Μέτρο Λεμπέγκ

Το μέτρο Λεμπέγκ είναι ένα μέτρο του χώρου $\mathbb{R}^d$ που γενικεύει την έννοια του μήκους, του εμβαδού και του όγκου. Διαισθητικά, ο όγκος ενός αντικειμένου είναι ανεξάρτητος της θέσεως του στον χώρο. Αποδεικνύεται ότι ένα σ-περατό μέτρο ορισμένο στα σύνολα Μπορέλ, με αυτή την ιδιότητα, είναι μη-αρνητικό πολλαπλάσιο του μέτρου Λεμπέγκ περιορισμένου στα σύνολα Μπορέλ.

Ορισμός

Για κάθε σύνολο $A\subset \mathbb{R}$, έστω $V_A$ το σύνολο των ακολουθιών διαστημάτων ${(a_n, b_n)}$ των οποίων η ένωση καλύπτει το $A$. Το εξωτερικό μέτρο Λεμπέγκ ορίζει τιμή στο Α ως το infimum των αθροισμάτων μηκών των διαστημάτων του $V_A$. Το μέτρο Λεμπέγκ είναι ο περιορισμός του εξωτερικού μέτρου Λεμπέγκ στα Λεμπέγκ μετρήσιμα σύνολα. Παρόμοια ορίζεται στον χώρο $\mathbb{R}^d$.

Ιδιότητες

Κάθε σύνολο Μπορέλ είναι Λεμπέγκ μετρήσιμο. Το μέτρο Λεμπέγκ είναι το μοναδικό μέτρο που αντιστοιχεί σε κάθε διάστημα το μήκος του.