Μάικλ Φράνσις Ατίγια

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Πρότυπο:Infobox scientist Ο Σερ Μάικλ Φράνσις Ατίγια, OM, FRS, FRSE, FAA (γεννημένος στις 22 Απριλίου 1929) είναι ένας βρετανός μαθηματικός που ειδικεύεται στη γεωμετρία.

Ο Atiyah μεγάλωσε στο Σουδάν και στην Αίγυπτο και πέρασε το μεγαλύτερο μέρος της ακαδημαϊκής ζωής του στο Ηνωμένο Βασίλειο στην Οξφόρδη και στο Καίμπριτζ, και στις Ηνωμένες Πολιτείες στο Institute for Advanced Study. Ήταν Πρόεδρος της Royal Society (1990-1995), επικεφαλής του κολλεγίου Trinity College, του Καίμπριτζ (1990-1997), καγκελάριος του πανεπιστημίου Λέιτσεστερ (1995-2005), και πρόεδρος της Royal Society του Εδιμβούργου (2005-2008). Από το 1997, είναι τιμητικός καθηγητής στο πανεπιστήμιο του Εδιμβούργου.


Μαθηματικοί συνεργάτες του Atiyah ήταν ο Raoul Bott, ο Friedrich Hirzebruch και η Isadore Singer, και οι σπουδαστές του ήταν ο Graeme Segal, ο Nigel Hitchin και ο Simon Donaldson. Μαζί με τον Hirzebruch, έθεσε τα θεμέλια για την τοπολογική Κ-θεωρία, ένα σημαντικό εργαλείο στην αλγεβρική τοπολογία η οποία περιγράφει τρόπους στους οποίους τα διαστήματα μπορούν να περιστραφούν. Το πιό γνωστό αποτέλεσμά του, το θεώρημα δεικτών Atiyah–Singer, αποδείχθηκε με τη Singer το 1963 και χρησιμοποιείται ευρέως στον υπολογισμό του αριθμού ανεξάρτητων λύσεων στις διαφορικές εξισώσεις. Μερικά στοιχεία από την πιό πρόσφατη εργασία του εμπνεύστηκαν από τη θεωρητική φυσική, instantons ιδίως και monopoles, τα οποία είναι υπεύθυνες για μερικές λεπτές διορθώσεις στην κβαντική θεωρία τομέων. Απονεμήθηκε το μετάλλιο τομέων το 1966, το μετάλλιο Copley το 1988, και το βραβείο του Abel το 2004.

Βιογραφία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Great Court του Trinity College, Cambridge, όπου ο Atiyah ήταν μαθητής και αργότερα Master

,

ο Atiyah γεννήθηκε στο Hampstead,του Λονδίνου, από τον ελληνα ορθόδοξο λιβανέζο ακαδημαϊκό Edward Atiyah και την Scot Jean Atiyah (née Levens). Ο Patrick Atiyah και ο Joe είναι οι αδελφοι του και έχει και μια αδελφή,τη Selma. πήγε στο δημοτικό σχολείο στο Diocesan στο Χαρτούμ, Σουδάν (1934-1941) και Γυμνάσιο στο κολλέγιο Victoria College στο Κάιρο και την Αλεξάνδρεια (1941-1945) το σχολείο παρακολουθήθηκε επίσης από την ευρωπαϊκή αριστοκρατία που μετατοπίστηκε από το δεύτερο παγκόσμιο πόλεμο και μερικούς μελλοντικούς ηγέτες των αραβικών εθνών. Επέστρεψε στο σχολείο μέσης εκπαίδευσης της Αγγλίας και του Μάντσεστερ για τις μελέτες HSC το (1945-1947) και έκανε την εθνική υπηρεσία του με τους βασιλικούς ηλεκτρικούς και μηχανικούς μηχανικούς (1947-1949). Οι προπτυχιακές και οι μεταπτυχιακές μελέτες του πραγματοποιήθηκαν στο Trinity College, του Καίμπριτζ (1949-1955). Ήταν διδακτορικός σπουδαστής του William V. Δ. Hodge και απονεμήθηκε διδακτορία το 1955 για μια διατριβή μερικές εφαρμογές τοπολογικών μεθόδων στην Αλγεβρική Γεωμετρία.

The Institute for Advanced Study στο Princeton, όπου ο Atiyah ήταν καθηγητής από το 1969 έως το 1972

Atiyah παντρεύτηκε τη Lily Brown στις 30 Ιουλίου 1955, με την οποία έχει τρεις γιους. Πέρασε το ακαδημαϊκό έτος 1955-1956 στο ίδρυμα για την προηγμένη μελέτη, Princeton, κατόπιν επέστρεψε στο Πανεπιστήμιο του Κέιμπριτζ, όπου ήταν επισκέπτης ερευνητής και βοηθητικός ομιλητής (1957-1958), έπειτα πανεπιστημιακός ομιλητής και διδακτικός συνεργάτης στο κολλέγιο Pembroke (1958-1961). Το 1961, κινήθηκε προς το πανεπιστήμιο της Οξφόρδης, όπου ήταν αναγνώστης και καθηγητικός συνεργάτης στο κολλέγιο του ST Catherine (1961-1963). Έγινε Savilian καθηγητής της γεωμετρίας και καθηγητικός συνεργάτης του New College, της Οξφόρδης, από το 1963 ως το 1969. Έλαβε έπειτα μια τρίχρονη θέση καθηγητού στο ίδρυμα για την προηγμένη μελέτη στο Princeton και μετά επέστρεψε στην Οξφόρδη ως Royal Society ερευνητικός καθηγητής κοινωνίας και καθηγητικός συνεργάτης του κολλεγίου του ST Catherine. Ήταν Πρόεδρος της μαθηματικής κοινωνίας του Λονδίνου από το 1974 ως το 1976.

Άρχισα με την αλλαγή του τοπικού νομίσματος σε ξένο νόμισμα παντού οπου ταξίδευα ως παιδί και κατέληξα να βγάζω χρήματα. Τότε ήταν που ο πατέρας μου συνειδητοποίησε ότι θα γινόμουν μαθηματικός κάποια ημέρα.

Ο Atiyah είναι ενεργός ακόμα στη διεθνή σκηνή, ως Πρόεδρος των διασκέψεων Pugwash σχετικά με την επιστήμη και τα παγκόσμια θέματα από το 1997 ως το 2002. Συνέβαλε επίσης στην ίδρυση της επιτροπής InterAcademy στα διεθνή ζητήματα, της ένωσης των ευρωπαϊκών ακαδημιών (ALLEA), και της ευρωπαϊκής μαθηματικής κοινωνίας (EMS).


Στο Ηνωμένο Βασίλειο, συμμετείχε στη δημιουργία του Isaac Newton Institute για μαθηματικές επιστήμες στο Καίμπριτζ και ήταν ο πρώτος διευθυντής του (1990-1996). Ήταν Πρόεδρος της Royal Society (1990-1995), επικεφαλής του κολλεγίου Trinity College, του Καίμπριτζ (1990-1997), καγκελάριος του πανεπιστημίου Λέιτσεστερ (1995-2005), και πρόεδρος της Royal Society του Εδιμβούργου (2005-2008). Από το 1997, είναι τιμητικός καθηγητής στο πανεπιστήμιο του Εδιμβούργου.

