Νόμος των εμβαδών

Ο νόμος των εμβαδών ή δεύτερος νόμος Κέπλερ είναι νόμος που περιλαμβάνεται στους νόμους του πλανητικού συστήματος και που διατύπωσε ο Γερμανός αστρονόμος Γιοχάνες Κέπλερ (1571-1630) μελετώντας τα δεδομένα των παρατηρήσεων της κίνησης των πλανητών που προηγουμένως είχε συγκεντρώσει ο Δανός αστρονόμος Τύχο Μπράχε (1546-1601).
Ο νόμος αυτός είναι ο δεύτερος από τους τρεις που ανακάλυψε και διατύπωσε ο Κέπλερ και που διέπουν την κίνηση των πλανητών γύρω από τον Ήλιο. Σύμφωνα με τον νόμο αυτόν:

• Η επιβατική ακτίνα Ηλίου - Πλανήτη γράφει ίσα εμβαδά σε ίσους χρόνους ή εμβαδά ανάλογα των χρόνων.

Αυτό συμβαίνει επειδή η επιβατική ακτίνα αφενός δεν έχει σταθερό μήκος, αλλά λαμβάνει τη μικρότερη τιμή στο περιήλιο και την μεγίστη στο αφήλιο και αφετέρου στο ότι η ταχύτητα ενός πλανήτη είναι η μεγαλύτερη όταν ο πλανήτης βρίσκεται στο περιήλιο και η μικρότερη όταν βρίσκεται στο αφήλιο. Έτσι τα μεν γραφόμενα τόξα είναι άνισα μεταξύ τους αλλά τα εμβαδά τους είναι ίσα, ανάλογα των χρόνων που αυτά γράφονται.

Μαθηματική περιγραφή

Από μαθηματικής άποψης, ο δεύτερος νόμος του Κέπλερ είναι κατανοητός στα πλαίσια της κατηγορίας των κεντρικών δυνάμεων. Συγκεκριμένα, η στροφορμή (J) ενός σώματος που κινείται υπό την επίδραση μίας κεντρικής δύναμης είναι πάντοτε σταθερή:

${\frac {d\mathbf {J} }{dt}}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} \times \mathbf {p} )={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {p} +{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\times \mathbf {r} =\mathbf {v} \times (m\mathbf {v} )+\mathbf {F} \times \mathbf {r} =0\ ,$

αφού ο ορισμός μίας κεντρικής δύναμης F είναι ότι το εξωτερικό γινόμενό της με την επιβατική ακτίνα r ισούται με μηδέν (r×F=0).

Από την άλλη, ο ρυθμός με τον οποίο η επιβατική ακτίνα σαρώνει εμβαδόν σε πολικές συντεταγμένες ισούται με:

${\dot {A}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}r^{2}\theta \right)={\frac {J}{2m}}$

όπου η τελεία αναφέρεται σε παραγώγιση ως προς το χρόνο. Η παραπάνω ποσότητα είναι σταθερή, καθώς η στροφορμή σε πολικές συντεταγμένες ισούται με

$\mathbf {J} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =(r\ {\boldsymbol {\hat {r}}})\times (m{\dot {r}}\ {\boldsymbol {\hat {r}}}+mr{\dot {\theta }}\ {\boldsymbol {\hat {\theta }}})=mr^{2}{\dot {\theta }}\ {\boldsymbol {\hat {n}}}\ ,$

όπου ${\boldsymbol {\hat {n}}}$ το μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο της τροχιάς.