοι" Πρότυπο:Mdash η κλίση η πρώτη παράγωγος μιας βαθμωτής συνάρτησης αρκετών μεταβλητών, ο Jacobi η πρώτη παράγωγος μιας διανυσματικής συνάρτησης αρκετών μεταβλητών. Γενικά, η κλίση μπορεί να θεωρηθεί σαν μια ειδική έκδοση του πίνακα Jacobi: είναι ο Jacobi μιας βαθμωτής συνάρτησης αρκετών μεταβλητών.

Ο Jacobi της κλίσης έχει ένα ειδικό όνομα: Ο Εσσιανός πίνακας, ο οποίος κατά μία έννοια είναι η "δεύτερη παράγωγος" της βαθμωτής συνάρτησης των ζητούμενων μεταβλητών.

Αντίστροφος

Σύμφωνα με το θεώρημα της αντίστροφης συνάρτησης, ο αντίστροφος πίνακας του πίνακα Jacobi μιας αντιστρέψιμης συνάρτησης είναι ο πίνακας Jacobi της αντίστροφης συνάρτησης. Αυτό σημαίνει ότι για μια συνάρτηση F : Rⁿ → Rⁿ και ένα σημείο p στο Rⁿ,

$J(F^{-1}(p)) = [ J(F(p)) ]^{-1}.\$

Εξυπακούεται ότι η (βαθμωτή) αντίστροφη της ορίζουσας Jacobi ενός μετασχηματισμού είναι η ορίζουσα Jacobi του αντίστροφου μετασχηματισμού.

Χρήσεις

Δυναμικά Συστήματα

Έστω ένα δυναμικό σύστημα της μορφής x' = F(x), όπου x' είναι η χρονική παράγωγος του x, και η F : Rⁿ → Rⁿ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη. Αν η F(x₀) = 0, τότε x₀ είναι ένα στάσιμο σημείο (επίσης ονομάζεται σταθερό σημείο). Η συμπεριφορά του συστήματος κοντά στο σταθερό σημείο σχετίζεται με τις ιδιοτιμές του J_F(x₀), ο πίνακας Jacobi της F στο σταθερό σημείο. Συγκεκριμένα, αν οι όλες οι ιδιοτιμές έχουν ένα αρνητικό μέρος, τότε το σύστημα είναι σταθερό στο λειτουργικό σημείο, εάν οποιαδήποτε έχει ένα θετικό πραγματικό μέρος, τότε το σημείο είναι μη σταθερό.

Μέθοδος του Νεύτωνα

Ένα σύστημα μη γραμμικών εξισώσεων μπορεί να λυθεί επαναληπτικά από τη Μέθοδο του Νεύτωνα. Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιεί τον πίνακα Jacobi του συστήματος εξισώσεων.

Παρακάτω είναι ο αναλυτικός κώδικας στο MATLAB (παρόλο που υπάρχει ενσωματωμένη εντολή)

   function s = jacobian(f, x, tol)
   % f is a multivariable function handle, x is a starting point
   if nargin == 2
       tol = 10^(-5);
   end
   while 1
       % if x and f(x) are row vectors, we need transpose operations here
       y = x' - jacob(f, x)\f(x)';             % get the next point
       if norm(f(y))<tol                       % check error tolerate
           s = y';
           return;
       end
       x = y';
   end  

   function j = jacob(f, x)                                % approximately calculate Jacobian matrix
   k = length(x);
   j = zeros(k, k);
   for m = 1: k
       x2 = x;
       x2(m) =x(m)+0.001;
       j(m, :) = 1000*(f(x2)-f(x));        % partial derivatives in m-th row      
   end

Ορίζουσα Jacobi

Αν m = n, τότε η F είναι μια συνάρτηση από το χώρο n στο χώρο n και ο πίνακας Jacobi είναι ένας τετραγωνικός πίνακας. Μπορούμε μετά να σχηματίσουμε την ορίζουσα, γνωστή ως η Ορίζουσα Jacobi. Η ορίζουσα Jacobi ονομάζεται απλά μερικές φορές η "Jacobian."

Η ορίζουσα Jacobi σε ένα δεδομένο σημείο δίνει σημαντικές πληροφορίες σχετικά με τη συμπεριφορά της F κοντά σε εκείνο το σημείο. Για παράδειγμα, η συνεχής παραγωγίσιμη συνάρτηση F είναι αναστρέψιμη κοντά σε ένα σημείο p ∈ Rⁿ , εάν η ορίζουσα Jacobi στο p δεν είναι μηδενική. Αυτό είναι το θεώρημα της αντίστροφης συνάρτησης. Επιπλέον, αν η ορίζουσα στο p' είναι θετική, τότε η F διατηρεί προσανατολισμό κοντά στο p. Εάν είναι αρνητική, η F αντιστρέφει τον προσανατολισμό. Η απόλυτη τιμή της ορίζουσας Jacobi στο p μας δίνει τον παράγοντα με τον οποίο η συνάρτηση F επεκτείνεται ή συρρικνώνεται κοντά στο p. Αυτός είναι ο λόγος που αυτό συμβαίνει στο γενικό κανόνα αντικατάστασης.

Χρήσεις

Η ορίζουσα Jacobi χρησιμοποιείται στην Ολοκλήρωση με αντικατάσταση κατά τον υπολογισμό ενός πολλαπλού ολοκληρώματος μιας συνάρτησης. Η ορίζουσα μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων στο Σημείο Ισορροπίας ή για προσεγγιστικές λύσεις κοντά σε ένα Σημείο Ισορροπίας.

Παραδείγματα

Παράδειγμα 1.

