Μαθηματική αναγωγή

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Η μαθηματική αναγωγή ονομάζεται η μετατροπή μιας έκφρασης σε ταυτόσιμη αλλά απλούστερη μορφή. Χρησιμοποιείται σε όλους σχεδόν τους κλάδους των μαθηματικών. Στα κλάσματα, (μαθηματική) αναγωγή ονομάζεται και «απλοποίηση» και ονομάζεται η επανεγγραφή των όρων του κλάσματος με απλούστερους όρους. Στα ριζικά (μαθηματική) αναγωγή ονομάζεται η επανεγγραφή του περιεχομένου των ριζικών με απλούστερο τρόπο.

Στη Γραμμική Άλγεβρα η (μαθηματική) αναγωγή εφαρμόζει κανόνες για να μετατρέψει την εξίσωση, το σύστημα εξισώσεων ή τους πίνακες (μήτρες) σε ισοδύναμη αλλά απλούστερη μορφή.

Τέλος η (μαθηματική) αναγωγή αναφέρεται και στην τεχνική της ολοκλήρωσης κατά μέλη για τη διευκόλυνση του υπολογισμού τους με την επανεγγραφή τους ως έκφρασης που περιέχει απλούστερα (στον υπολογισμό) ολοκληρώματα.

Στατική Αναγωγή ή Αναγωγή Guyan[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στη δυναμική ανάλυση. η «στατική αναγωγή» ή «αναγωγή Guyan» αναφέρεται στη (μαθηματική) αναγωγή των βαθμών ελευθερίας. Η στατική αναγωγή μπορεί επίσης να εφαρμοστεί για την απλοποίηση ενός προβλήματος γραμμικής άλγεβρας. Π.χ. έστω το ακόλουθο σύστημα γραμμικών εξισώσεων:


\mathrm{
\alpha_{11}x_1+\alpha_{12}x_2=\beta_1}

\mathrm{
\alpha_{21}x_1+\alpha_{22}x_2=\beta_2}

  • όπου α,β οι γνωστοί και Χ οι άγνωστοι όροι, που τοποθετούνται σε πίνακες.

Η παραπάνω μορφή γράφεται ισοδύναμα και σε μορφή εξίσωσης πινάκων:


\mathrm{
\begin{bmatrix}
\alpha_{11} & \alpha_{12} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\beta_1 \\
\beta_2
\end{bmatrix}}

Αν τώρα β2=0 και χρειαζόμαστε μόνο τον όρο x1, η εξίσωση των πινάκων μπορεί να αναχθεί στην ακόλουθη εξίσωση:


\mathrm{
\alpha_{11 \alpha \nu.} x_1 = \beta_1}

Η αναγωγή στον όρο α11αν. φαίνεται πώς γίνεται αν ξαναγράψουμε το αρχικό σύστημα εξισώσεων στην ακόλουθη μορφή, εφαρμόζοντας την προϋπόθεση β2=0:


\mathrm{
\alpha_{11}x_1+\alpha_{12}x_2=\beta_1\;}

\mathrm{
\alpha_{21}x_1+\alpha_{22}x_2=0\;}

Είναι φανερό τώρα ότι για τη δεύτερη (2η) εξίσωση ισχύει:

\mathrm{\alpha_{21}x_1+\alpha_{22}x_2=0 \Leftrightarrow \alpha_{21}x_1 = -\alpha_{22}x_2 \Leftrightarrow  x_2 = -\frac{\alpha_{21}}{\alpha_{22}}x_1
}

Αντικαθιστώντας τώρα το x2 στην πρώτη εξίσωση, αυτή γίνεαι:


\mathrm{
\alpha_{11}x_1-\alpha_{12}\frac{\alpha_{21}}{\alpha_{22}}x_1 =\beta_1 \Leftrightarrow \begin{pmatrix} \alpha_{11} -\alpha_{12}\frac{\alpha_{21}}{\alpha_{22}} \end{pmatrix} x_1 =\beta_1 
}

Τέλος θέτοντας 
\mathrm{
\alpha_{11 \alpha \nu.} = \alpha_{11} -\alpha_{12}\frac{\alpha_{21}}{\alpha_{22}}
} διαμορφώθηκε η «αναγμένη» εξίσωση:


\mathrm{
\alpha_{11 \alpha \nu.} x_1 = \beta_1}

  • Παρόμοια αναγωγή μπορεί να γίνει και αν κάποιο από τα αij είναι 0, ενώ φυσικά μπορεί ομοίως να αναχθεί το α21 αν β1=0.
Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Reduction (mathematics) της Αγγλικής Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).