Ελάχιστο πολυώνυμο

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Έστω  \mathit{L}:\mathit{K} επέκταση σωμάτων και ένα στοιχείο a \in L αλγεβρικό επί του \mathit{K}.Ως ελάχιστο πολυώνυμο του a επί του \mathit{K} (minimum polynomial of a over K) ορίζουμε το μοναδικό μονικό πολυώνυμο m(t) \in \mathit{K}[t] ελαχίστου βαθμού για το οποίο ισχύει m(a)=0.

Παράδειγμα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Το i \in \mathbb{C} είναι αλγεβρικό στοιχείο επί του \mathbb{R} καθως είναι ρίζα του p(t)=t^2+1 \in \mathbb{R}[t] το οποίο είναι και το ελάχιστο πολυώνυμο του i επι του \mathbb{R}.Πράγματι αν υπήρχε μονικό πολυώνυμο μικροτέρου βαθμού στο \mathbb{R}[t] με n(i)=0 τότε επειδή degn < degm=2 το n(t) θα ήταν της μορφής n(t)=t+q από το οποίο έπεται ότι i \in \mathbb{R} άτοπο.