Ο Atiyah είναι διακεκριμένος υποστηρικτής και μέλος της βρετανικής ένωσης ανθρωπιστών


Συνεργασίες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

The Mathematical Institute στηνOxford, όπου ο Atiyah επιθεωρούσε πολλούς από τους μαθητές του.

Ο Atiyah έχει συνεργαστεί με πολλούς άλλους μαθηματικούς. Τρεις κύριες συνεργασίες του ήταν με το Raoul Bott στο θεώρημα σταθερών σημείων atiyah-Bott και πολλά άλλα θέματα, με Isadore Μ. Singer στο θεώρημα δεικτών atiyah-Singer , και με το Friedrich Hirzebruch στην τοπολογική Κ-θεωρία, [13] όλους τους οποίους συνάντησε στο ινστιτούτο Advanced Study στο Princeton το 1955. Οι άλλοι συνεργάτες του ήταν J. Frank Adams (αμετάβλητο πρόβλημα Hopf), Jürgen Berndt (προβολικά πλάνα), Ρότζερ Bielawski (πρόβλημα Berry–Robbins), Howard Donnelly (λ-λειτουργίες), Βλαντιμίρ Γ. Drinfeld (instantons), Johan Λ. Dupont (ιδιομορφίες των διανυσματικών τομέων), Lars Gårding (υπερβολικές διαφορικές εξισώσεις), Nigel J. Hitchin (monopoles), William V. Δ. Hodge (ολοκληρώματα του δεύτερου είδους), Michael Hopkins (Κ-θεωρία), Lisa Jeffrey (τοπολογικό Lagrangians), John Δ. S. Τζόουνς (θεωρία yang-Mills), Juan Maldacena (Μ-θεωρία), Yuri Ι. Manin (instantons), Nick S. Manton (Skyrmions), Vijay Κ. Patodi (φασματική ασυμμετρία), Α. Ν. Pressley (convexity), Elmer Rees (διανυσματικές δέσμες), Wilfried Schmid (ιδιαίτερες αντιπροσωπευτικές σειρές), Graeme Segal (equivariant Κ-θεωρία), Αλέξανδρος Shapiro (άλγεβρες του Clifford), Λ. Smith (homotopy ομάδες σφαιρών), Paul Sutcliffe (πολύεδρα), Δαβίδ O. Tall (δαχτυλίδια λάμδα), John Α. Todd (πολλαπλές Stiefel), Cumrun Vafa (μ-θεωρία), Richard S. Ward (instantons) και Edward Witten (μ-θεωρία, τοπολογικές κβαντικές θεωρίες τομέων)

Η μετέπειτα έρευνά του για τις θεωρίες τομέων μετρητών, συγκεκριμένα η θεωρία yang-mills, υποκίνησε σημαντικές αλληλεπιδράσεις μεταξύ της γεωμετρίας και της φυσικής, κυρίως στην εργασία του Edward Witten.

Εάν επιτίθεστε σε ένα μαθηματικό πρόβλημα άμεσα, πολύ συχνά έρχεστε σε ένα αδιέξοδο, και ότι κάνετε δεν φαίνεται να λειτουργει και θέλατε, εάν μπορούσατε, να κοιτάξετε αδιάκριτα γύρω από τη γωνία και να δείτε μια εύκολη λύση. Δεν υπάρχει κάποιος άλλος εκτός από σας, επειδή μπορεί συνήθως να κοιτάξει αδιάκριτα γύρω από τη γωνία.

Του Atiyah πολύ μαθητές ήταν Peter Braam 1987, Simon Donaldson 1983, K. David Elworthy 1967, Howard Fegan 1977, Eric Grunwald 1977, Nigel Hitchin 1972, Lisa Jeffrey 1991, Frances Kirwan 1984, Peter Kronheimer 1986, Ruth Lawrence 1989, George Lusztig 1971, Jack Morava 1968, Michael Murray 1983, Peter Newstead 1966, Ian R. Porteous 1961, John Roe 1985, Brian Sanderson 1963, Rolph Schwarzenberger 1960, Graeme Segal 1967, David Tall 1966, και ο Graham White 1982.[1]

Άλλοι σύγχρονοι μαθηματικοί που επηρέασαν τον Atiyah ήταν ο Ρότζερ Penrose, ο Lars Hörmander, ο Alain Connes και Jean-Michel Bismut. Atiyah είπε ότι ο μαθηματικός που θαύμασε πιό πολύ ήταν Hermann Weyl, και ότι οι αγαπημένοι του μαθηματικοί πριν από το 20ο αιώνα ήταν ο Bernhard Riemann και ο William Rowan Χάμιλτον

Μαθηματική δουλειά[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι έξι τόμοι των συλλεχθέντων εγγράφων του Atiyah περιλαμβάνουν το μεγαλύτερο μέρος της εργασίας του, εκτός από το εγχειρίδιο άλγεβράς και μερικές εργασίες μετά από το 2004.

Αλγεβρική Γεωμετρία (1952–1958)[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κύριο λήμμα: Algebraic geometry
A twisted cubic curve, η πρώτη εργασία του Atiyah's

Τα πρώτα έγγραφα του Atiyah για την αλγεβρική γεωμετρία (και μερικά γενικά έγγραφα) ανατυπώθηκαν στον πρώτο τόμο των συλλεχθεισών εργασιών του.[2]

Ως προπτυχιακός φοιτητής Atiyah ενδιαφέρθηκε για την κλασσική προβολική γεωμετρία, και έγραψε το πρώτο έγγραφό του: μια σύντομη σημείωση για το στριμμένο cubics. Αρχισε την έρευνα υπό τον W.V. Δ. Hodge και κέρδισε το βραβείο του Smith το 1954 για μια sheaf-θεωρητική προσέγγιση στις κυβερνημένες επιφάνειες, το οποίο ενθάρρυνε τον Atiyah για να συνεχίσει στα μαθηματικά, παρά να μεταπηδήσει στα άλλα ενδιαφέροντά του -αρχιτεκτονική και αρχαιολογία. Η διατριβή PHD του με τον Hodge ήταν σε μια sheaf-θεωρητική προσέγγιση στη θεωρία του Solomon Lefschetz των ολοκληρωμάτων του δεύτερου είδους στις αλγεβρικές ποικιλίες, και οδήγησε σε μια πρόσκληση για να επισκεφτεί το ίδρυμα για την προηγμένη μελέτη στο Advanced Study Princeton για ένα έτος. Ενώ σε Princeton ταξινόμησε τις διανυσματικές δέσμες σε μια ελλειπτική καμπύλη (που επεκτείνει την ταξινόμηση Grothendieck των διανυσματικών δεσμών σε ένα γένος 0 καμπύλη), δείχνοντας ότι οποιαδήποτε διανυσματική δέσμη είναι ένα άθροισμα (ουσιαστικά μοναδικό) των indecomposable διανυσματικών δεσμών, και έπειτα να δείξει ότι το διάστημα των indecomposable διανυσματικών δεσμών ενός δεδομένου βαθμού και της θετικής διάστασης μπορεί να προσδιοριστεί με την ελλειπτική καμπύλη. Μελέτησε επίσης τα διπλά σημεία στις επιφάνειες, που δίνουν το πρώτο παράδειγμα μιας πτώσης, ένας ειδικός μετασχηματισμός birational 3 πτυχών που ήταν αργότερα χρησιμοποιημένος στην εργασία Mori για τα ελάχιστα πρότυπα για 3 πτυχές. Η πτώση του Atiyah μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για να δείξει ότι η καθολική χαρακτηρισμένη οικογένεια K3 των επιφανειών είναι μη-Hausdorff.

