Αρνητική διωνυμική κατανομή

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Συνάρτηση μάζας πιθανότητας για την αρνητική διωνυμική κατανομή με και .
Αθροιστική συνάρτηση κατανομής για την αχνητική διωνυμική κατανομή με και .
Αρνητική Διωνυμική Κατανομή
Συμβολισμός
Παράμετροι (πλήθος επιτυχιών),
(πιθανότητα επιτυχίας)
Φορέας
Συνάρτηση Μάζας
Πιθανότητας
Μέσος
Διάμεσος ή
Διακύμανση
Λοξότητα
Κύρτωση
Πιθανογεννήτρια για
Χαρακτηριστική για

Στην θεωρία πιθανοτήτων και στη στατιστική, η αρνητική διωνυμική κατανομή είναι μια διακριτή συνάρτηση κατανομής τυχαίας μεταβλητής. Περιγράφει το πλήθος των φορών που πρέπει να επαναλάβουμε ένα τυχαίο πείραμα με δυο πιθανά αποτελέσματα (επιτυχία - αποτυχία) και πιθανότητα επιτυχίας μέχρι να έχουμε επιτυχίες.

Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τον αριθμό των αποτυχιών. Συνολικά επαναλαμβάνουμε το πείραμα φορές, από τις οποίες η τελευταία είναι επιτυχία. Η πιθανότητα έως ότου να έχουμε επιτυχίες να έχουμε αποτυχίες σε ανεξάρτητα πειράματα με πιθανότητα επιτυχίας κάθε φορά είναι:[1][2][3]

.

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ως άθροισμα γεωμετρικών κατανομών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές ώστε ακολουθούν την γεωμετρική κατανομή . Τότε, αφού η γεωμετρική κατανομή μετράει το πλήθος των φορών που πρέπει να επαναλάβουμε ένα πείραμα μέχρι μία επιτυχία, έχουμε ότι

Μέση τιμή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η μέση τιμή προκύπτει από τον ορισμό ως το άθροισμα τυχαίων μεταβλητών, δηλαδή:

χρησιμοποιώντας ότι .

Διακύμανση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αντίστοιχα, από τον ορισμό της διακύμανσης και αφού είναι ανεξάρτητες, έχουμε ότι:

.

Πιθανογεννήτρια συνάρτηση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Χρησιμοποιώντας ότι , για ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν την γεωμετρική κατανομή, έχουμε ότι:

αφού για από τις ιδιότητες της γεωμετρικής κατανομής.

Χαρακτηριστική συνάρτηση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Χρησιμοποιώντας ότι , για ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν την γεωμετρική κατανομή, έχουμε ότι:

αφού για από τις ιδιότητες της γεωμετρικής κατανομής.

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Ζιούτας, Γεώργιος. «Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή» (PDF). Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ. Ανακτήθηκε στις 9 Ιουνίου 2023. 
  2. Κουτρας, Μαρκος. «Πιαθνότητες Ι» (PDF). Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Ανακτήθηκε στις 9 Ιουνίου 2023. 
  3. Πανάρετος, Ιωάννης. «Μερικές Ειδικές Διακριτές Κατανομές» (PDF). Τμήμα Στατιστικής, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 9 Ιουνίου 2023.