Διακρίνουσα βάσης

Έστω $K=\mathbb{Q}(\theta)$ αριθμητικό σώμα βαθμού n και $a_1,..a_n$ μια βάση αυτού ως $\mathbb{Q}$ διανυσματικός χώρος. Ακόμα έστω $r_1,..,r_n r_i \ne r_j$ οι ρίζες του $Irr(\theta,\mathbb{Q})$ στο $\mathbb{C}$ και $\sigma_i:K \rightarrow \mathbb{C}$ οι n διακεκριμένοι μονομορφισμοί απο το Κ στο $\mathbb{C}$ όπου $\sigma _i(\theta)=r_i$. Κάνοντας χρήση των $\sigma_i$ σχηματίζουμε τον ακόλουθο πίνακα :

$A = \begin{bmatrix} \sigma_1(a_1) & ... & \sigma_1(a_n) \\ \sigma_2(a_1) & ... & \sigma_2(a_n) \\ ...&...&... \\ \sigma_n(a_1)&...&\sigma_n(a_n) \end{bmatrix}$

Ως διακρίνουσα της βάσης (Basis discriminant) $a_1,..a_n$ του αριθμητικού σώματος Κ ορίζουμε το μιγαδικό αριθμό $\Delta(a_1,..,a_n)=(det(A))^2$.

Παραδείγματα

• Έστω $K=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ και η $\{1,\sqrt{2} \}$ μια βάση αυτού ως $\mathbb{Q}$ διανυσματικού χώρου. Οι ρίζες του $Irr(\sqrt{2},\mathbb{Q})=x^2-2$ είναι οι $\pm \sqrt{2}$ οπότε οι δύο μονομορφισμοί απο το $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ στο $\mathbb{C}$ είναι οι

$\sigma_1(\sqrt{2})=\sqrt{2}$ και $\sigma_2(\sqrt{2})=-\sqrt{2}$

οπότε είμαστε πλέον σε θέση να υπολογίσουμε την διακρίνουσα της βάσης $\{1,\sqrt{2} \}$ του αριθμητικού σώματος $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$. Έχουμε λοιπόν ότι $\Delta_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})}(1,\sqrt{2})=\Big(det \begin{bmatrix} \sigma_1(1) & \sigma_1(\sqrt{2}) \\ \sigma_2(1) & \sigma_2(\sqrt{2}) \end{bmatrix} \Big)^2=\Big(det \begin{bmatrix} 1 & \sqrt{2} \\ 1 & -\sqrt{2} \end{bmatrix} \Big)^2=(-2\sqrt{2})^2=8$