K θεωρία (1959–1974)[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κύριο λήμμα: K-theory
A Möbius band ειναι το απλούστερο μη-τετριμένο παραδειγμα ενος vector bundle.

Εργασίες Atiyah για την Κ-θεωρία, συμπεριλαμβανομένου του βιβλίου του σε K-theory[3] ανατυπώνονται στον τόμο 2 των συλλεχθεισών εργασιών του.[4]

Το απλούστερο παράδειγμα μιας διανυσματικής δέσμης είναι η ζώνη Möbius (που απεικονίζεται στα δεξιά): μια λουρίδα του εγγράφου με μια συστροφή μέσα, το οποίο αντιπροσωπεύει 1 διανυσματική δέσμη πέρα από έναν κύκλο (η εν λόγω ύπαρξη κύκλων η κεντρική γραμμή της ζώνης Möbius). Η κ-θεωρία είναι ένα εργαλείο για να χρησιμοποιήται σε αυτό το παραδείγμα, ή με άλλα λόγια για την περιγραφή των στριψιμάτων: τα στοιχεία της Κ-ομάδας ενός διαστήματος αντιπροσωπεύονται από τις διανυσματικές δέσμες πέρα από αυτο, έτσι η ζώνη Möbius αντιπροσωπεύει ένα στοιχείο της Κ-ομάδας ενός κύκλου. [παραπομπή που απαιτείται]

Η τοπολογική Κ-θεωρία ανακαλύφθηκε από τον Atiyah και το Friedrich Hirzebruch οι οποίοι την εμπνεύστηκαν από την απόδειξη Grothendieck του θεωρήματος grothendieck-Riemann-Roch και της εργασίας Bott για το θεώρημα περιοδικότητας. Αυτό το έγγραφο συζήτησε μόνο την Κ-ομάδα zeroth αυτοί έδωσαν το πρώτο (μη τετριμένο) παράδειγμα μιας γενικευμένης θεωρίας cohomology. Διάφορα αποτελέσματα έδειξαν ότι η πρόσφατα εισαχθείσα Κ-θεωρία ήταν με κάποιους τρόπους ισχυρότερη από τη συνηθισμένη θεωρία cohomology. Ο Atiyah και ο Todd χρησιμοποίησαν την Κ-θεωρία για να βελτιώσουν τα χαμηλότερα όρια που βρέθηκαν στο συνηθισμένο cohomology από Borel και Serre για τον αριθμό του James, περιγράφοντας έναν χάρτη από μια σύνθετη πολλαπλή Stiefel σε μια σφαίρα με μια διατομή. (Ο Adams και ο Grant-Walker αργότερα έδειξαν ότι η επιχορήγηση του Atiyah και του Todd ήταν καλύτερη δυνατή.) Ο Atiyah και ο Hirzebruch [37] χρησιμοποίησαν την Κ-θεωρία για να εξηγήσουν μερικές σχέσεις μεταξύ των διαδικασιών Steenrod και των μαθήματων Todd που ο Hirzebruch είχε παρατηρήσει μερικά έτη πριν. Η αρχική λύση του Hopf Hopf invariant one problem από J. Φ. Adams ήταν πολύ μακροχρόνια και περίπλοκη, χρησιμοποιώντας τις δευτεροβάθμιες διαδικασίες cohomology. Ο Atiyah επέδειξε πώς οι αρχικές διαδικασίες στην Κ-θεωρία θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν για να δώσουν μια σύντομη λύση που παίρνει μόνο μερικές γραμμές, και στην συνεργασία με τον Adams [38] επίσης απέδειξε το αποτέλεσμα.

Michael Atiyah και Friedrich Hirzebruch (right), οι δημιουργοί της τοπολογικής K-θεωρίας

Η φασματική ακολουθία atiyah-Hirzebruch αφορά το συνηθισμένο cohomology ενός διαστήματος της γενικευμένη θεωρίας cohomology . ( Ο Atiyah και ο Hirzebruch χρησιμοποίησαν την περίπτωση της Κ-θεωρίας, αλλά η μέθοδός τους λειτουργεί για όλες τις θεωρίες cohomology).

Ο Atiyah έδειξε ότι για μια πεπερασμένη ομάδα G, η Κ-θεωρία του διαστήματος ταξινόμησής της, BG, είναι ισομορφική στην ολοκλήρωση του χαρακτηριστικού δαχτυλιδιού:

 K(BG) \cong R(G)^{\wedge}.

Τον ίδιο χρόνο απέδειξαν το αποτέλεσμα για το G οποιαδήποτε compact connected Lie group. Αν και σύντομα το αποτέλεσμα θα μπορούσε να επεκταθεί σε όλες τις compact connected Lie group με την ενσωμάτωση των αποτελεσμάτων από τη διατριβή του Graeme Segal's, εκείνη η επέκταση ήταν περίπλοκη. Εντούτοις μια απλούστερη και γενικότερη απόδειξη παρήχθη με την εισαγωγή της equivariant Κ-θεωρίας, δηλ. ισοδυναμίας G -διανυσματικών δεσμών πέρα από συμπαγές G-space Χ. Αποδείχθηκε ότι υπό τους κατάλληλους όρους η ολοκλήρωση της equivariant Κ-θεωρίας του Χ είναι ισομορφική στην συνηθισμένη Κ-θεωρία ενός διαστήματος,, X_G.

K_G(X)^{\wedge} \cong K(X_G).

Το αρχικό αποτέλεσμα μετα ακολουθείθηκε ως πόρισμα με το Χ να είναι ένα σημείο. Δείτε το θεώρημα ολοκλήρωσης atiyah-Segal για περισσότερες λεπτομέρειες.

Καθόρισε νέα γενικευμένη ομολογία και θεωρίες cohomology οι οποίες ονομάστηκαν bordism και cobordism. Μερικές από αυτές τις θεωρίες cohomology, ιδίως σύνθετο cobordism, αποδείχθηκαν μερικές από τις ισχυρότερες θεωρίες cohomology γνωστές.

Η άλγεβρα είναι η προσφορά που υποβάλλεται από το διάβολο στο μαθηματικό. Ο διάβολος λέει: «Θα σας δώσω αυτήν την ισχυρή μηχανή, θα απαντήσει σε οποιαδήποτε ερώτηση θέλετε. Το μόνο που χρειάζεται να κάνετε είναι μου δώσετε την ψυχή σας: σταματήστε τη γεωμετρία και θα έχετε αυτήν την θαυμάσια μηχανή.».'


Με τον Hirzebruch επέκτηνε το grothendieck-Riemann-Roch θεώρημα , και σε ένα σχετικό έγγραφο έδειξαν ότι η υπόθεση Hodge για το ακέραιο cohomology είναι ψεύτικη. Η υπόθεση Hodge για το λογικό cohomology είναι, από το 2008, ένα σημαντικό άλυτο πρόβλημα. Το θεώρημα περιοδικότητας Bott ήταν ένα κεντρικό θέμα στην εργασία Atiyah για την Κ-θεωρία, και επέστρεψε επανειλημμένα σε αυτό, όπου επαναλαμβάνει την απόδειξη αρκετές φορές για να το καταλάβει καλύτερα.

