Ντεμιυπερκύβος

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Η εναλλαγή του ν-κύβου αποδόδει έναν από τους δύο ν-ντεμικύβους, όπως σε αυτή την 3-διαστάσεων απεικόνιση των δύο τετραέδρων που προκύπτουν ως 3-ντεμικύβοι του 3-κύβου.

Στην γεωμετρία, ο ντεμιυπερκύβος ή ημιυπερκύβος (που ονομάζεται επίσης ν-ντεμικύβος ή ν-ημικύβος, Αγγλικά: demihypercube, n-demicube, n-hemicube, ή half measure polytope) είναι μία τάξη ν-πολυτόπου που κατασκευάστηκε από την εναλλαγή ενός ν-υπερκύβου, συμβολίζεται με ηγν (ενώ η οικογένεια των υπερκύβων, με γν). Οι μισές από τις κορυφές ενός υπερκύβου διαγράφονται και σχηματίζονται έτσι νέες έδρες. Οι 2ν έδρες γίνονται 2ν (ν-1)-ντεμικύβοι, και σχηματίζονται 2ν (ν-1)-συμπλέξεις εδρών στη θέση των διαγεγραμμένων κορυφών.

Όλοι οι υπερκύβοι παίρνουν και το πρόθεμα ντεμί- στο όνομά τους: ντεμί-κύβος, ντεμί-τεσσεράκτιο, κοκ. Ο ντεμικύβος είναι πανομοιότυπος με το κανονικό τετράεδρο, και το ντεμιτεσσεράκτιο είναι πανομοιότυπο με το κανονικό δεκαεξάχωρο. Το ντεμιπεντεράκτιο θεωρείται ημικανονικό διότι έχει μόνον τις έδρες του κανονικές. Οι υπόλοιπες υψηλότερες μορφές δεν έχουν όλες τις έδρες τους κανονικές, αλλά όλες αυτές οι μορφές είναι ενιαία πολύτοπα.

Οι κορυφές και οι ακμές ενός ντεμιυπερκύβου αποτελούν δύο αντίγραφα γραφήματος του κατά το ήμισυ κύβου.

Ανακάλυψη[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο Thorold Gosset περιγράφει το ντεμιπεντεράκτιο στη λίστα δημοσίευσής του το 1900, που αφορούσε το σύνολο των τακτικών και ημικανονικών σχημάτων με ν-διαστάσεις περισότερες από τρεις. Εκεί το ονόμασε ως 5-ic ημικανονικό. Εντάσσεται, επίσης, στην οικογένεια των ημικανονικών k21 πολυτόπων (Semiregular k21 polytope family).

Οι ντεμιυπερκύβοι μπορούν να συμβολιστούν με Schläfli σημειογραφία της μορφής η{4,3,...,3} ως το ήμισυ των κορυφων του {4,3,...,3}. Το σχήμα κορυφών των ντεμιυπερκύβων είναι διορθωμένο με ν-συμπλέξεις.

Κατασκευή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Υλοποιείται από διαγράμματα Coxeter-Dynkin τριών κατασκευαστικών μορφών:

  1. CDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.png...CDel node h.png (Ως ενναλακτικό ορθότοπο) sr{2n-1}
  2. CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.png (Ως ενναλακτικός υπερκύβος) h{4,3n-1}
  3. CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.png. (Ως ντεμιυπερκύβος) {31,n-3,1}

Ο H.S.M. Coxeter επισημαίνει επίσης τα τρίτα διακλαδούμενα διαγράμματα ως 1k1 να αντιπροσωπεύουν τα μήκη των 3 ​​κλάδων και να οδηγούνται από τον κλάδο δακτυλίου.

Ένας ν-ντεμικύβος, όταν το ν είναι μεγαλύτερο του 2, έχει ν × (ν-1) / 2 ακμές να συναντώνται σε κάθε κορυφή του. Τα παρακάτω διαγράμματα δείχνουν λιγότερες ακμές σε κάθε κορυφή λόγω της επικάλυψης των ακμών στην προβολή της συμμετρίας.

