Εμίλ Λεμουάν

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Émile Michel Hyacinthe Lemoine

Ημερομηνία Γέννησης 22 Νοεμβρίου 1840 (1840-11-22)

Quimper, Γαλλία

Ημερομηνία Θανάτου 21 Φεβρουαρίου 1912 (71 ετών)

Τόπος Διαμονής Παρίσι, Γαλλία

Υπηκοότητα Γάλλος

Πεδίο Δραστηριοποίησης Μαθηματικά, μηχανική

Ιδρύματακαθηγητής στο École Polytechnique

Φοίτησε École Polytechnique

Διδακτορικός ΣύμβουλοςCharles-Adolphe Wurtz, J. Kioes

Διδακτορικοι Φοιτητές Uwe Jannsen

Γνωστός για το σημείο του Lemoine, και άλλες εργασίες στη Γεωμετρία

Ο Εμίλ Λεμουάν(1840–1912) ήταν Γάλλος πολιτικός μηχανικός και μαθηματικός, γεωμέτρης για την ακρίβεια. Σπούδασε σε μια ποικιλία ιδρυμάτων, συμπεριλαμβανομένου του Prytanée National Militaire και, πιο συγκεκριμένα στην Πολυτεχνική Σχολή École Polytechnique. Ο Λεμουάν δίδαξε ως ιδιωτικός δάσκαλος για μια μικρή περίοδο μετά την αποφοίτησή του από το ανώτερο σχολείο.

Ο Λεμουάν ήταν γνωστός για την απόδειξη της ύπαρξης του σημείου Λεμουάν (ή του symmedian σημείου) ενός τριγώνου. Άλλη μαθηματική εργασία περιλαμβάνει ένα σύστημα που το ονόμασε Géométrographie και μια μέθοδο η οποία συνέδεε αλγεβρικές εκφράσεις σε γεωμετρικά αντικείμενα. Είχε κληθεί συνιδρυτής της σύγχρονης τριγωνικής γεωμετρίας, καθώς πολλά από τα χαρακτηριστικά του είναι παρόντα στο έργο του.

Για το μεγαλύτερο μέρος της ζωής του, ο Λεμουάν ήταν καθηγητής μαθηματικών στο École Polytechnique . Στα επόμενα χρόνια, εργάστηκε ως πολιτικός μηχανικός στο Παρίσι και έδειξε επίσης ερασιτεχνικό ενδιαφέρον για τη μουσική. Κατά τη διάρκεια της παραμονής του στο École Polytechnique και ως πολιτικός μηχανικός, ο Λεμουάν έκανε διάφορες ακαδημαικές δημοσιεύσεις σχετικά με τα μαθηματικά, τα περισσότερα από τα οποία συμπεριλαμβάνονταν σε ένα δεκατεσσάρων σελίδων τμήμα της Nathan Altshiller Court's College Geometry. Επιπλέον, ίδρυσε ένα ακαδημαικό περιοδικό με τίτλο, L'intermédiaire des mathématiciens.

Βιογραφία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στα πρώτα χρόνια (1840-1869)[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο Λεμουάν γεννήθηκε στο Κιμπέρ (Quimper) του νομού Finistère στις 22 Νοεμβρίου του 1840, γιος ενός συνταξιούχου λοχαγού, ο οποίος έλαβε μέρος στις εκστρατείες της Πρώτης Γαλλικής Αυτοκρατορίας που έλαβε μέρος μετά το 1807. Σαν παιδί, υπηρέτησε τη στρατιωτική Πρυτανεία της La Flèche με υποτροφία επειδή ο πατέρας του είχε βοηθήσει να ιδρυθεί το σχολείο. Κατά τη διάρκεια αυτών των νεαρών του χρόνων, έκδωσε άρθρο στην εφημερίδα Nouvelles annales de mathématiques, συζητώντας τις ιδιότητες του τριγώνου. [1]

