Κριτήριο παρεμβολής

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Στην μαθηματική ανάλυση το κριτήριο παρεμβολής είναι ένα πολύ σημαντικό θεώρημα όταν επιθυμούμε να επιβεβαιώσουμε το όριο μιας συνάρτησης. Η χρήση του κριτηρίου βασίζεται στη σύγκριση της συνάρτησης μας με δύο άλλες συναρτήσεις των οποίων τα όρια είναι ίσα και επιπλέον είναι γνωστά ή μπορούν εύκολα να υπολογιστούν. Χρησιμοποιήθηκε πρώτη φορά από τον Αρχιμήδη και τον Εύδοξο στην προσπάθειά τους να υπολογίσουν την τιμή του π και διατυπώθηκε σε σύγχρονους όρους από τον Γκάους.

Το κριτήριο λέει ότι όταν δύο συναρτήσεις έχουν το ίδιο όριο και μια τρίτη συνάρτηση παίρνει τιμές μεταξύ των τιμών των δύο αυτών συναρτήσεων τότε το όριο της είναι ίσο με το όριο των δύο άλλων.

Διατύπωση του Κριτηρίου[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η συνάρτηση με μπλε χρώμα παίρνει τιμές μεταξύ των συναρτήσεων με κόκκινο και πράσινο χρώμα, οπότε έχει ίδιο όριο με αυτές, σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής

Η αυστηρή διατύπωση του κριτηρίου είναι η εξής:

Έστω g,f,h:A \rightarrow \mathbb{R} τρεις πραγματικές συναρτήσεις και x_0 ένα σημείο συσσώρευσης του Α. Αν ισχύει:

g(x) \leq f(x) \leq h(x) για κάθε x \in A

και:

\lim_{x \to x_0} g(x) = L = \lim_{x \to x_0} h(x)

τότε:

\lim_{x \to x_0} f(x) = L

Απόδειξη[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η απόδειξη χρησιμοποιεί τον ε-δ ορισμό του ορίου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x_0. Ξεκινούμε με ένα τυχαίο ε >0 και ζητούμε ένα δ(ε) > 0 τέτοιο ώστε να ικανοποιείται ο ορισμός του ορίου συνάρτησης.

Έστω ε > 0. Αφού ισχύει \scriptstyle \lim_{x \to x_0} g(x) = L = \lim_{x \to x_0} h(x) έχουμε ότι:

υπάρχει δ1 > 0 τέτοιο ώστε: αν x \in A και 0 < |x - x_0| < \delta_1 τότε |g(x) - L| < \epsilon
υπάρχει δ2 > 0 τέτοιο ώστε: αν x \in A και 0 < |x - x_0| < \delta_2 τότε |h(x) - L| < \epsilon

Ορίζουμε \delta = min \lbrace \delta_1, \delta_2 \rbrace > 0. Τότε αν 0< |x - x_0| < \delta έχουμε:

0 < |x - x_0| < \delta \leq \delta_1 και άρα |g(x) - L| < \epsilon
0< |x - x_0| < \delta \leq \delta_2 και άρα |h(x) - L| < \epsilon

Επομένως έχουμε:

|g(x) - L| < \epsilon και άρα L - \epsilon < g(x)
|h(x) - L| < \epsilon και άρα  h(x) < L + \epsilon

και αφού g(x) \leq f(x) \leq h(x) για κάθε x \in A ισχύει ότι:

L - \epsilon < g(x) \leq f(x) \leq  h(x) < L + \epsilon

Από την πιο πάνω παίρνουμε την:

L - \epsilon \leq f(x) < L + \epsilon

και τελικα

|f(x) - L| < \epsilon

Η τελευταία σχέση ισχύει για κάθε ε > 0 επομένως από τον ορισμό του ορίου συνάρτησης:

\lim_{x \to x_0} f(x) = L

Παρατηρήσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Το κριτήριο παρεμβολής ισχύει και όταν οι ανισότητες είναι γνήσιες δηλαδή και όταν:
g(x) < f(x) < h(x) για κάθε x \in A
  • Το κριτήριο παρεμβολής ισχύει και όταν η ανισότητα:
g(x) \leq f(x) \leq h(x)

ισχυει μόνο για μια περιοχή του x_0. Δεν χρειάζεται δηλαδή να ισχύει για κάθε x στο πεδίο ορισμού αλλά απλώς να ισχύει σε ένα διάστημα (x_0 - δ, x_0 + δ).