n  1k1  Πέτρι
πολύγωνο
Schläfli Coxeter-Dynkin
A1n οικογένεια
BCn οικογένεια
Dn οικογένεια
Στοιχεία Έδρες:
Ντεμιυπερκύβοι &
Συμπλέξεις
Σχήμα κορυφών
Κορυφές Ακμές      Επιφάνειες Κελιά 4-επιφ. 5-επιφ. 6-επιφ. 7-επιφ. 8-επιφ. 9-επιφ.
2 1-1,1 ντεμιτετράγωνο
(δυγώνιο)
Complete graph K2.svg
sr{21}
h{4}
{31,-1,1}
CDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.png
CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 2c.pngCDel node.png
2 2                  
2 ακμές
--
3 101 ντεμικύβος
(τετράεδρο)
3-demicube.svg3-demicube t0 B3.svg
sr{22}
h{4,3}
{31,0,1}
CDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.png
CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.png
4 6 4               6 διγώνια
4 τρίγωνα
Τρίγωνο
(Διορθωμένο τρίγωνο)
4 111 ντεμιτεσσεράκτιο
(δεκαεξάχωρο)
4-demicube t0 D4.svg4-demicube t0 B4.svg
sr{23}
h{4,3,3}
{31,1,1}
CDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.png
CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
8 24 32 16             8 ντεμικύβοι
(τετράεδρα)
8 τετράεδρα
Οκτάεδρο
(Διορθωμένο τετράεδρο)
5 121 ντεμιπεντεράκτιο
5-demicube t0 D5.svg5-demicube t0 B5.svg
sr{24}
h{4,33}{31,2,1}
CDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.png
CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
16 80 160 120 26           10 δεκαεξάχωρα
16 πεντάχωρα
Διορθωμένο πεντάχωρο
6 131 ντεμιεξεράκτιο
6-demicube t0 D6.svg6-demicube t0 B6.svg
sr{25}
h{4,34}{31,3,1}
CDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.png
CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
32 240 640 640 252 44         12 ντεμιπεντεράκτια
32 5-σύμπλεξη
Διορθωμένο εξάτερο
7 141 ντεμιεπτεράκτιο
7-demicube t0 D7.svg7-demicube t0 B7.svg
sr{26}
h{4,35}{31,4,1}
CDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.png
CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
64 672 2240 2800 1624 532 78       14 ντεμιεξεράκτια
64 6-σύμπλεξη
Διορθωμένη 6-σύμπλεξη
8 151 ντεμιοκτεράτκιο
8-demicube t0 D8.svg8-demicube t0 B8.svg
sr{27}
h{4,36}{31,5,1}
CDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.png
CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
128 1792 7168 10752 8288 4032 1136 144     16 ντεμιεπτεράκτια
128 7-σύμπλεξη
Διορθωμένη 7-σύμπλεξη
9 161 ντεμιεννεράκτιο
9-demicube t0 D9.svg9-demicube t0 B9.svg
sr{28}
h{4,37}{31,6,1}
CDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.png
CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
256 4608 21504 37632 36288 23520 9888 2448 274   18 ντεμιοκτεράτκια
256 8-σύμπλεξη
Διορθωμένη 8-σύμπλεξη
10 171 ντεμιδεκεράκτιο
10-demicube.svg10-demicube graph.png
sr{29}
h{4,38}{31,7,1}
CDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.png
CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
512 11520 61440 122880 142464 115584 64800 24000 5300 532 20 ντεμιεννεράκτια
512 9-σύμπλεξη
Διορθωμένη 9-σύμπλεξη
...
n 1n-3,1 n-ντεμικύβος sr{2n-1}
h{4,3n-2}
{31,n-3,1}
CDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.pngCDel 2c.pngCDel node h.png...CDel node h.png
CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png...CDel 3.pngCDel node.png
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png...CDel 3.pngCDel node.png
2n-1   n (n-1)-ντεμικύβοι
2n (n-1)-σύμπλεξη
Διορθωμένη (n-1)-σύμπλεξη

Σε γενικές γραμμές, τα στοιχεία ενός ντεμικύβου μπορούν να προσδιοριστούν από τον αρχικό ν-κύβο: με Cn,m = mth-επιφάνεια συνυπολογίζοντας ότι n-κύβος = 2n-m × n! / ( m! × (n-m)! )

  • Κορυφές: Dn,0 = 1/2 × Cn,0 = 2n-1 (Παραμένουν οι μισές από τις κορυφές του n-κύβου)
  • Ακμές: Dn,1 = Cn,2 = 1/2 n(n-1) 2n-2 (Όλες οι αρχικές ακμές χάνονται, κάθε τετράγωνη έδρα δημιουργεί μια νέα ακμή)
  • Επιφάνειες: Dn,2 = 4 × Cn,3 = n(n-1)(n-2) 2n-3 (Όλες οι αρχικές επιφάνειες χάνονται, ο κάθε κύβος δημιουργεί 4 νέες τριγωνικές επιφάνειες)
  • Κελιά: Dn,3 = Cn,3 + 2n-4 Cn,4 (Τα τετράεδρα από τα αρχικά κελιά καθώς και νέα)
  • Υπερκελιά: Dn,4 = Cn,4 + 2n-5 Cn,5 (Τα 16-κελιά και τα 5-κελιά κατ' ακολουθίαν)
  • ...
  • [Για m=3...n-1]: Dn,m = Cn,m + 2n-1-m Cn,m+1 (Οι m-ντεμικύβοι και οι m-συμπλέξεις κατ' ακολουθίαν)
  • ...
  • Έδρες: Dn,n-1 = n + 2n (Οι (n-1)-ντεμικύβοι και οι (n-1)-συμπλέξεις κατ' ακολουθίαν)

Ομάδα συμμετρίας[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η ομάδα συμμετρίας του ντεμιυπερκύβου είναι η ομάδα Coxeter D_n, [3n-3,1,1] έχει τάξη 2^{n-1}n!, και είναι ένας δείκτης 2 υποομάδας της ομάδας υπεροκτάεδρων (η οποία είναι η ομάδα Coxeter BC_n [4,3n-1]).

Ορθοτοπικές κατασκευές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ρομβικό δισφηνοειδές μέσα από ένα κυβοειδές

Κατασκευές όπως τα εναλλασσόμενα ορθότοπα έχουν την ίδια τοπολογία, αλλά μπορούν να επεκταθούν με διαφορετικά μήκη σε ν-άξονες συμμετρίας.

Το ρομβικό δισφηνοειδές είναι το τρισδιάστατο παράδειγμα ενός εναλλασσόμενου κυβοειδούς. Έχει τρία σύνολα από μήκη ακμών, και οι επιφάνειές του είναι σκαληνά τρίγωνα.

Περαιτέρω ανάγνωση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Thorold Gosset (1900), On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions, Messenger of Mathematics, Macmillan.
  • John Horton Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass (2008), The Symmetries of Things(Chapter 26. p. 409: Hemicubes: 1n1), ISBN 978-1-56881-220-5.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]