Ο Λεμουάν έγινε δεκτός στο École Polytechnique του Παρισιού στην ηλικία των είκοσι, την ίδια χρονιά που πέθανε ο πατέρας του. [2][3]Σαν μαθητής εκεί, ο Lemoine,[4] βοήθησε να δημιουργηθεί ένα ερασιτεχνικό μουσικό συγκρότημα που λεγόταν La Trompette, για το οποίο o Καμίγ Σαιν-Σανς συνέθετε διάφορα κομμάτια. Μετά την αποφοίτηση το 1866, σκέφτηκε να κάνει καριέρα στη νομική, αλλά αποθαρρύνθηκε από το γεγονός ότι η συνηγορία του για δημοκρατική ιδεολογία και οι φιλελεύθερες θρησκευτικές απόψεις του συγκρουστήκαν με τα ιδανικά της εκάστοτε κυβέρνησης, της Δεύτερης Γαλλικής Αυτοκρατορίας[1]. Αντί αυτού, σπούδασε και δίδασκε σε διάφορα ιδρύματα κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου, μελετώντας υπό τον J. Kiœs στην École d'Architecture και στην École des Mines, όπου διδάσκει ο Uwe Jannsen στα ίδια σχολεία, και μελετώντας υπό τον Charles-Adolphe Wurtz στο École des Beaux Arts και στο École de Médecine. Ο Λεμουάν επίσης υπήρξε λέκτορας σε διάφορα επιστημονικά ινστιτούτα του Παρισιού και δίδαξε ως ιδιωτικός δάσκαλος για μια περίοδο πριν δεχτεί μια θέση ως καθηγητής στο École Polytechnique.[5]

Στα μεσαία χρόνια (1870-1887)[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το 1870, μια ασθένεια του λάρυγγας τον ανάγκασε να σταματήσει τη διδασκαλία. Έκανε σύντομες διακοπές στο Γκρενόμπλ και, όταν επέστρεψε στο Παρίσι, έκδωσε μερικές από τις υπόλοιπες μαθηματικές του έρευνες. Επίσης, συμμετείχε και ίδρυσε διάφορες επιστημονικές κοινότητες και εφημερίδες, όπως την Société Mathématique de France, την Journal de Physique και την Société de Physique, όλα στο 1871.[1] Ως ιδρυτής του Association Française pour l'Avancement des Sciences, ο Λεμουάν παρουσίασε αυτό που έγινε η πιο γνωστή του δημοσίευση, Note sur les propriétés du centre des médianes antiparallèles dans un triangle στη συνάντηση του Συλλόγου του 1874 στη Λιλ. Το επίκεντρο αυτής της δημοσίευσης αφορούσε το σημείο το οποίο φέρει το όνομά του σήμερα.[6] Τα περισσότερα από τα άλλα αποτελέσματα που συζητήθηκαν στη δημοσίευση αφορούσαν ποικίλα concyclic points[ασαφές] που μπορούσαν να κατασκευαστούν από το σημείο Λεμουάν.[2]

Ο Λεμουάν υπηρέτησε στο Γαλλικό στρατό για ένα χρονικό διάστημα, τα χρόνια που ακολούθησαν τη δημοσίευση των καλύτερων του δημοσιεύσεων. Κατά τη διάρκεια της Κομμούνας απολύθηκε για να γίνει πολιτικός μηχανικός στο Παρίσι.[1] Σε αυτή την καριέρα του κατάφερε να αποκτήσει το βαθμό του επικεφαλής επιθεωρητή, μία θέση που κατείχε έως το 1896. Ως επικεφαλής επιθεωρητής ήταν υπεύθυνος για την παροχή αερίου στην πόλη.[7]

Στα τελευταία χρόνια (1888-1912)[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κατά τη διάρκεια της θητείας του ως πολιτικού μηχανικού ο Λεμουάν συνέγραψε μια διατριβή σχετικά με κατασκευές με κανόνα και διαβήτη με τίτλο La Géométrographie ou l'art des constructions géométriques, την οποία θεώρησε ως το πιο σημαντικό του έργο, παρά το γεγονός ότι δεν έλαβε καλές κριτικές.[8]

