Θεώρημα του Έρενφεστ

Κβαντική Μηχανική
$\Delta x\Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$.
Θεωρητικό υπόβαθρο Κλασική μηχανική Παλαιά κβαντική θεωρία Συμβολή Συμβολισμός Bra-ket Χαμιλτονιανή
Θεμελιώδεις αρχές Κβαντική κατάσταση Κυματοσυνάρτηση Αρχή της επαλληλίας Κβαντική εμπλοκή Αρχή της συμπληρωματικότητας Κυματοσωματιδιακός δυϊσμός Αρχή της απροσδιοριστίας Μέτρηση στην κβαντική μηχανική Αρχή του αποκλεισμού Κβαντική αποσυσχέτιση Θεώρημα του Έρενφεστ Φαινόμενο σήραγγας Κβαντική μή τοπικότητα Κβαντική αμνησία
Πειράματα Πείραμα της διπλής σχισμής Πείραμα των Davisson–Germer Πείραμα των Stern-Gerlach Έλεγχος ισχύος ανισότητας Bell Πείραμα Popper Η γάτα του Schrödinger Συσκευή ελέγχου βόμβας Elitzur-Vaidman Πείραμα ελέγχου κβαντικής αμνησίας
Διατυπώσεις Διατύπωση κβαντικής μηχανικής κατά Schrödinger Διατύπωση κβαντικής μηχανικής κατά Heisenberg Διατύπωση κβαντικής μηχανικής κατά Dirac Ολοκληρώματα διαδρομής
Εξισώσεις Εξίσωση Schrödinger Εξίσωση Pauli Εξίσωση Klein - Gordon Εξίσωση Dirac
Κύρια θέματα - προβλήματα Αρμονικός ταλαντωτής Φαινόμενο Zeeman Θεωρία διαταραχών Κβαντική θεωρία της πληροφορίας Κβαντική θεωρία σκέδασης Κβαντική θεωρία πεδίου Κβαντικό χάος

Το Θεώρημα του Έρενφεστ (Ehrenfest) είναι θεώρημα της κβαντικής μηχανικής και ονομάστηκε έτσι, επειδή διατυπώθηκε από τον φυσικό και μαθηματικό Πάουλ Έρενφεστ.
Χρησιμοποιώντας το θεώρημα αυτό, βρίσκουμε κάποιες σχέσεις οι οποίες μας θυμίζουν την κλασσική μηχανική. Δηλαδή οι κβαντικές μέσες τιμές εξελίσσονται κλασσικά.

Διατύπωση θεωρήματος Έρενφεστ

Έστω ένα φυσικό σύστημα που έχει Χαμιλτονιανή Ĥ και έστω ένα μέγεθος Â που περιγράφει το σύστημα αυτό. Τότε, ισχύει το θεώρημα Έρενφεστ:

$\frac{\partial \langle \hat{A}\rangle}{\partial t}=\frac{1}{i\hbar} \left\langle \left[\hat{A},\hat{H}\right] \right\rangle +\left\langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\right\rangle$

Το <â> συμβολίζει τη μέση τιμή του μεγέθους â, ενώ το [â,ĉ] συμβολίζει το μεταθέτη των τελεστών â, ĉ και ισούται με [â,ĉ]=âĉ-ĉâ.

Απόδειξη του θεωρήματος Έρενφεστ

Η μέση τιμή ενός μεγέθους Â σε ένα σύστημα με Χαμιλτονιανή Ĥ και κυματοσυνάρτηση Ψ ισούται με:

$\left\langle \hat{A}\right\rangle=\int_{V_{\infty}}\Psi^*\hat{A}\Psi dV$, όπου dV ο στοιχειώδης όγκος.