Με τον Bott επέλυσε μια στοιχειώδη απόδειξη, και έδωσε μια άλλη έκδοση από αυτήν στο βιβλίο του. [49] Με τον Bott και τον Shapiro ανέλυσε τη σχέση της περιοδικότητας Bott με την περιοδικότητα των αλγεβρών του Clifford [50] αν και αυτό το έγγραφο δεν είχε μια απόδειξη του θεωρήματος περιοδικότητας, μια απόδειξη σύμφωνα με παρόμοιες διαδικασίες βρέθηκε λίγο αργότερα από Ρ. Wood. Σε αυτό βρήκε μια απόδειξη διάφορων γενικεύσεων χρησιμοποιώντας τους ελλειπτικούς χειριστές αυτή η νέα απόδειξη χρησιμοποίησε μια ιδέα που έδινε μια ιδιαίτερα σύντομη και εύκολη απόδειξη του αρχικού θεωρήματος περιοδικότητας Bott.

Θεωρία δεικτών (1963–1984)[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Isadore Singer (in 1977), που δούλεψε με τον Atiyah πανω στην Θεωρία δεικτών
Κύριο λήμμα: Atiyah–Singer index theorem

Η εργασία του Atiyah για τη θεωρία δεικτών ανατυπώνεται στους τόμους 3 και 4 των συλλεχθεισών εργασιών του.

Ο δείκτης ενός διαφορικού χειριστή είναι στενά συνδεδεμένος με τον αριθμό ανεξάρτητων λύσεων (πιο συγκεκριμένα, είναι οι διαφορές των αριθμών ανεξάρτητων λύσεων του διαφορικού χειριστή και του adjoint του). Υπάρχουν πολλά δύσκολα και θεμελιώδη προβλήματα στα μαθηματικά που μπορούν εύκολα να μειωθούν στο πρόβλημα τον αριθμό ανεξάρτητων λύσεων κάποιου διαφορικού χειριστή. Αυτό κάνει το θεώρημα δεικτών atiyah-Singer : δίνει έναν τύπο για το δείκτη ορισμένων διαφορικών χειριστών, από την άποψη των τοπολογικών σταθερών που το βλέμμα μπερδεύεται αρκετά αλλά είναι στην πράξη συνήθως απλό για να υπολογίσει.

Διάφορα βαθιά θεωρήματα, όπως το θεώρημα hirzebruch-Riemann-Roch, είναι ειδικές περιπτώσεις του θεωρήματος δεικτών atiyah-Singer . Στην πραγματικότητα το θεώρημα δεικτών έδωσε ένα ισχυρότερο αποτέλεσμα, επειδή η απόδειξή της ίσχυσε για όλες τις συμπαγείς σύνθετες πολλαπλές, ενώ η απόδειξη Hirzebruch λειτούργησε μόνο για τις προβολικές πολλαπλές. Υπήρξαν επίσης πολλές νέες εφαρμογές: ένας χαρακτηριστικός υπολογίζει τις διαστάσεις των διαστημάτων συντελεστών των instantons. Το θεώρημα δεικτών μπορεί επίσης να λειτουργήσει «στην αντιστροφή»: ο δείκτης είναι προφανώς ένας ακέραιος αριθμός, έτσι πρέπει να δώσει έναν ακέραιο αριθμό, ο οποίος δίνει μερικές φορές τους λεπτούς integrality όρους στις σταθερές των πολλαπλών. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα αυτού είναιτο θεώρημα Rochlin, το οποίο προκύπτει από το θεώρημα δεικτών.

Η πιο χρήσιμη που θα έδινα σε έναν σπουδαστή μαθηματικών είναι πάντα να υποψιαστεί ένα εντυπωσιακό στο άκουσμα θεώρημα εάν δεν έχει μια ειδική περίπτωση που να είναι απλή και μη-τετριμμένη.

Το πρόβλημα δεικτών για τους ελλειπτικούς διαφορικούς χειριστές τέθηκε το 1959 από τον Gel'fand. [56] παρατήρησε τη homotopy σταθερότητα του δείκτη, και ζήτησε έναν τύπο για αυτό με τη βοήθεια των τοπολογικών σταθερών. Μερικά από τα παρακινούμενα παραδείγματα ήταν το θεώρημα riemann-Roch και τη γενίκευσή του το θεώρημα hirzebruch-Riemann-Roch, και το θεώρημα υπογραφών Hirzebruch. Ο Hirzebruch και Borel είχαν αποδείξει την integrality του γένους Â μιας πολλαπλής περιστροφής, και Atiyah πρότεινε ότι αυτή η integrality θα μπορούσε να εξηγηθεί εάν ήταν ο δείκτης του χειριστή Dirac (που ανακαλύφθηκε πάλι από Atiyah και τον Singer το 1961). Η πρώτη ανακοίνωση του θεωρήματος atiyah-Singer ήταν το έγγραφο τους το 1963. [57] η απόδειξη που σκιαγραφήθηκε σε αυτήν την ανακοίνωση εμπνεύστηκε από την απόδειξη Hirzebruch του θεωρήματος hirzebruch-Riemann-Roch και δεν δημοσιεύθηκε ποτέ από τους, αν και περιγράφεται στο βιβλίο από τον Palais. [58] η πρώτη δημοσιευμένη απόδειξή τους [59] ήταν παρόμοια με την απόδειξη Grothendieck του θεωρήματος grothendieck-Riemann-Roch, που αντικαθιστά τη θεωρία cobordism της πρώτης απόδειξης με την Κ-θεωρία, και χρησιμοποίησαν αυτήν την προσέγγιση για να δώσουν τις αποδείξεις των διάφορων γενικεύσεων σε μια ακολουθία εγγράφων από το 1968 ως το 1971.


Atiyah's former student Graeme Segal (in 1982), who worked with Atiyah on equivariant K-theory

Με τον Bott, ο Atiyah βρήκε ένα ανάλογο του τύπου σταθερών σημείων Lefschetz για τους ελλειπτικούς χειριστές, που δίνουν τον αριθμό Lefschetz ενός endomorphism ενός ελλειπτικού συγκροτήματος από την άποψη ενός ποσού πέρα από τα σταθερά σημεία του endomorphism. [62] ως ειδικές περιπτώσεις ο τύπος τους περιέλαβε τον τύπο χαρακτήρα Weyl, και διάφορα νέα αποτελέσματα για τις ελλειπτικές καμπύλες με το σύνθετο πολλαπλασιασμό. [63]Ο Atiyah και ο Segal συνδύασαν αυτό το θεώρημα σταθερών σημείων με το θεώρημα δεικτών ως εξής. Εάν υπάρχει μια συμπαγής δράση ομάδας μιας ομάδας G σχετικά με τη συμπαγή πολλαπλή Χ, ανταλάσσοντας με τον ελλειπτικό χειριστή, κατόπιν κάποιος μπορεί να αντικαταστήσει τη συνηθισμένη θεωρία Κ στο θεώρημα δεικτών με την equivariant Κ-θεωρία. Για τις τετριμμένες ομάδες Γ αυτό δίνει το θεώρημα δεικτών, και για μια πεπερασμένη ομάδα Γ που ενεργεί με τα απομονωμένα σταθερά σημεία δίνει το θεώρημα σταθερών σημείων atiyah-Bott. Γενικά δίνει το δείκτη ως ποσό πέρα από το σταθερό σημείο submanifolds της ομάδας Γ. [64]