Ο αρχικός τίτλος ήταν De la mesure de la simplicité dans les Sciences mathématiques, στην αρχική ιδέα για το κείμενο θα συζητηθούν οι έννοιες που επινόησε ο Λεμουάν σε ότι αφορά το σύνολο των μαθηματικών. Οι χρονικοί περιορισμοί, ωστόσο, περιόρισαν το πεδίο εφαρμογής. [1] Αντί της αρχικής ιδέας, Ο Λεμουάν πρότεινε μια απλοποίηση της διαδικασίας κατασκευής σε μια σειρά από βασικές λειτουργίες με κανόνα και διαβήτη.[9] Ο Πρωθυπουργός παρουσίασε τη διατριβή σε μια συνεδρίαση του Συλλόγου Française στο Οράν, στην Αλγερία το 1888.Η διατριβή όμως, δεν συγκέντρωσε πολύ ενθουσιασμό ή ενδιαφέρον μεταξύ των μαθηματικών που παρευρέθησαν εκεί.[10] Ο Λεμουάν δημοσιεύσε διάφορες άλλες διατριβές σχετικά με το σύστημα κατασκευής του την ίδια χρονιά, όπως Sur la mesure de la dans les constructions simplicité géométriques στο Comptes rendus της Académie française. Έχει εκδώσει πρόσθετα έγγραφα σχετικά με το θέμαMathesis (1888), Journal des mathématiques élémentaires (1889), Nouvelles Annales de mathématiques (1892), καθώς και το δημοσιευμένο La Géométrographie ou l'art des constructions géométriques, το οποίο παρουσιάστηκε κατά τη συνεδρίαση του Συλλόγου Française στο Πω (1892), και πάλι στο Μπεζανσόν (1893) και Καέν (1894).[1]

Μετά από αυτό,ο Λεμουάν δημοσίευσε μια άλλη σειρά εγγράφων, συμπεριλαμβανομένης μιας σειράς που ονόμασε μετασχηματισμός συνεχής (συνεχής μετασχηματισμός), η οποία αφορούσε μαθηματικές [Εξίσωση|εξισώσεις] για γεωμετρικά σχήματα. Αυτή η έννοια ήταν ξεχωριστή από το σύγχρονο ορισμό του μετασχηματισμού. Εκθέσεις του για το θέμα αυτό περιλαμβάνουν Sur les transformations systématiques des formules relatives au triangle (1891), Étude sur une nouvelle transformation continue (1891), Une règle d'analogies dans le triangle et la spécification de certaines analogies à une transformation dite transformation continue (1893), and Applications au tétraèdre de la transformation continue (1894).[1]

Το 1894, ο Λεμουάν συνίδρυσε ένα άλλο μαθηματικό περιοδικό με τίτλο L'intermédiaire des mathématiciens μαζί με τον Λαιζάν (Laisant), ένα φίλο του τον οποίο συνάντησε στο École Polytechnique. Ο Λεμουάν συνέλαβε την ιδέα για ένα τέτοιο περιοδικό από τις αρχές του 1893, αλλά σκέφτηκε ότι θα ήταν πάρα πολύ απασχολημένος για να το υλοποιήσει. Σε ένα δείπνο με τον Laisant τον Μάρτιο του 1893, πρότεινε την ιδέα του περιοδικού. Ο Laisant τον δελέασε να δημιουργήσει το περιοδικό, και έτσι προσέγγισαν τον εκδότη Gauthier-Villars, η πρώτη έκδοση δημοσιεύτηκε τον Ιανουάριο του 1894. Ο Λεμουάν υπηρέτησε ως αρχισυντάκτης του περιοδικού, και κατείχε τη θέση για αρκετά χρόνια. Το έτος μετά την αρχική έκδοση του περιοδικού, αποσύρθηκε από τη μαθηματική έρευνα, αλλά συνέχισε να υποστηρίζει το θέμα. [6] Ο Λεμουάν πέθανε στις 21 Φεβρουαρίου του 1912, στην ιδιαίτερη πατρίδα του το Παρίσι. [2]

Συνεισφορές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Tο έργο του Lemoine συνέβαλε στο να μπούν τα θεμέλια της σύγχρονης γεωμετρίας του τριγώνου. [11] Η American Mathematical Monthly, στην οποία μεγάλο μέρος της δουλειάς του Lemoine δημοσιευόταν, δήλωσε ότι "Περισσότερο στον Lemoine,σε σχέση με τους άλλους γεωμέτρες οφείλεται το ξεκίνημα αυτού του κινήματος [της σύγχρονης γεωμετρίας τριγώνου] ... "[1] Κατά την ετήσια συνεδρίαση της Ακαδημίας Επιστημών των Παρισίων το 1902,ο Lemoine έλαβε το 1000-Francoeur βραβείο, [11], το οποία κατείχε για πολλά χρόνια. [12] which he held for several years.[13]