Έχουμε λοιπόν:

$\frac{\partial \langle \hat{A}\rangle}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\int_{V_{\infty}}\Psi^*\hat{A}\Psi dV=\int_{V_{\infty}}\frac{\partial \Psi^*}{\partial t}\hat{A}\Psi dV+\int_{V_{\infty}}\Psi^*\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\Psi dV+\int_{V_{\infty}}\Psi^*\hat{A}\frac{\partial\Psi}{\partial t} dV$

Από την εξίσωση Schrodinger έχουμε ότι:

$i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}=\hat{H}\Psi \Leftrightarrow \frac{\partial \Psi}{\partial t}=\frac{1}{i\hbar}\hat{H}\Psi$

Επίσης παίρνοντας την συζυγή σχέση έχουμε:

$\frac{\partial \Psi^*}{\partial t}=-\frac{1}{i\hbar}\Psi^*\hat{H}^*=-\frac{1}{i\hbar}\Psi^*\hat{H}$ (η σχέση αυτή γίνεται πιο προφανής με τον συμβολισμό του Dirac), όπου χρησιμοποιήθηκε η αυτοσυζυγία της Χαμιλτονιανής, δηλαδή το ότι $\hat{H}^*=\hat{H}$

Επίσης είναι προφανές ότι:

$\int_{V_{\infty}}\Psi^*\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\Psi dV=\left\langle\frac{\partial \hat A}{\partial t}\right\rangle$

Αντικαθιστώντας στην αρχική, έχουμε:

$\begin{align} & \frac{\partial \langle \hat{A}\rangle}{\partial t}=-\frac{1}{i\hbar}\int_{V_{\infty}}\Psi^*\hat{H}\hat{A}\Psi dV + \left\langle\frac{\partial \hat A}{\partial t}\right\rangle + \frac{1}{i\hbar}\int_{V_{\infty}}\Psi^*\hat{A}\hat{H}\Psi dV=\frac{1}{i\hbar}\int_{V_{\infty}}\Psi^*\left(\hat{A}\hat{H}-\hat{H}\hat{A}\right)\Psi dV + \left\langle\frac{\partial \hat A}{\partial t}\right\rangle= \\ & =\frac{1}{i\hbar}\int_{V_{\infty}}\Psi^*\left[\hat{A},\hat{H}\right]\Psi dV + \left\langle\frac{\partial \hat A}{\partial t}\right\rangle = \frac{1}{i\hbar}\left\langle\left[\hat{A},\hat{H}\right]\right\rangle + \left\langle\frac{\partial \hat A}{\partial t}\right\rangle \end{align}$

Και καταλήγουμε στην:

$\frac{\partial \langle \hat{A}\rangle}{\partial t}=\frac{1}{i\hbar} \left\langle \left[\hat{A},\hat{H}\right] \right\rangle +\left\langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\right\rangle$

ο.έ.δ.

Εφαρμογές του θεωρήματος

Εφαρμογή για τη θέση x

$\begin{align} & \frac{\partial \langle \hat{x}\rangle}{\partial t}=\frac{1}{i\hbar} \left\langle \left[\hat{x},\hat{H}\right] \right\rangle +\left\langle \frac{\partial \hat{x}}{\partial t}\right\rangle=\frac{1}{i\hbar} \left\langle \left[\hat{x},\hat{H}\right] \right\rangle+0=\frac{1}{i\hbar} \left\langle \left[\hat{x},\frac{\hat{p_x}^2}{2m}+V(x)\right] \right\rangle=\frac{1}{i\hbar} \left\langle \left[\hat{x},\frac{\hat{p_x}^2}{2m}\right]+\left[\hat{x},V(x)\right] \right\rangle= \\ & =\frac{1}{i\hbar 2m} \left\langle \hat{p}_x\left[\hat{x},\hat{p_x}\right]+\left[\hat{x},\hat{p_x}\right]\hat{p}_x+0 \right\rangle=\frac{1}{i\hbar 2m} \left\langle 2i\hbar \hat{p}_x\right\rangle \end{align}$

Και τελικά καταλήγουμε στην:

$\frac{\partial \langle \hat{x}\rangle}{\partial t}=\frac{\left\langle\hat{p}_x\right\rangle}{m}$, η οποία μας θυμίζει την κλασσική σχέση για την ταχύτητα.

Εφαρμογή για την ορμή p_x

Η εφαρμογή στην ορμή μα δίνει με παρόμοιους συλλογισμούς την:

$\frac{\partial \left\langle \hat{p}_x\right\rangle}{\partial t}=- \left\langle \frac{\partial V(x)}{\partial x}\right\rangle$, η οποία μας θυμίζει τη σχέση του 2ου νόμου του Newton (Νέυτωνος).

Εσωτερικοί Σύνδεσμοι

• Συμβολισμός Ντιράκ
• Τελεστής
• Μεταθέτης τελεστή
• Χαμιλτονιανή μηχανική