Ο Atiyah [65] έλυσε ένα πρόβλημα που ρωτήθηκε από τον Hörmander και τον Gel'fand, για εάν οι σύνθετες δυνάμεις των αναλυτικών λειτουργιών καθορίζουν τις διανομές. Ο Atiyah χρησιμοποίησε το θεώρημα των ιδιομορφιών του Hironaka για να απαντήσει σε αυτό καταφατικά. Μια έξυπνη και στοιχειώδης λύση βρέθηκε στο σχεδόν ίδιο χρόνο από τον J. Bernstein, και συζητήθηκε από τον Atiyah. [66]

Σαν εφαρμογή του equivariant θεωρήματος δεικτών, ο Atiyah και ο Hirzeburch έδειξαν ότι οι πολλαπλές με τις αποτελεσματικές ενέργειες κύκλων έχουν το â-γένος εξαφάνισης. [67] (Lichnerowicz έδειξε ότι εάν μια πολλαπλή έχει έναν μετρικό της θετικής κλιμακωτής κυρτότητας έπειτα αφότου το â-γένος εξαφανίζεται.)

Με τον Elmer Rees, ο Atiyah μελέτησε το πρόβλημα της σχέσης μεταξύ των τοπολογικών και ολομορφικών διανυσματικών δεσμών στο προβολικό διάστημα. Έλυσαν την απλούστερη άγνωστη περίπτωση, δείχνοντας ότι όλοι ταξινομούν 2 διανυσματικές δέσμες πέρα από το προβολικό διάστημα 3 και έχουν μια ολομορφική δομή. [68]Ο Horrocks είχε βρεί προηγουμένως μερικά μη-τετριμμενα παραδείγματα τέτοιων διανυσματικών δεσμών, οι οποίες χρησιμοποιήθηκαν αργότερα από τον Atiyah στη μελέτη των instantons στη σφαίρα 4.

Raoul Bott, που εργάστηκε με τον Atiyah πανω στις fixed point λύσεις και αρκετά άλλα θέματα

Ο Atiyah, ο Bott και ο Vijay Κ. Patodi [69] έδωσαν μια νέα απόδειξη του θεωρήματος δεικτών χρησιμοποιώντας την εξίσωση θερμότητας.

Εάν η πολλαπλή επιτρέπεται να έχει το όριο, μερικοί περιορισμοί πρέπει να τεθούν στην περιοχή του ελλειπτικού χειριστή προκειμένου να εξασφαλιστεί ένας πεπερασμένος δείκτης. Αυτοί οι όροι μπορούν να είναι τοπικές (όπως την απαίτηση να εξαφανιστούν τα τμήματα στην περιοχή του ορίου) ή πιό περίπλοκες σφαιρικές συνθήκες (όπως την απαίτηση τα τμήματα στην περιοχή να λύνουν κάποια διαφορική εξίσωση). Η τοπική περίπτωση επιλύθηκε από τον Atiyah και τον Bott, αλλά έδειξαν ότι πολλοί ενδιαφέροντες χειριστές (π.χ., ο χειριστής υπογραφών) δεν αναγνωρίζουν τις τοπικές συνθήκες ορίου. Για να χειριστούν αυτούς τους χειριστές, ο Atiyah,ο Patodi και ο Singer εισήγαγαν τους σφαιρικούς όρους ορίου ισοδύναμους με την ένωση ενός κυλίνδρου με την πολλαπλή κατά μήκος του ορίου και έπειτα τον περιορισμό της περιοχής σε εκείνα τα τμήματα που να είναι ένας τετραγωνικός integrable κατά μήκος του κυλίνδρου, και εισήγαγαν επίσης τη σταθερά eta atiyah-Patodi-Singer . Αυτό οδήγησε σε μία σειρά εγγράφων για τη φασματική ασυμμετρία, [70] που αργότερα απροσδόκητα χρησιμοποιήθηκαν στη θεωρητική φυσική, ιδίως στην εργασία Witten για τις ανωμαλίες.

Τα κενά που συζητούνται από Petrovsky, Atiyah, Bott και Gårding είναι παρόμοια με τα διαστήματα μεταξύ κυμάτων ενός υπερηχητικού αντικειμένου.

Οι θεμελιώδεις λύσεις των γραμμικών υπερβολικών μερικών διαφορικών εξισώσεων έχουν συχνά τα κενά Petrovsky: περιοχές όπου εξαφανίζονται όμοια. Αυτοί μελετήθηκαν το 1945 από Ι. Γ. Petrovsky, το οποίο βρήκε από τους τοπολογικούς όρους ποιες περιοχές ήταν κενά. Σε συνεργασία με τον Bott και τον Lars Gårding, ο Atiyah έγραψε τρία έγγραφα που ενημερώνουν και που γενικεύουν την εργασία Petrovsky. [71] Το Atiyah [72] επέδειξε πώς να επεκτείνει το θεώρημα δεικτών σε μερικές non-compact πολλαπλές, από μια ιδιαίτερη ομάδα που ενέργησαν με το συμπαγές πηλίκο. Ο πυρήνας του ελλειπτικού χειριστή είναι γενικά άπειρος διαστατικός σε αυτήν την περίπτωση, αλλά είναι δυνατό να αποκτηθεί ένας πεπερασμένος δείκτης που χρησιμοποιεί τη διάσταση μιας ενότητας πέρα από μια άλγεβρα Neumann von αυτός ο δείκτης είναι γενικά πραγματικός παρά τον ακέραιο αριθμό που εκτιμείται. Αυτή η έκδοση καλείται L2 θεώρημα δεικτών, και χρησιμοποιήθηκε από Atiyah και Schmid [73] για να δώσει μια γεωμετρική κατασκευή, χρησιμοποιώντας τετραγωνικά integrable αρμονικά spinors, των ιδιαίτερων αντιπροσωπεύσεων σειράς harish-Chandra των ομάδων ψέματος semisimple. Κατά τη διάρκεια αυτής της εργασίας βρήκαν μια πιό στοιχειώδη απόδειξη του θεμελιώδους θεωρήματος harish-Chandra στο τοπικό integrability των χαρακτήρων των ομάδων ψέματος. [74] με Χ. Donnelly και Ι. Singer, επέκτεινε τον τύπο Hirzebruch (που αφορά την ατέλεια υπογραφών στα cusps των μορφωματικών επιφανειών Hilbert τις τιμές των λ-λειτουργιών) από τους πραγματικούς τετραγωνικούς τομείς σε όλους τους συνολικά πραγματικούς τομείς.

Θεωρία μετρητών (1977–1985)[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κύριο λήμμα: Gauge theory
On the left, δύο κοντινά monopoles της ίδιας πολικότητας αποκρούουν το ένα το άλλο, και στα δεξιά τα δύο κοντινά monopoles της αντίθετης πολικότητας διαμορφώνουν το δίπολο. Αυτά είναι αβελιανά monopoles, τα μη-αβελιανά που μελετώνται από τον Atiyah είναι πιό περίπλοκα.