Lemoine σημείο και ο κύκλος[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το 1874 στην εργασία του, με τίτλο Note sur les propriétés du centre des médianes antiparallèles dans un triangle,ο Lemoine απέδειξε την ταύτιση των συμμετροδιαμέσων ενός τριγώνου, τις ανακλάσεις των διαμέσων του τριγώνου με τις διχοτόμους των γωνιών . Άλλα συμπεράσματα από την εργασία είναι η ιδέα ότι ο συμμετροδιάμεσος από μία κορυφήτου τριγώνου χωρίζει την αντίθετη πλευρά σε τμήματα των οποίων η αναλογία είναι ίση με την αναλογία των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών.

Ο Lemoine επίσης απέδειξε ότι εάν γραμμές σύρονται μέσω του σημείου Lemoine παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου, τότε τα έξι σημεία τομής των γραμμών και των πλευρών του τριγώνου είναι συγκυκλικά, ή ότι βρίσκονται σε ένα κύκλο.[14] Αυτός ο κύκλος είναι πλέον γνωστός ως πρώτος κύκλος του Lemoine, ή απλά ο Lemoine κύκλος. [2][15] Το σημείο του Lemoine:Κ. Οι μπλε γραμμές είναι οι διάμεσοι,οι πρασινες γραμμές είναι οι διχοτόμοι των γωνιών και οι κόκκινες γραμμές είναι τα ύψη(οι αντανακλάσεις των μπλε στις κόκκινες γραμμές).

Σύστημα κατασκευής[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το σύστημα των κατασκευών Lemoine, η Géométrographie, σκόπευε να δημιουργήσει ένα μεθολογικό σύστημα με το οποίο θα μπορούσαν να αξιολογηθούν κατασκευές. Το σύστημα αυτό επέτρεψε μια πιο άμεση διαδικασία για την απλούστευση των υφιστάμενων κατασκευών. Στην περιγραφή του, απαρίθμησε πέντε κύριες διαδικασίες: τοποθέτηση διαβήτη καταλήγοντας σε ένα συγκεκριμένο σημείο, τοποθετώντας το σε μια δεδομένη γραμμή, σχηματίζοντας έναν κύκλο με τον διαβήτη, τοποθετημένος επί του προαναφερθέντος σημείου ή γραμμής,τοποθέτηση ενός χάρακα σε μια δεδομένη γραμμή, και επεκτείνοντας τη γραμμή με το χάρακα. [14][16]

Η «απλότητα» μιας κατασκευής θα μπορούσε να μετρηθεί από τον αριθμό των διαδικασιών της. Στο έργο του, συζήτησε ως παράδειγμα το [Απολλώνιο πρόβλημα|Απολλώνιο πρόβλημα] που αρχικά θέτει ο [Απολλωνίς της Περγάμου|Απολλώνιος της Περγάμου] κατά τη διάρκεια της Ελληνιστικής περιόδου: τη μέθοδος κατασκευής ενός κύκλου εφαπτομένου σε τρεις δεδομένους κύκλους. Το πρόβλημα είχε ήδη λυθεί από τον Joseph Diaz Gergonne το 1816 με μία κατασκευή της απλότητας 400, αλλά η λύση που παρουσιάζεται από τον Lemoine είχε απλότητα 154. [2] [16] Απλούστερες λύσεις όπως εκείνες του Frederick Soddy το 1936 και από τον David Eppstein το 2001 είναι γνωστό ότι υπάρχουν.[2][17] Simpler solutions such as those by Frederick Soddy in 1936 and by David Eppstein in 2001 are now known to exist.[18]

