Ελάχιστο πολυώνυμο

Έστω $\mathit{L}:\mathit{K}$ επέκταση σωμάτων και ένα στοιχείο $a \in L$ αλγεβρικό επί του $\mathit{K}$.Ως ελάχιστο πολυώνυμο του $a$ επί του $\mathit{K}$ (minimum polynomial of a over K) ορίζουμε το μοναδικό μονικό πολυώνυμο $m(t) \in \mathit{K}[t]$ ελαχίστου βαθμού για το οποίο ισχύει $m(a)=0$.

Παράδειγμα

• Το $i \in \mathbb{C}$ είναι αλγεβρικό στοιχείο επί του $\mathbb{R}$ καθως είναι ρίζα του $p(t)=t^2+1 \in \mathbb{R}[t]$ το οποίο είναι και το ελάχιστο πολυώνυμο του i επι του $\mathbb{R}$.Πράγματι αν υπήρχε μονικό πολυώνυμο μικροτέρου βαθμού στο $\mathbb{R}[t]$ με $n(i)=0$ τότε επειδή $degn < degm=2$ το $n(t)$ θα ήταν της μορφής $n(t)=t+q$ από το οποίο έπεται ότι $i \in \mathbb{R}$ άτοπο.