Αλγεβρικό στοιχείο

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Έστω  K/L επέκταση σωμάτων. Ένα στοιχείο k \in K καλείται αλγεβρικό στοιχείο πάνω από το  L (algebraic element over L) αν είναι ρίζα ενός μη μηδενικού πολυωνύμου με συντελεστές από το L, δηλαδή a_nk^n+a_{n-1}k^{n-1}+...a_1k+a_0=0 όπου a_i \in L και τουλάχιστον ένα από αυτά είναι διάφορο του μηδενός.

Αν δεν υπάρχει τέτοιο πολυώνυμο, τότε το k καλείται υπερβατικό στοιχείο πάνω από το L (transcedental element over L).

Οι έννοιες του αλγεβρικού αριθμού και του υπερβατικού αριθμού είναι ειδικές περιπτώσεις των προαναφερθεισών εννοιών του αλγεβρικού και υπερβατικού στοιχείου πάνω από ένα σώμα L αντίστοιχα, όπου  K=\mathbb{C} και  L=\mathbb{Q} .

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Ο \sqrt{2} είναι αλγεβρικό στοιχείο πάνω από το \mathbb{Q} καθώς είναι ρίζα του πολυωνύμου p(t)=t^2-2 \in \mathbb{Q}[t].
  • Ο π είναι υπερβατικός αριθμός αλλά αλγεβρικό στοιχείο πάνω από το \mathbb{R}.