Εξίσωση Poisson

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Στα μαθηματικά, η εξίσωση Poisson (Πουασόν) είναι μια μερική διαφορική εξίσωση με ευρεία εφαρμογή στην ηλεκτροστατική, τη μηχανολογία και τη θεωρητική φυσική. Έχει πάρει το όνομά της από το Γάλλο μαθηματικό, γεωμέτρη και φυσικό Συμεών Πουασόν (Siméon Denis Poisson).

Εξίσωση ορισμού στον ηλεκτρομαγνητισμό[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι βασικές εξισώσεις του Ηλεκτρομαγνητισμού είναι:

  •  \bold{\nabla}\cdot\bold{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}
  • \bold{\nabla}\times\bold{E}=0

Συνδυάζοντας τις δύο αυτές σχέσεις προκύπτει η εξίσωση Poisson:

  • \nabla^2 \phi = - \frac{\rho}{\epsilon_0}

όπου:

Χρήση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η εξίσωση αποτελεί από μαθηματική άποψη την θεμελιώδη εξίσωση του ηλεκτροστατικού πεδίου. Από αυτήν την εξίσωση, όταν είναι γνωστή η κατανομή των φορτίων, μπορεί να υπολογιστεί το βαθμωτό δυναμικό φ και επομένως η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου.

Η εξίσωση Poisson έχει εφαρμογή και στα βαρυτικά δυναμικά. Οι βαρυτικές δυνάμεις μοιάζουν με τις ηλεκτρικές διότι και οι δυο ειναι κεντρικές και ακολουθούν το νόμο των αντιστρόφων τετραγώνων, είναι δηλαδή αντιστρόφως ανάλογες του τετραγώνου της απόστασης.

Η εξίσωση Poisson για την βαρύτητα είναι

  • \nabla^2 \phi = 4\pi G\rho_m

όπου πλέον το βαρυτικό δυναμικό εξαρτάται από την πυκνότητα μάζας, ρm. Για ρm=0 η εξίσωση ανάγεται στην εξίσωση Λαπλάς:

  • \nabla^2 \phi =0

O Αϊνστάιν στην Γενική Θεωρία της Σχετικότητας (ΓΘΣ) γενίκευσε την εξίσωση του Poisson στις εξισώσεις πεδίου της ΓΘΣ.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]