Εικασίες και επεκτάσεις Lemoine[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το 1894, ο Λεμουάν δήλωσε εμπειρικά αυτό που είναι τώρα γνωστό ως εικασία Λεμουάν στους πρώτους. Κάθε μονός αριθμός ο οποίος είναι μεγαλύτερος από τρεις μπορεί να εκφραστεί με τη μορφή 2p + q, όπου p και q είναι πρώτοι. [18] Το 1985, οι John Kiltinen και Peter Young εικάζουν μια παράταση της εικασίας που την ονόμασαν «εκλεπτυσμένη εικασία Lemoine". Δημοσίευσαν την εικασία σε ένα περιοδικό της Μαθηματικής Ένωσης της Αμερικής: " Για κάθε μονό αριθμό m που είναι τουλάχιστον 9, υπάρχουν μονοί πρώτοι αριθμοί p, q, r και s και θετικοί ακέραιοι j και k όπως m = 2p + q, 2 + pq = 2j + r και 2q + p = 2k + s. [...] η έρευνα κατεύθυνε την προσοχή μας σε πιο λεπτές πτυχές της πρόσθετης θεωρίας των μονών αριθμών. Η εικασία μας το αντανακλά, αντιμετωπίζοντας αλληλεπιδράσεις των αθροισμάτων συμπεριλαμβανομένων πρώτων (αριθμών) όπως η εικασία του Goldbach και η εικασία του Λεμουάν αντιμετωπίζει παρόμοια αθροίσματα μόνο μεμονωμένα. Αυτή η εικασία και οι ανοιχτές ερωτήσεις σχετικά με αριθμούς στα επίπεδα δύο και τρία παρουσιάζουν ενδιαφέρον για το δικό τους λόγο εξαιτίας των θεμάτων που αναπτύσσονται μέσα με αυτή τη φαντασμαγορική και συχνά μπλέκοντας την πρόσθετη σφαίρα των πρώτων αριθμών." [19]

Ο ρόλος στη Γεωμετρία του τριγώνου[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο Lemoine χαρακτηρίστηκε από τον Nathan Altshiller Court ως ο συνδημιουργός (μαζί με τους Henri Brocard και Joseph Neuberg) της μοντέρνας Γεωμετρίας του τριγώνου, ένας όρος που χρησιμοποιήθηκε από τον William Gallatly, μεταξύ άλλων.[14] Σε αυτό το πλαίσιο, ο όρος "μοντέρνο" χρησιμοποιείται για να αναφερθεί στη Γεωμετρία που αναπτύχθηκε από το τέλος του 18ου αιώνα και μετά.[20]Τέτοια Γεωμετρία στηρίζεται στην αφαίρεση αριθμητικών στοιχείων με απλές παρά με αναλυτικές μεθόδους που χρησιμοποιήθηκαν νωρίτερα εμπεριέχοντας συγκεκριμένες μετρήσεις γωνιών και αποστάσεων. Η Γεωμετρία επικεντρώνεται σε θέματα όπως συγγραμικότητα, συγχρονισμός και concyclicity μιας και δε εμπεριέχουν τα μέτρα που αναφέρθηκαν προηγουμένως.[21]

Το έργο του Lemoine καθόρισε πολλά από τα αναφερόμενα γνωρίσματα αυτού του κινήματος. Η Géométrographie του και ο συσχετισμός με εξισώσεις για τα τετράεδρα και τα τρίγωνα,όπως και η μελέτη του για τα νομίσματα και concyclities, συνείσφερε στην μοντέρνα Γεωμετρία τριγώνου των καιρών. Η επεξήγηση των πόντων του τριγώνου όπως ο πόντος Lemoine ήταν επίσης μια συνεχεία της Γεωμετρίας μιας και άλλοι σύγχρονοι Γεωμέτρες τριγώνου όπως οι Brocard και Gaston Tarry έγραψαν για παρόμοιους πόντους.[20]

Λίστα επιλεγμένων εργασιών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Sur quelques propriétés d'un point remarquable du triangle (1873)
  • Note sur les propriétés du centre des médianes antiparallèles dans un triangle (1874)
  • Sur la mesure de la simplicité dans les tracés géométriques (1889)
  • Sur les transformations systématiques des formules relatives au triangle (1891)
  • Étude sur une nouvelle transformation continue (1891)
  • La Géométrographie ou l'art des constructions géométriques (1892)
  • Une règle d'analogies dans le triangle et la spécification de certaines analogies à une transformation dite transformation continue (1893)
  • Applications au tétraèdre de la transformation continue (1894)
  • "Note on Mr. George Peirce's Approximate Construction for π". Bull. Amer. Math. Soc. 8 (4): 137–148. 1902.

