Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, ΕΚΠ, δύο ή περισσοτέρων φυσικών αριθμών, όπως δηλώνει ο όρος, είναι ο ελάχιστος (μικρότερος), φυσικός αριθμός που διαιρείται ακριβώς με καθένα εξ αυτών. Για την εύρεση του ΕΚΠ αναλύονται οι δοσμένοι αριθμοί σε γινόμενα πρώτων παραγόντων όπου και δημιουργείται ένα τελικό γινόμενο με τους κοινούς και μη κοινούς παράγοντες στη μεγαλύτερη φερόμενη δύναμη εκάστου. Το τελικό γινόμενο αυτό δίδει το ΕΚΠ των δοσμένων αριθμών.
Το ΕΚΠ είναι ένας σημαντικός αριθμός για τους υπολογισμούς των ακεραίων αριθμών.

Ορολογία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω δύο φυσικοί αριθμοί α και β. Πολλαπλάσιο του αριθμού α λέγεται κάθε φυσικός αριθμός κ για τον οποίο υπάρχει αριθμός μ τέτοιος, ώστε: μα=κ Με άλλα λόγια πολλαπλάσια του α είναι οι φυσικοί αριθμοί: α, 2α, 3α, 4α, ... Κάθε πολλαπλάσιο του α είναι μεγαλύτερο ή ίσο του α, αφού ο μ είναι φυσικός (μη μηδενικός) αριθμός.

Κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών α και β λέγεται κάθε αριθμός κ, ο οποίος είναι ταυτόχρονα πολλαπλάσιο του α και πολλαπλάσιο του β. Δηλαδή υπάρχουν φυσικοί αριθμοί μ και ν τέτοιοι, ώστε μα=νβ=κ. Κάθε ζεύγος α και β έχει άπειρο πλήθος κοινών πολλαπλάσιων. Κάθε κοινό πολλαπλάσιο είναι μεγαλύτερο ή ίσο με τους α και β.

(Πρόχειρη) απόδειξη:

Ο αριθμός αβ είναι πολλαπλάσιο του α και του β. Το ίδιο και οι αριθμοί 2αβ, 3αβ, 4αβ, ...

Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών α και β είναι το μικρότερο κοινό πολλαπλάσιο των α και β. Επειδή, κάθε κοινό πολλαπλάσιο είναι μεγαλύτερο ή ίσο με τους α και β, αποδεικνύεται ότι υπάρχει ελάχιστο πολλαπλάσιο τους.

Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των α, β συμβολίζεται με ΕΚΠ(α,β).

Τρόποι εύρεσης ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου των α και β[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Με παραγοντοποίηση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραγοντοποιούμε τους α και β σε γινόμενο πρώτων διαιρετών. Αποδεικνύεται ότι το ΕΚΠ(α,β) ισούται με το γινόμενο όλων των πρώτων παραγόντων (κοινών και μη κοινών) υψωμένου του καθενός στη μεγαλύτερή του δύναμη. Για παράδειγμα:

Έστω ότι α=150 και β=350. Από τη διαδικασία της παραγοντοποίησης προκύπτει ότι 150=2*3*52 και 350=2*52*7. Οι πρώτοι παράγοντες είναι οι 2, 5 οι κοινοί και 3, 7 οι μη κοινοί. Υψομένος ο καθένας στη μεγαλύτερη δύναμή του είναι 2, 3, 52, 7. Άρα ΕΚΠ(α,β)=2*3*52*7=1050.

Με το μεγαλύτερο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Συγκρίνω τους α και β. Έστω ότι μεγαλύτερος είναι ο β. Τότε υπολογίζω διαδοχικά τα πολλαπλάσια του β, ξεκινώντας από το ίδιο το β, μέχρι να βρω ένα κοινό πολλαπλάσιό του με το α. Για παράδειγμα:

Έστω ότι α=150 και β=350. Μεγαλύτερος είναι ο β. Έστω το πολλαπλάσιο του β που κάθε φορά εξετάζω ν. Έχω:

  • Για ν=1*β=350 δεν είναι πολλαπλάσιο του α.
  • Για ν=2*β=700 δεν είναι πολλαπλάσιο του α.
  • Για ν=3*β=1050 είναι πολλαπλάσιο του α.

Άρα ΕΚΠ(α,β)=1050.

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]