Πολλά από τα έγγραφά του για τη θεωρία μετρητών και τα σχετικά θέματα ανατυπώνονται στον τόμο 5 των συλλεχθεισών εργασιών του. [το κοινό θέμα Α 76] αυτών των εγγράφων είναι η μελέτη των διαστημάτων συντελεστών των λύσεων σε ορισμένες μη γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις, ιδίως οι εξισώσεις για τα instantons και monopoles. Αυτό περιλαμβάνει συχνά να βρεί μια λεπτή ομοιότητα μεταξύ των λύσεων δύο φαινομενικά αρκετά διαφορετικών εξισώσεων. Ένα πρόωρο παράδειγμα αυτού που ο Atiyah χρησιμοποίησε επανειλημμένα είναι η μετατροπή Penrose, η οποία μπορεί μερικές φορές να μετατρέψει τις λύσεις μιας μη γραμμικής εξίσωσης πέρα από κάποια πραγματική πολλαπλή στις λύσεις μερικών γραμμικών ολομορφικών εξισώσεων πέρα από μια διαφορετική σύνθετη πολλαπλή.

Σε μία σειρά των εγγράφων με διάφορους συντάκτες, ο Atiyah ταξινόμησε όλα τα instantons στο διαστατικό Euclidean διάστημα 4. Είναι καταλληλότερο να ταξινομήσει instantons σε μια σφαίρα δεδομένου ότι αυτό είναι συμπαγές, και αυτό είναι ουσιαστικά ισοδύναμο με instantons στο Euclidean διάστημα δεδομένου ότι αυτό είναι ισοδύναμο με μια σφαίρα και οι εξισώσεις για τα instantons είναι αμετάβλητες. Με τον Hitchin και τον Singer [77] υπολόγισε τη διάσταση του διαστήματος συντελεστών των αμείωτων μονών-διπλών συνδέσεων (instantons) για οποιαδήποτε δέσμη αρχής πέρα από μια συμπαγή διαστατική Riemannian πολλαπλή 4. Παραδείγματος χάριν, η διάσταση του διαστήματος SU2 instantons πυκνό k>0 είναι 8k−3. Για να κάνουν αυτό χρησιμοποίησαν το θεώρημα δεικτών atiyah-Singer για να υπολογίσουν τη διάσταση του διαστήματος εφαπτομένης του διαστήματος συντελεστών σε ένα σημείο το διάστημα εφαπτομένης είναι ουσιαστικά το διάστημα των λύσεων ενός ελλειπτικού διαφορικού χειριστή, που δίνονται από linearization των μη γραμμικών εξισώσεων yang-mills. Αυτά τα διαστήματα συντελεστών χρησιμοποιήθηκαν αργότερα από τον Donaldson για να κατασκευάσουν τις σταθερές 4 πολλαπλών του. Ο Atiyah και ο Ward χρησιμοποίησαν την αλληλογραφία Penrose για να μειώσουν την ταξινόμηση όλων των instantons στη σφαίρα 4 σε ένα πρόβλημα στην αλγεβρική γεωμετρία. [78] με τον Hitchin χρησιμοποίησε τις ιδέες Horrocks να λύσει αυτό το πρόβλημα, που δίνει την κατασκευή ADHM όλων των instantons σε μια σφαίρα Ο Manin και ο Drinfeld βρήκαν την ίδια κατασκευή συγχρόνως, που οδηγεί σε ένα κοινό έγγραφο και από τους τέσσερις συντάκτες. [79]Ο Atiyah αναδιατύπωσε αυτήν την κατασκευή χρησιμοποιώντας τα quaternions και ετοίμασε έναν ήρεμο απολογισμό αυτής της ταξινόμησης των instantons στο Euclidean διάστημα ως βιβλίο.

Τα μαθηματικά προβλήματα που έχουν λυθεί ή τεχνικές που έχουν προκύψει από τη φυσική στο παρελθόν είναι η πηγή ενέργειας των μαθηματικών.


Η εργασία του Atiyah για τα διαστήματα συντελεστών instanton χρησιμοποιήθηκε στην εργασία Donaldson για τη θεωρία Donaldson. Ο Donaldson έδειξε ότι το διάστημα συντελεστών (βαθμός 1) instantons πέρα από μια συμπαγή απλά συνδεδεμένη πολλαπλή 4 με τη θετική καθορισμένη μορφή διατομής μπορεί να είναι compactified για να δώσει ένα cobordism μεταξύ της πολλαπλής και ενός ποσού των αντιγράφων του σύνθετου προβολικού διαστήματος. Συνήγαγε από αυτό ότι η μορφή διατομής πρέπει να είναι ένα ποσό μονοδιάστατων, οι οποίοι οδήγησαν σε διάφορες θεαματικές εφαρμογές για 4 πολλαπλές, όπως η ύπαρξη των μη-ισοδύναμων ομαλών δομών στο διαστατικό Euclidean διάστημα 4. Ο Donaldson χρησιμοποίεισε τα άλλα διαστήματα συντελεστών που μελετήθηκαν από τον Atiyah για να καθορίσουν τις σταθερές Donaldson, που ξεσήκωσαν τη μελέτη ομαλών 4 πολλαπλών, και έδειξε ότι ήταν λεπτότεροι από τις ομαλές πολλαπλές σε οποιαδήποτε άλληδήποτε διάσταση, και επίσης αρκετά διαφορετικοί από τοπολογικές 4 πολλαπλές. Ο Atiyah περιέγραψε μερικά από αυτά τα αποτελέσματα σε μια συζήτηση ερευνών. [82]

Οι συναρτήσεις του Green για τις γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις μπορούν συχνά να βρεθούν με τη χρησιμοποίηση του μετασχηματισμού κατά Φουριέ για να μετατρέψουν αυτό σε ένα αλγεβρικό πρόβλημα. Ο Atiyah χρησιμοποίησε μια μη γραμμική έκδοση αυτής της ιδέας. [83] χρησιμοποίησε τη μετατροπή Penrose για να μετατρέψει τη Green λειτουργία για το conformally αμετάβλητο Laplacian σε ένα σύνθετο αναλυτικό αντικείμενο, το οποίο αποδείχθηκε ουσιαστικά η διαγώνια ενσωμάτωση του διαστήματος twistor Penrose στο τετράγωνό του. Αυτό επέτρεψε σε αυτον να βρεί έναν ρητό τύπο για τη αμετάβλητη Green λειτουργία σε μια πολλαπλή 4.

