Διαφορική Εξίσωση Clairaut

Διαφορική Εξίσωση Clairaut

Ταξινόμηση
Dewey	51
MSC2010	35-XX

Στα Μαθηματικά, μια εξίσωση Clairaut (Κλερώ) είναι μια διαφορική εξίσωση της μορφής:

$y(x)=x\frac{dy}{dx}+f\left(\frac{dy}{dx}\right)$

Για την επίλυση αυτής της εξίσωσης, παραγωγίζουμε ως προς x, έχοντας:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}+x\frac{d^2 y}{dx^2}+f'\left(\frac{dy}{dx}\right)\frac{d^2 y}{dx^2}$

έτσι:

$0=\left(x+f'\left(\frac{dy}{dx}\right)\right)\frac{d^2 y}{dx^2}$

Επομένως, είτε:

$0=\frac{d^2 y}{dx^2}$

ή:

$0=x+f'\left(\frac{dy}{dx}\right)$

Στην πρώτη περίπτωση C = dy/dx για κάποια σταθερά C. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση Clairaut, έχουμε την οικογένεια συναρτήσεων που δίνεται από τον τύπο:

$y(x)=Cx+f(C)$

Αυτή ονομάζεται η γενική λύση της εξίσωσης Clairaut.

Στη δεύτερη περίπτωση, προκύπτει η εξίσωση:

$0=x+f'\left(\frac{dy}{dx}\right)$

Αυτή ορίζει μόνο μια λύση y(x), την επονομαζόμενη μοναδική λύση, της οποίας η γραφική παράσταση είναι η περιβάλλουσα των γραφικών παραστάσεων των γενικών λύσεων. Η μοναδική λύση συνήθως αναπαρίσταται ως (x(p), y(p)), όπου p είναι το dy/dx.

Αυτή η εξίσωση πήρε το όνομά της από τον Alexis Clairaut, ο οποίος την παρουσίασε το 1734.

Μια πρώτης τάξης μερική διαφορική εξίσωση είναι επίσης γνωστή ως Εξίσωση του Clairaut ή Εξίσωση Clairaut:

$\displaystyle u=xu_x+yu_y+f(u_x,u_y)$

Πηγές

• Clairaut, Alexis Claude, Solution de plusieurs Problemes où il s'agit de trouver des Courbes dont la propriété consiste dans une certaine relation entre leurs branches, exprimée par une Équation donnée.