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 Smith, David Eugene (1896). "Biography of Émile-Michel-Hyacinthe Lemoine". American Mathematics Monthly (Mathematical Association of America) 3: 29–33. 
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 O'Connor, J.J.; Robertson, E.F. «Émile Michel Hyacinthe Lemoine». MacTutor. http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Lemoine.html. Ανακτήθηκε στις 2008-02-26. 
  3. «École Polytechnique - 208 years of history». École Polytechnique. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις April 5, 2008. http://web.archive.org/web/20080405010945/http://www.polytechnique.edu/page.php?MID=28. Ανακτήθηκε στις 2008-03-21. 
  4. Charles Lenepveu. Letter to Émile Lemoine. February 1890. The Morrison Foundation for Musical Research. Retrieved on 2008-05-19
  5. Kimberling, Clark. «Émile Michel Hyacinthe Lemoine (1840–1912), geometer». University of Evansville. http://faculty.evansville.edu/ck6/bstud/lemoine.html. Ανακτήθηκε στις 2008-02-25. 
  6. 6,0 6,1 Gentry, F.C. (December 1941). "Analytic Geometry of the Triangle". National Mathematics Magazine (Mathematical Association of America) 16 (3): 127–40. 
  7. Weisse, K. (1989). "Zur Geschichte des Lemoineschen Punktes" (στα German). Beiträge zur Geschichte, Philosophie und Methodologie der Mathematik (Wiss. Z. Greifswald. Ernst-Moritz-Arndt-Univ. Math.-Natur. Reihe) 38 (4): 73–4. 
  8. Greitzer, S.L. (1970). Dictionary of Scientific Biography. New York: Charles Scribner's Sons. 
  9. Greitzer, S.L. (1970). Dictionary of Scientific Biography. New York: Charles Scribner's Sons. 
  10. Coolidge, Julian L. (1980). A History of Geometrical Methods. Oxford: Dover Publications. σελ. 58. ISBN 0-486-49524-8. 
  11. Kimberling, Clark. «Triangle Geometers». University of Evansville. http://faculty.evansville.edu/ck6/bstud/tg.html. Ανακτήθηκε στις 2008-02-25. 
  12. "Disseminate". Bulletin of the American Mathematical Society (American Mathematical Society) 9 (5): 272–5. 1903. http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?handle=euclid.bams/1183417334&view=body&content-type=pdf_1. Ανακτήθηκε στις 2008-04-24. 
  13. "Notes" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society (American Mathematical Society) 18 (8): 424. 1912. http://www.ams.org/bull/1912-18-08/S0002-9904-1912-02239-5/S0002-9904-1912-02239-5.pdf. Ανακτήθηκε στις 2008-05-11. 
  14. 14,0 14,1 14,2 Nathan Altshiller Court (1969). College Geometry (2 έκδοση). New York: Barnes and Noble. ISBN 0-486-45805-9. 
  15. Lachlan, Robert (1893-01-01). An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry. Cornell University Library. ISBN 978-1-4297-0050-4. 
  16. Lemoine, Émile. La Géométrographie ou l'art des constructions géométriques. (1903), Scientia, Paris (in French)
  17. Eric W. Weisstein CRC Concise Encyclopedia of Mathematics (CRC Press, 1999), 733–4.
  18. "Apollonius’ Problem: A Study of Solutions and Their Connections" (PDF). American Journal of Undergraduate Research (University of Northern Iowa) 3 (1). 2004-02-29. http://www.ajur.uni.edu/v3n1/Gisch%20and%20Ribando.pdf. Ανακτήθηκε στις 2008-04-16. 
  19. "Goldbach, Lemoine, and a Know/Don't Know Problem". Mathematics Magazine (Mathematical Association of America) 48 (4): 195–203. September 1984. 
  20. 20,0 20,1 Gallatly, William (December 2005). The Modern Geometry of the Triangle. Scholarly Publishing Office. σελ. 79. ISBN 978-1-4181-7845-1. 
  21. Steve Sigur (1999). The Modern Geometry of the Triangle (PDF). Paideiaschool.org. Retrieved on 2008-04-16.