Θεώρημα του Έρενφεστ

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Κβαντική Μηχανική
\Delta x\Delta p \ge \frac{\hbar}{2}
Πρότυπο: προβ.  συζ.  επεξ.

Το Θεώρημα του Έρενφεστ (Ehrenfest) είναι θεώρημα της κβαντικής μηχανικής και ονομάστηκε έτσι, επειδή διατυπώθηκε από τον φυσικό και μαθηματικό Πάουλ Έρενφεστ.
Χρησιμοποιώντας το θεώρημα αυτό, βρίσκουμε κάποιες σχέσεις οι οποίες μας θυμίζουν την κλασσική μηχανική. Δηλαδή οι κβαντικές μέσες τιμές εξελίσσονται κλασσικά.

Διατύπωση θεωρήματος Έρενφεστ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω ένα φυσικό σύστημα που έχει Χαμιλτονιανή Ĥ και έστω ένα μέγεθος Â που περιγράφει το σύστημα αυτό. Τότε, ισχύει το θεώρημα Έρενφεστ:

\frac{\partial \langle \hat{A}\rangle}{\partial t}=\frac{1}{i\hbar} \left\langle \left[\hat{A},\hat{H}\right] \right\rangle +\left\langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\right\rangle

Το <â> συμβολίζει τη μέση τιμή του μεγέθους â, ενώ το [â,ĉ] συμβολίζει το μεταθέτη των τελεστών â, ĉ και ισούται με [â,ĉ]=âĉ-ĉâ.

Απόδειξη του θεωρήματος Έρενφεστ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η μέση τιμή ενός μεγέθους Â σε ένα σύστημα με Χαμιλτονιανή Ĥ και κυματοσυνάρτηση Ψ ισούται με:

\left\langle \hat{A}\right\rangle=\int_{V_{\infty}}\Psi^*\hat{A}\Psi dV, όπου dV ο στοιχειώδης όγκος.

Έχουμε λοιπόν:

\frac{\partial \langle \hat{A}\rangle}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\int_{V_{\infty}}\Psi^*\hat{A}\Psi dV=\int_{V_{\infty}}\frac{\partial \Psi^*}{\partial t}\hat{A}\Psi dV+\int_{V_{\infty}}\Psi^*\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\Psi dV+\int_{V_{\infty}}\Psi^*\hat{A}\frac{\partial\Psi}{\partial t} dV

Από την εξίσωση Schrodinger έχουμε ότι:

i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}=\hat{H}\Psi \Leftrightarrow \frac{\partial \Psi}{\partial t}=\frac{1}{i\hbar}\hat{H}\Psi

Επίσης παίρνοντας την συζυγή σχέση έχουμε:

\frac{\partial \Psi^*}{\partial t}=-\frac{1}{i\hbar}\Psi^*\hat{H}^*=-\frac{1}{i\hbar}\Psi^*\hat{H} (η σχέση αυτή γίνεται πιο προφανής με τον συμβολισμό του Dirac), όπου χρησιμοποιήθηκε η αυτοσυζυγία της Χαμιλτονιανής, δηλαδή το ότι \hat{H}^*=\hat{H}

Επίσης είναι προφανές ότι:

\int_{V_{\infty}}\Psi^*\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\Psi dV=\left\langle\frac{\partial \hat A}{\partial t}\right\rangle

Αντικαθιστώντας στην αρχική, έχουμε:

\begin{align}
 & \frac{\partial \langle \hat{A}\rangle}{\partial t}=-\frac{1}{i\hbar}\int_{V_{\infty}}\Psi^*\hat{H}\hat{A}\Psi dV + \left\langle\frac{\partial \hat A}{\partial t}\right\rangle + \frac{1}{i\hbar}\int_{V_{\infty}}\Psi^*\hat{A}\hat{H}\Psi dV=\frac{1}{i\hbar}\int_{V_{\infty}}\Psi^*\left(\hat{A}\hat{H}-\hat{H}\hat{A}\right)\Psi dV + \left\langle\frac{\partial \hat A}{\partial t}\right\rangle= \\
 & =\frac{1}{i\hbar}\int_{V_{\infty}}\Psi^*\left[\hat{A},\hat{H}\right]\Psi dV + \left\langle\frac{\partial \hat A}{\partial t}\right\rangle = \frac{1}{i\hbar}\left\langle\left[\hat{A},\hat{H}\right]\right\rangle + \left\langle\frac{\partial \hat A}{\partial t}\right\rangle  
 \end{align}

Και καταλήγουμε στην:

\frac{\partial \langle \hat{A}\rangle}{\partial t}=\frac{1}{i\hbar} \left\langle \left[\hat{A},\hat{H}\right] \right\rangle +\left\langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\right\rangle

ο.έ.δ.

Εφαρμογές του θεωρήματος[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εφαρμογή για τη θέση x[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

\begin{align}
 & \frac{\partial \langle \hat{x}\rangle}{\partial t}=\frac{1}{i\hbar} \left\langle \left[\hat{x},\hat{H}\right] \right\rangle +\left\langle \frac{\partial \hat{x}}{\partial t}\right\rangle=\frac{1}{i\hbar} \left\langle \left[\hat{x},\hat{H}\right] \right\rangle+0=\frac{1}{i\hbar} \left\langle \left[\hat{x},\frac{\hat{p_x}^2}{2m}+V(x)\right] \right\rangle=\frac{1}{i\hbar} \left\langle \left[\hat{x},\frac{\hat{p_x}^2}{2m}\right]+\left[\hat{x},V(x)\right] \right\rangle= \\
 & =\frac{1}{i\hbar 2m} \left\langle \hat{p}_x\left[\hat{x},\hat{p_x}\right]+\left[\hat{x},\hat{p_x}\right]\hat{p}_x+0 \right\rangle=\frac{1}{i\hbar 2m} \left\langle 2i\hbar \hat{p}_x\right\rangle  
 \end{align}

Και τελικά καταλήγουμε στην:

\frac{\partial \langle \hat{x}\rangle}{\partial t}=\frac{\left\langle\hat{p}_x\right\rangle}{m}, η οποία μας θυμίζει την κλασσική σχέση για την ταχύτητα.

Εφαρμογή για την ορμή px[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η εφαρμογή στην ορμή μα δίνει με παρόμοιους συλλογισμούς την:

\frac{\partial \left\langle \hat{p}_x\right\rangle}{\partial t}=- \left\langle \frac{\partial V(x)}{\partial x}\right\rangle, η οποία μας θυμίζει τη σχέση του 2ου νόμου του Newton (Νεύτωνος).

Εσωτερικοί Σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]