Στο έγγραφό του με τον Τζόουνς, [84] μελέτησε την τοπολογία του διαστήματος συντελεστών του SU (2) instantons πέρα από μια σφαίρα 4. Έδειξαν ότι ο φυσικός χάρτης από αυτό το διάστημα συντελεστών στο διάστημα όλων των συνδέσεων προκαλεί τα epimorphisms των ομάδων ομολογίας σε μια ορισμένη σειρά των διαστάσεων, και πρότειναν ότι να προκαλέσει τα isomorphisms των ομάδων ομολογίας στην ίδια σειρά των διαστάσεων. Αυτό έγινε γνωστό ως υπόθεση atiyah-Τζόουνς, και αποδείχθηκε αργότερα από διάφορους μαθηματικούς. [85]

Δυσκολότερα ο M.S. Narasimhan περιέγραψε το cohomology των διαστημάτων συντελεστών των σταθερών διανυσματικών δεσμών πέρα από τις επιφάνειες Riemann με τον υπολογισμό του αριθμού σημείων των διαστημάτων συντελεστών πέρα από τους πεπερασμένους τομείς, και έπειτα τη χρησιμοποίηση των υποθέσεων Weil για να ανακτήσει το cohomology πέρα από τους σύνθετους αριθμούς. [86] Atiyah και Ρ. Bott χρησιμοποίησαν τη θεωρία Μορς και τις εξισώσεις yang-mills πέρα από μια επιφάνεια Riemann που αναπαράγει και που επεκτείνει τα αποτελέσματα σκληρότερου και Narasimhan. [87]

Ένα παλαιό αποτέλεσμα λόγω του Schur και του Horn δηλώνει ότι το σύνολο πιθανών διαγώνιων διανυσμάτων μιας Hermitian μήτρας με δεδομένα eigenvalues είναι κυρτή όλων των μεταλλαγών eigenvalues. Ο Atiyah απέδειξε μια γενίκευση αυτού που ισχύει για όλες τις συμπαγείς symplectic πολλαπλές από ένα δακτύλιο, που δείχνει που ενεργούν ότι η εικόνα της πολλαπλής κάτω από το χάρτη στιγμής είναι κυρτό πολύεδρο, [88] και με τον Pressley έδωσε μια σχετική γενίκευση στις άπειρες διαστατικές ομάδες βρόχων. [89]

Ο Duistermaat και ο Heckman βρήκαν έναν εντυπωσιακό τύπο, λέγοντας ότι το μπρος-πίσω του μέτρου Liouville ενός χάρτη στιγμής για μια δράση δακτυλίων δίνεται ακριβώς από την προσέγγιση της στάσιμης φάσης (που είναι γενικά ακριβώς μια ασυμπτωτική επέκταση παρά να εξαναγκάσει). Ο Atiyah και ο Bott [90] έδειξαν ότι αυτό θα μπορούσε να συναχθεί από έναν γενικότερο τύπο στο equivariant cohomology, το οποίο ήταν μια συνέπεια των γνωστών θεωρημάτων εντοπισμού. Ο Atiyah παρουσίασε [91] ότι ο χάρτης στιγμής ήταν στενά συνδεδεμένος στη γεωμετρική αμετάβλητη θεωρία, και αυτή η ιδέα αναπτύχθηκε αργότερα πολύ πιο μακριά από το σπουδαστή του τον Φ. Kirwan. Ο Witten αμέσως μετά από εφάρμοσε τον τύπο duistermaat-Heckman στα διαστήματα βρόχων και έδειξε ότι αυτό έδωσε τυπικά το θεώρημα δεικτών atiyah-singer για το χειριστή Dirac όπου αυτή η ιδέα μιλήθηκε από τον Atiyah. [92]

Με τον Hitchin εργάστηκε στα μαγνητικά monopoles, και μελέτησε τη διασπορά τους χρησιμοποιώντας μια ιδέα του Nick Manton. [93] το βιβλίο του [94] με τον Hitchin δίνει μια λεπτομερή περιγραφή της εργασίας τους για τα μαγνητικά monopoles. Το κύριο θέμα του βιβλίου είναι μια μελέτη ενός διαστήματος συντελεστών των μαγνητικών monopoles αυτό έχει ένα φυσικό Riemannian μετρικό, και ένα σημείο κλειδί είναι ότι αυτός ο μετρικός είναι πλήρης και hyperkahler. Ο μετρικός χρησιμοποιείται έπειτα για να μελετήσει τη διασπορά δύο monopoles, χρησιμοποιώντας μια πρόταση Ν. Manton ότι η γεωδεσική ροή στο διάστημα συντελεστών είναι η χαμηλή ενεργειακή προσέγγιση στη διασπορά. Παραδείγματος χάριν, δείχνουν ότι μια μετωπική σύγκρουση μεταξύ δύο monopoles οδηγεί στη διασπορά βαθμού του 90, με την κατεύθυνση της διασποράς ανάλογα με τις σχετικές φάσεις των δύο monopoles. Μελέτησε επίσης monopoles στο υπερβολικό διάστημα. [95]

Ο Atiyah παρουσίασε [96] ότι τα instantons σε 4 διαστάσεις μπορεί να προσδιοριστούν με τα instantons σε 2 διαστάσεις, τα οποία είναι πολύ ευκολότερα να χειριστούν. Υπάρχει φυσικά μια σύλληψη: στη μετάβαση από 4 έως 2 διαστάσεις η ομάδα δομών της θεωρίας μετρητών αλλάζει από μια πεπερασμένη διαστατική ομάδα σε μια άπειρη διαστατική ομάδα βρόχων. Αυτό δίνει ένα άλλο παράδειγμα όπου τα διαστήματα συντελεστών των λύσεων δύο προφανώς ανεξάρτητων μη γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων αποδεικνύονται ουσιαστικά τα ίδια.

Ο Atiyah και ο Singer διαπίστωσαν ότι οι ανωμαλίες στην κβαντική θεωρία τομέων θα μπορούσαν να ερμηνευθούν από την άποψη της θεωρίας δεικτών του χειριστή Dirac [97] αυτή η ιδέα έγινε αργότερα ευρέως χρησιμοποιημένη από τους φυσικούς.

Μετέπειτα εργασία (1986 onwards)[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Edward Witten, η oποία εργασία τους για τις σταθερές των πολλαπλών και τοπολογικές κβαντικές θεωρίες τομέων επηρεάστηκε από τον Atiyah

Πολλά από τα έγγραφα στο 6ο τόμο [98] των συλλεχθεισών εργασιών του είναι έρευνες, νεκρολογίες, και γενικές συζητήσεις. Από τη δημοσίευσή του, ο Atiyah έχει συνεχίσει να δημοσιεύει, συμπεριλαμβανομένων διάφορων ερευνών, ένα δημοφιλές βιβλίο, [99] και ένα άλλο έγγραφο με τον Segal στην στριμμένη Κ-θεωρία.

Ένα έγγραφο [100] είναι μια λεπτομερής μελέτη της λειτουργίας eta Dedekind από την άποψη της τοπολογίας και του θεωρήματος δεικτών.

Αρκετά από τα έγγραφά του από γύρω από τη μελέτη αυτής της περιόδου είναι οι συνδέσεις μεταξύ της κβαντικών θεωρίας τομέων, των κόμβων, και της θεωρίας Donaldson. Εισήγαγε την έννοια μιας τοπολογικής κβαντικής θεωρίας τομέων, που εμπνεύστηκε εξ της εργασίας Witten και ορισμού Segal μιας σύμμορφης θεωρίας τομέων. [101] το βιβλίο του [102] περιγράφει τις νέες σταθερές κόμβων που βρίσκονται από Vaughan Τζόουνς και το Edward Witten από την άποψη των τοπολογικών κβαντικών θεωριών τομέων, και το έγγραφό του με Λ. Jeffrey [103] εξηγεί Witten Lagrangian δίνοντας τις σταθερές Donaldson.