Ο μετασχηματισμός από το σύστημα σφαιρικών συντεταγμένων (r, θ, φ) στο Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (x₁, x₂, x₃) , δίνεται από τη συνάρτηση F : R⁺ × [0,π] × [0,2π) → R³ με συνιστώσες:

$x_1 = r\, \sin\theta\, \cos\phi \,$

$x_2 = r\, \sin\theta\, \sin\phi \,$

$x_3 = r\, \cos\theta. \,$

Ο πίνακας Jacobi για αυτή την αλλαγή συντεταγμένων είναι

$J_F(r,\theta,\phi) =\begin{bmatrix} \dfrac{\partial x_1}{\partial r} & \dfrac{\partial x_1}{\partial \theta} & \dfrac{\partial x_1}{\partial \phi} \\[3pt] \dfrac{\partial x_2}{\partial r} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \theta} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \phi} \\[3pt] \dfrac{\partial x_3}{\partial r} & \dfrac{\partial x_3}{\partial \theta} & \dfrac{\partial x_3}{\partial \phi} \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \sin\theta\, \cos\phi & r\, \cos\theta\, \cos\phi & -r\, \sin\theta\, \sin\phi \\ \sin\theta\, \sin\phi & r\, \cos\theta\, \sin\phi & r\, \sin\theta\, \cos\phi \\ \cos\theta & -r\, \sin\theta & 0 \end{bmatrix}.$

Η ορίζουσα Jacobi είναι r² sin θ. Σαν παράδειγμα επειδή dV = dx₁ dx₂ dx₃ αυτή η ορίζουσα σημαίνει ότι το στοιχείο διαφορικού όγκου dV = r² sin θ dr dθ dϕ. Ωστόσο, αυτή η ορίζουσα διαφέρει ανάλογα με τις συντεταγμένες. Για να αποφύγουμε τη διακύμανση οι νέες συντεταγμένες μπορούν να οριστούν ως $w_{1}=\frac{r^{3}}{3},\ w_{2}=-\cos\theta,\ w_{3}=\phi.\,$ Τώρα η ορίζουσα ισούται με 1 και το στοιχείο όγκου γίνεται $r^{2}dr\ \sin\theta\ d\theta\ d\phi=dw_{1}dw_{2}dw_{3}\,$.

Παράδειγμα 2.

Ο πίνακας Jacobi της συνάρτησης F : R³ → R⁴ με συνιστώσες

$y_1 = x_1 \,$

$y_2 = 5x_3 \,$

$y_3 = 4x_2^2 - 2x_3 \,$

$y_4 = x_3 \sin(x_1) \,$

είναι

$J_F(x_1,x_2,x_3) =\begin{bmatrix} \dfrac{\partial y_1}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_3} \\[3pt] \dfrac{\partial y_2}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_2}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_2}{\partial x_3} \\[3pt] \dfrac{\partial y_3}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_3}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_3}{\partial x_3} \\[3pt] \dfrac{\partial y_4}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_4}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_4}{\partial x_3} \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 8x_2 & -2 \\ x_3\cos(x_1) & 0 & \sin(x_1) \end{bmatrix}.$

Αυτό το παράδειγμα δείχνει ότι ο πίνακας δε χρειάζεται να είναι τετραγωνικός.

Παράδειγμα 3.

$x\,=r\,\cos\,\phi;$

$y\,=r\,\sin\,\phi.$

$J(r,\phi)=\begin{bmatrix} {\partial x\over\partial r} & {\partial x\over \partial\phi} \\ {\partial y\over \partial r} & {\partial y\over \partial\phi} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\partial (r\cos\phi)\over \partial r} & {\partial (r\cos\phi)\over \partial \phi} \\ {\partial(r\sin\phi)\over \partial r} & {\partial (r\sin\phi)\over \partial\phi} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos\phi & -r\sin\phi \\ \sin\phi & r\cos\phi \end{bmatrix}$

Η ορίζουσα Jacobi ισούται με $r$. Αυτό δείχνει πώς ένα ολοκλήρωμα στο Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων μετασχηματίζεται σε ολοκλήρωμα του πολικού συστήματος συντεταγμένων:

$\iint_A dx\, dy= \iint_B r \,dr\, d\phi$.

Παράδειγμα 4.

Η ορίζουσα Jacobi της συνάρτησης F : R³ → R³ με συνιστώσες

$\begin{align} y_1 &= 5x_2 \\ y_2 &= 4x_1^2 - 2 \sin (x_2x_3) \\ y_3 &= x_2 x_3 \end{align}$

είναι

$\begin{vmatrix} 0 & 5 & 0 \\ 8 x_1 & -2 x_3 \cos(x_2 x_3) & -2x_2\cos(x_2 x_3) \\ 0 & x_3 & x_2 \end{vmatrix} = -8 x_1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 0 \\ x_3 & x_2 \end{vmatrix} = -40 x_1 x_2.$

Από το παραπάνω βλέπουμε ότι η F αντιστρέφει τον προσανατολισμό κοντά στα σημεία όπου x₁ και x₂ έχουν το ίδιο προσημο; η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη παντού εκτός από σημεία όπου x₁ = 0 ή x₂ = 0. Διαισθητικά, αν ξεκινήσουμε με ένα μικροσκοπικό αντικείμενο κοντά στο σημείο (1,1,1) και εφαρμόσουμε την F σε αυτό το αντικείμενο, θα πάρουμε ένα σύνολο αντικειμένων με περίπου 40 φορές τον όγκο του αρχικού αντικειμένου.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Mathworld A more technical explanation of Jacobians (αγγλικά)