Μελέτησε τα skyrmions με τον Nick Manton, [104] βρίσκοντας μια σχέση με τα μαγνητικά monopoles και instantons, και δίνοντας μια υπόθεση για τη δομή του διαστήματος συντελεστών δύο skyrmions ως ορισμένο subquotient του σύνθετου προβολικού διαστήματος 3.

Διάφορα έγγραφα [105] εμπνεύστηκαν από ένα θέμα του Μ. Berry (αποκαλούμενο πρόβλημα black-Robbins), το οποίο ρώτησε εάν υπάρχει ένας χάρτης από το διάστημα διαμόρφωσης των σημείων ν στο διάστημα 3 στην πολλαπλή σημαιών της ενωτικής ομάδας. Ο Atiyah έδωσε μια καταφατική απάντηση σε αυτήν την ερώτηση, αλλά αισθάνθηκε τη λύση ότι του ήταν πάρα πολύ υπολογιστική και μελέτησε μια υπόθεση που θα έδινε μια φυσικότερη λύση. Αφορούσε επίσης την ερώτηση την εξίσωση Nahm, και εισήγαγε την υπόθεση Atiyah.

Αλλά για τους πιο πρακτικούς λόγους, χρησιμοποιείτε ακριβώς τις κλασσικές ομάδες. Οι εξαιρετικές ομάδες ψέματος πρόκειται να σας παρουσιάσουν ότι η θεωρία είναι λίγο μεγαλύτερη; είναι αρκετά σπάνιο ότι εμφανίζονται πάντα.


Με τον Juan Maldacena καιτον Cumrun Vafa, [107] και τον Ε. Witten [108] περιέγραψε τη δυναμική της μ-θεωρίας στις πολλαπλές με G2 το holonomy. Σε αυτά τα έγγραφα πρώτη φορά ο Atiyah έχει λειτουργήσει στις εξαιρετικές ομάδες ψέματος. Έγγραφά του με τον Μ. Hopkins [109] και τον Γ. Segal [σε 110] τον επέστρεψαν στο προηγούμενο ενδιαφέρον της Κ-θεωρίας του, περιγράφοντας μερικές στριμμένες μορφές Κ-θεωρίας με τις εφαρμογές στη θεωρητική φυσική.

Βραβεία και τιμές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι εγκαταστάσεις της Royal Society, όπου ο Atiyah ήταν πρόεδρος από το 1990 έως τo 1995

Το 1966, όταν ήταν τριάντα επτά χρονών, απονεμήθηκε το μετάλλιο τομέων, [111] για την εργασία του στην ανάπτυξη της Κ-θεωρίας, ενός γενικευμένου θεωρήματος σταθερών σημείων Lefschetz και του θεωρήματος atiyah-singer, για τις οποίες κέρδισε επίσης το βραβείο του Abel μαζί με τον Singer Isadore το 2004. [112] μεταξύ άλλων βραβείων που έχει λάβει είναι το βασιλικό μετάλλιο της Royal Society το 1968, [113] και το de Morgan Medal της μαθηματικής κοινωνίας του Λονδίνου το 1980, το βραβείο του Antonio Feltrinelli από την Lincei Accademia Nazionale το 1981, το διεθνές βραβείο Faisal Kings για την επιστήμη το 1987, [114] το μετάλλιο Copley της Royal Society το 1988, [115] το μετάλλιο του Benjamin Franklin για το διακεκριμένο επίτευγμα στις επιστήμες της αμερικανικής φιλοσοφικής κοινωνίας το 1993, [116] το εκατονταετηρίδας μετάλλιο γέννησης Jawaharlal Nehru της ινδικής εθνικής ακαδημίας επιστήμης το 1993, [117] το μετάλλιο του Προέδρου από το ίδρυμα φυσικής το 2008, [118] Grande Médaille της γαλλικής ακαδημίας των επιστημών το 2010 [119] και του μεγάλου Officier του γαλλικού d'honneur Légion το 2011.

Έτσι σκέφτομαι ότι δεν κάνει πολλή διαφορά στα μαθηματικά το να ξέρεις ότι υπάρχουν διαφορετικά είδη απλών ομάδων ή όχι. Είναι ένα ωραίο σημείο τέλους, αλλά δεν σκέφτομαι ότι έχει οποιαδήποτε θεμελιώδη σημασία..

Εκλέχτηκε ένα ξένο μέλος της Εθνικής Ακαδημίας Επιστημών, η αμερικανική ακαδημία των τεχνών και των επιστημών (1969), [121] Academie des Sciences, το Akademie Leopoldina, η βασιλική σουηδική ακαδημία, η βασιλική ιρλανδική ακαδημία, η βασιλική κοινωνία του Εδιμβούργου, η αμερικανική φιλοσοφική κοινωνία, η ινδική εθνική ακαδημία επιστήμης, ο κινεζικός Ακαδημία Επιστημών, ο αυστραλιανός Ακαδημία Επιστημών, ο ρωσικός Ακαδημία Επιστημών, ο ουκρανικός Ακαδημία Επιστημών, ο της Γεωργίας Ακαδημία Επιστημών, η Βενεζουέλα Ακαδημία Επιστημών, ο νορβηγικοί Ακαδημία Επιστημών και οι επιστολές, ο βασιλικός ισπανικός Ακαδημία Επιστημών, το dei Lincei Accademia και Μαθηματική κοινωνία της Μόσχας. [5] [8] Το 2012 έγινε συνεργάτης της αμερικανικής μαθηματικής κοινωνίας. [122] Atiyah έχει απονεμηθεί τους τιμητικούς βαθμούς από τα πανεπιστήμια της Βόννης, Warwick, Durham, ST Andrews, Δουβλίνο, Σικάγο, Καίμπριτζ, Εδιμβούργο, Essex, Λονδίνο, Σάσσεξ, Γάνδη, ανάγνωση, Ελσίνκι, Σαλαμάνκα, Μόντρεαλ, Ουαλία, Λίβανος, της βασίλισσας (Καναδάς), Keele, Μπέρμιγχαμ, UMIST, καφετής, heriot-Watt, Μεξικό, Οξφόρδη, Χονγκ Κονγκ (κινεζικό πανεπιστήμιο), το ανοικτό πανεπιστήμιο, αμερικανικό πανεπιστήμιο της Βηρυττού, το τεχνικό πανεπιστήμιο της Καταλωνίας και Λέιτσεστερ.

Έπρεπε να φορέσω κάποια αλεξίσφαιρη φανέλλα μετά από αυτήν!

Ο Atiyah έγινε ένας Knight Bachelor το 1983 [5] και έγινε μέλος του Order of Merit το 1992. [8]

Το κτήριο του Michael Atiyah [124] στο πανεπιστήμιο Λέιτσεστερ και η έδρα του Michael Atiyah στις μαθηματικές επιστήμες [125] στο αμερικανικό πανεπιστήμιο της Βηρυττού ονομάστηκαν Atiyah, σχολιάζοντας την αντίδραση στο προηγούμενο απόσπασμα.

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Σφάλμα αναφοράς: Σφάλμα παραπομπής: Λανθασμένο <ref>. Δεν υπάρχει κείμενο για τις παραπομπές με όνομα genealogy.
  2. Atiyah 1988a
  3. Atiyah 1989
  4. Atiyah 1988b